Leņķiskais moments: definīcija, vienādojums, vienības (ar diagrammām un piemēriem)

Apsveriet ainu: Jūs un draugs, pateicoties jautājumiem, kurus nevarat kontrolēt, stāvat garas, lejup vērstas uzbrauktuves augšdaļā. Katram no jums ir dota bumba tieši 1 m rādiusā. Jums ir teicis, ka jūsu ir izgatavots no vienota, putām līdzīga materiāla un tā masa ir 5 kg. Jūsu drauga bumbas masa ir arī 5 kg, ko jūs pārbaudāt ar ērtu skalu.

Jūsu draugs vēlas jums derēt, ka, ja jūs atbrīvosiet abas bumbas vienlaicīgi, jūsu pirmais nonāks apakšā. Jums rodas kārdinājums apgalvot, ka, tā kā bumbiņām ir vienāda masa un vienāds rādiuss (un līdz ar to arī tilpums), tās lejup pa rampu paātrinās ar gravitāciju līdz vienādam ātrumam. Bet kaut kas aptur jūsu derību "impulsu", un jūs nepieņemat derību ...

... gudri, kā izrādās. Lai gan sākumā tam nav jēgas, jūsu drauga bumba, pēc visa spriežot, ir jūsu dvīņa, pārvietojas pa rampu lēnāk nekā jūsējā. Pēc eksperimenta beigām jūs pieprasāt, lai bumbas tiktu demontētas un pārbaudītas, vai nav viltību pazīmju. Tā vietā viss, ko jūs atradīsit, ir tas, ka jūsu drauga bumbā esošie 5 kg masas bija ierobežoti ar plānu apvalku ap ārpusi ar iekšējo dobumu.

Kā ir ar iepriekš aprakstīto konfigurāciju, v vērtība tiek noliecta jūsu labā? Kā notiek, tāpat kāspēkinomainilineārs impulssobjektu arlineārais ātrums​, ​griezes momentusnomainileņķiskais impulssobjektu arleņķiskais ātrums​.

Stingram ritošajam objektam ir gan lineārais impulss, gan leņķiskais impulss, jo tā masas centrs pārvietojas ar nemainīgu ātrumu v (vienāds ar lodes vai riteņa tangenciālajam ātrumam), katra cita objekta daļa ar leņķisko ātrumu griežas ap šo masas centru ω.

Tas, kā masa tiek sadalīta objektā, neattiecas uz tā lineāro impulsu, bet tas lieliski nosaka tā leņķisko impulsu. Tas tiek darīts, izmantojot "masai līdzīgu" (rotācijas nolūkos) daudzumu, ko sauc par inerces momentu, lielākām vērtībām kas nozīmē gan grūtāk iegūt kaut ko rotējošu, gan grūtāk to apturēt, kad tas jau ir izdarīts rotējošs.

Leņķiskais impulss ir mērs tam, cik grūti mainīt objekta rotācijas kustību. Tas ir atkarīgs no objekta inerces momenta un tā leņķiskā ātruma. Leņķiskais impulss ir saglabāts lielums, kas nozīmē, ka daļiņu leņķisko momentu summa slēgtā sistēmā vienmēr ir vienāda, pat ja atsevišķu daļiņu summa var svārstīties.

Kā norādīts, leņķiskais impulss ir arī masas sadalījuma funkcija ap asi. Lai to iegūtu intuitīvi, iedomājieties, ka stāvat vienu pēdu no milzīgā karuseļa centra, kas veic vienu apgriezienu ik pēc 10 sekundēm. Tagad iedomājieties, ka esat stāvējis vienā un tajā pašā stāvoklī ar tādu pašu leņķisko ātrumu, stāvot 1jūdzeno centra. Lai iztēlotos leņķiskā impulsa atšķirību šajos divos scenārijos, nav vajadzīga liela iztēle.

​Leņķiskais impulss ir inerces momenta reizinājums ar tā leņķisko ātrumu vai:
​

kurL= leņķiskais impulss kg ∙ m²/s,Es= inerces moments kg ∙ m²un ω = leņķiskais ātrums radiānos sekundē (rad / s).

• ​Essauc arī par otro apgabala brīdi.

Ņemiet vērā, ka diskusija ir paplašinājusies no punktu masas līdz cietam ķermenim, piemēram, cilindram vai sfērai, kas rotē ap asi. Objekta masas centrs bieži nav tajāģeometriskicentrā, tātad vērtībasEsatkarīgs no tā, kā tiek sadalīta objekta masa. Bieži vien tas ir simetrisks, bet nevienmērīgs, piemēram, dobs disks ar visu savu masu plānā sloksnē ārpusē (citiem vārdiem sakot, gredzens).

Leņķiskā impulsa vektors ir vērsts gar rotācijas asi perpendikulāri plaknei, kuru veidor, jebkura objekta punkta apļveida "slaucīšana" caur kosmosu.

Atskaites diagramma vērtībasEsdažādām kopīgām formām ir atrodama resursos. Izmantojiet tos, lai sāktu darbu ar dažām pamata leņķa impulsa problēmām.

• Pieraksti toEssfēriskai čaulai ir (2/3) mr² kamēr sfērai ir (2/5) mr². Atgriežoties pie ievadā izdarītā derības, tagad jūs varat redzēt, ka jūsu drauga bumbai (2/3) / (2/5) = 1,67 reizes lielāks par inerces momentu kā savam, izskaidrojot jūsu uzvaru "sacīkstēs".

1. Disks ar rotācijas inerciEs1,5 kg ∙ m²/ s griežas ap asi ar leņķa ātrumuωno 8 rad / s. Kāds ir tā leņķiskais impulssL​?

2. Plāns 15 m garš stienis ar 5 kg masu - teiksim, masīva pulksteņa roka - griežas ap punktu, kas vienā galā fiksēts ar leņķa ātrumuωno 2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Kāds ir tā leņķiskais impulssL​?

Šoreiz jums ir jāmeklēEs. Plānam stienim, kas pārvietojas šādā veidā,Es= (1/3) mr²​.

Salīdziniet to ar atbildi pirmajā piemērā. Vai tas jūs pārsteidz? Kāpēc vai kāpēc ne?

“Saglabāšana” fizikā nozīmē kaut ko nedaudz atšķirīgu nekā ekosistēmu jomā. Tas vienkārši nozīmē, ka kopējais saglabāto lielumu daudzums (enerģija, impulss, masa un inerce ir) "lielie četri" fizikā saglabātie lielumi) sistēmā, ieskaitot Visumu, vienmēr paliek tāpat. Ja jūs mēģināt "likvidēt" enerģiju, tā vienkārši parādās citā formā, un visi mēģinājumi to "radīt" balstās uz jau esošu avotu.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums nosaka, ka slēgtā sistēmā kopējais leņķiskais impulss nevar mainīties. Tā kā leņķiskais impulss ir atkarīgs no leņķa ātruma un inerces momenta, var paredzēt, kā attiecīgajā situācijā katram no šiem lielumiem tad jāmainās attiecībā pret otru.

• Formāli, tā kā griezes momentu var izteikt kāτ= dL/ dt (izmaiņu ātrums, ja leņķiskais impulss ar laiku), kad sistēmas griezes momentu summa ir nulle, tad dL/ dt jābūt arī nullei, un laika posmā, kurā sistēma tiek novērtēta, sistēmā nemainās leņķiskais impulss. Un otrādi, ja L nav nemainīgs, tas nozīmē griezes momentu nelīdzsvarotību sistēmā (t.i.,τ_tīklsirnēvienāds ar nulli).

Tas ir svarīgs jēdziens daudzos ikdienas dzīves mehānikas piemēros. Klasisks piemērs ir ledus slidotājs: Lecot gaisā, lai veiktu trīskāršu asi, viņa cieši pievelk ekstremitātes. Tas samazina viņas kopējo rādiusu ap rotācijas asi, mainot masas sadalījumu tā, ka inerces moments samazinās (atcerieties,Esir proporcionāls mr²​).

Tāpēc, ka leņķiskais impulss tiek saglabāts, jaEssamazinās, viņas leņķa ātrumam ir jāpalielinās; tas ir, kā viņa griežas pietiekami ātri, lai veiktu vairākus gaisa apgriezienus! Kad viņa piezemējas, viņa rīkojas otrādi - viņa izplata ekstremitātes, mainot masas sadalījumu, lai palielinātu inerces momentu, savukārt palēninot rotācijas ātrumu (leņķisko ātrumu).

Kopumā sistēmas leņķiskais impulss ir nemainīgs, bet mainīgos, kas nosaka leņķiskā impulsa lielumu, var manipulēt un panākt stratēģisku efektu, kā tas ir šajā gadījumā.

Sākot ar 1600. gadiem, Īzaks Ņūtons sāka efektīvi mainīt matemātisko fiziku. Pēc tam, kad viņš bija izgudrojis aprēķinu, viņam bija labas iespējas izteikt oficiālus apgalvojumus par, iespējams, universālajiem likumiem kas regulē objektu kustību gan translācijas (lineāri un caur telpu), gan rotācijas (cikliski un aptuveni) kustību ass).

• Dažādassaglabāšanas likumikas vēlāk tiek plaši pieminēti, nav Ņūtona ideju bērni, taču pastāv ievērojamas attiecības starp šiem un kustības likumiem.

​Ņūtona pirmais likumsnosaka, ka objekts, kas atrodas miera stāvoklī vai pārvietojas ar nemainīgu ātrumu, paliks šajā stāvoklī, ja vien uz objektu nerīkosies ārējs spēks. To sauc arī parinerces likums.​

​Ņūtona otrais likumsapgalvo, ka neto spēksF_tīklsiedarbojas uz daļiņu ar masum, tam būs tendence mainīt vai palielināt šīs masas ātrumu. Šīs slavenās attiecības matemātiski tiek izteiktas kāF_tīkls= ma​.

​Ņūtona trešais likumssaka, ka katram spēkam, kas pastāv dabā, pastāv spēks, kura lielums ir vienāds, bet kas vērsts tieši pretējā virzienā. Šim likumam ir svarīga ietekme uz saglabātajām kustības īpašībām, ieskaitot leņķisko impulsu.

Tagad ir lielisks laiks, lai pārskatītu būtību, noteikumus un savstarpējās attiecībasspēks​, ​impulss(masa reiz ar ātrumu) unenerģija, kas informē ne tikai diskusijas par leņķisko impulsu, bet arī visu pārējo klasiskajā fizikā.

Kā atzīmēts, ja vien objekts neizjūt ārēju spēku (vai rotējoša objekta gadījumā - ārēju griezes momentu), tā kustība turpinās neskarta. Tomēr uz Zemes gravitācija praktiski vienmēr ir sajaukta, tāpat kā mazāko dalībnieku gaisa pretestība un dažāda veida berzes spēki, tāpēc nekas vienkārši neturpina kustēties, ja vien laiku pa laikam netiek dota enerģija, lai aizstātu to, ko “paņem” šī hroniskā kustība zagļi. "

Lai vienkāršotu, daļiņai irkopējā enerģijakas sastāv noiekšējā enerģija(piemēram, tā molekulu vibrācija) unmehāniskā enerģija. Mehāniskā enerģija ir pagrieziena summapotenciālā enerģija(PE; "uzkrāta" enerģija, parasti caur gravitāciju) unkinētiskā enerģija(KE; kustības enerģija). Noderīgi, ka PE + KE + IE = konstante visām sistēmām, neatkarīgi no tā, vai tā ir punktu masa (viena daļiņa) vai dažādas svilpojošas, mijiedarbojošās masas.

Dzirdot ar kustību saistītus terminus, piemēram, ātrumu, paātrinājumu, pārvietošanos un impulsu, jūs pēc noklusējuma droši pieņemat, ka konteksts ir lineāra kustība. Rotācijas kustībai faktiski ir savi unikāli, bet analogi lielumi.

Tā kā lineāro nobīdi mēra metros (m) SI vienībās, leņķisko nobīdi mēra radiānos (2π rad = 360 grādi). Attiecīgileņķiskais ātrumsmēra rad / s, un to attēlo arω, grieķu burts omega.

Tomēr, kad punktu masa pārvietojas ap rotācijas asi, papildus leņķiskajam ātrumam daļiņa noteiktā ātrumā izseko apļveida ceļu, līdzīgu lineārai kustībai. Šī likme irtangenciālais ātrums​ ​v_t​​,un ir vienāds ar rω,kurrir rādiuss vai attālums no rotācijas ass.

Saistītileņķiskais paātrinājums​ ​α(Grieķu alfa) ir leņķiskā ātruma izmaiņu ātrumsωun mēra rad / s². Ir arī acentrālā ātruma paātrinājums​ ​a_cdevav_t²/r,kas vērsta uz iekšu rotācijas ass virzienā.

• Kamēr tiek apspriests leņķiskais impulss, mvlineārā izteiksmē drīzumā tiks diskutēts pamatīgi, ziniet, ka viens no tā komponentiem,Es, var uzskatīt par masas rotācijas analogu.

Leņķiskais impulss, tāpat kā spēks, pārvietojums, ātrums un paātrinājums, ir avektora daudzums, jo šādi mainīgie ietver gan alielums(t.i., skaitlis) un avirzienu, bieži tiek doti tā atsevišķo x-, y- un z-komponentu termini. Daudzumi, kas satur tikai skaitlisku elementu, piemēram, masu, laiku, enerģiju un darbu, ir pazīstami kāskalāri daudzumi​.