Kinemātikas vienādojumi apraksta objekta kustību, kas notiek pastāvīgā paātrinājumā. Šie vienādojumi attiecas uz kustīgā objekta laika, stāvokļa, ātruma un paātrinājuma mainīgajiem lielumiem, ļaujot atrisināt jebkuru no šiem mainīgajiem, ja ir zināmi pārējie.
Zemāk ir attēlots objekts, kas vienā dimensijā piedzīvo pastāvīgu paātrinājuma kustību. Mainīgais t ir laikam, pozīcija ir x, ātrums v un paātrinājums a. Abonementi i un f apzīmē attiecīgi "sākotnējo" un "galīgo". Tiek pieņemts, ka t = 0 plkst xi un vi.
(Ievietot 1. attēlu)
Kinemātisko vienādojumu saraksts
Turpmāk uzskaitīti trīs primārie kinemātiskie vienādojumi, kas piemērojami, strādājot vienā dimensijā. Šie vienādojumi ir:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Piezīmes par kinemātiskajiem vienādojumiem
- Šie vienādojumi darbojas tikai ar nemainīgu paātrinājumu (kas var būt nulle pastāvīga ātruma gadījumā).
- Atkarībā no tā, kuru avotu lasāt, galīgajiem daudzumiem var nebūt apakšindeksa fun / vai var tikt attēlots funkciju apzīmējumā kā x (t) - lasīt “x kā laika funkcija ”vai“x laikā t" - un v (t). Pieraksti to x (t) nenozīmē x reizināts ar t!
-
Dažreiz daudzums xf - xi ir uzrakstīts
Δx, kas nozīmē “izmaiņas x, Vai pat vienkārši kā d, kas nozīmē pārvietošanos. Visi ir līdzvērtīgi. Pozīcija, ātrums un paātrinājums ir vektoru lielumi, kas nozīmē, ka ar tiem ir saistīts virziens. Vienā dimensijā virzienu parasti norāda ar zīmēm - pozitīvie lielumi ir pozitīvajā virzienā, bet negatīvie - negatīvajā virzienā. Abonementi: sākotnējai pozīcijai un ātrumam var izmantot "0", nevis i. Šis "0" nozīmē "plkst t = 0 "un x0 un v0 parasti izrunā "x-naught" un "v-naught". * Tikai viens no vienādojumiem neietver laiku. Izrakstot devas un nosakot, kādu vienādojumu izmantot, tas ir galvenais!
Īpašs gadījums: bezmaksas kritiens
Brīvā kritiena kustība ir objekta kustība, kas paātrinās tikai smaguma dēļ, ja nav gaisa pretestības. Piemēro tos pašus kinemātiskos vienādojumus; tomēr paātrinājuma vērtība Zemes virsmas tuvumā ir zināma. Šī paātrinājuma lielumu bieži attēlo gkur g = 9,8 m / s2. Šī paātrinājuma virziens ir uz leju, uz Zemes virsmu. (Ņemiet vērā, ka daži avoti var būt aptuveni g kā 10 m / s2un citi var izmantot vērtību, kas ir precīza vairāk nekā ar diviem cipariem aiz komata.)
Kinemātikas problēmu risināšanas stratēģija vienā dimensijā:
Ieskicējiet situācijas diagrammu un izvēlieties atbilstošu koordinātu sistēmu. (Atgādināt to x, v un a ir visi vektoru lielumi, tāpēc, piešķirot skaidru pozitīvu virzienu, būs vieglāk izsekot zīmēm.)
Uzrakstiet zināmo daudzumu sarakstu. (Uzmanieties, ka dažreiz zināmie nav acīmredzami. Meklējiet tādas frāzes kā “sākas no atpūtas”, kas nozīmē to vi = 0 vai “iet uz zemes”, kas nozīmē xf = 0 utt.)
Nosakiet, kuru daudzumu jautājums vēlas atrast. Kas ir nezināmais, kuru jūs atrisināsiet?
Izvēlieties atbilstošo kinemātisko vienādojumu. Šis būs vienādojums, kas satur jūsu nezināmo daudzumu kopā ar zināmiem lielumiem.
Atrisiniet nezināmā daudzuma vienādojumu, pēc tam pievienojiet zināmās vērtības un aprēķiniet galīgo atbildi. (Esiet piesardzīgs attiecībā pret vienībām! Dažreiz pirms skaitļošanas jums būs jāpārveido vienības.)
Viendimensiju kinemātikas piemēri
1. piemērs: Reklāma apgalvo, ka sporta automašīna var no 0 līdz 60 jūdzēm stundā nobraukt 2,7 sekundēs. Kāds ir šīs automašīnas paātrinājums m / s2? Cik tālu tas brauc šo 2,7 sekunžu laikā?
Risinājums:
(Ievietot 2. attēlu)
Zināmie un nezināmie daudzumi:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Jautājuma pirmajai daļai ir jāatrisina nezināmais paātrinājums. Šeit mēs varam izmantot 1. vienādojumu:
v_f = v_i + at \ nozīmē a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Pirms skaitļu pievienošanas mums jāpārvērš 60 jūdzes stundā uz m / s:
60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ text {m / s}
Tātad paātrinājums ir šāds:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ pasvītrot {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
Lai uzzinātu, cik tālu tas šajā laikā iet, mēs varam izmantot 2. vienādojumu:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 pie ^ 2 = \ frac 1 2 \ reizes 9,93 reizes 2,7 ^ 2 = \ pasvītrot {\ bold {36.2} \ text {m}}
2. piemērs: Bumba tiek izmesta ar ātrumu 15 m / s no 1,5 m augstuma. Cik ātri tas notiek, kad tas nonāk zemē? Cik ilgs laiks paiet zemē?
Risinājums:
(Ievietot 3. attēlu)
Zināmie un nezināmie daudzumi:
x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Lai atrisinātu pirmo daļu, mēs varam izmantot vienādojumu # 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ nozīmē, ka v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Viss jau ir konsekventās vienībās, tāpēc mēs varam pieslēgt vērtības:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ apm \ pm16 \ text {m / s}
Šeit ir divi risinājumi. Kurš ir pareizs? Pēc mūsu diagrammas mēs varam redzēt, ka gala ātrumam jābūt negatīvam. Tātad atbilde ir:
v_f = \ pasvītrot {\ bold {-16} \ text {m / s}}
Lai atrisinātu laiku, mēs varam izmantot vai nu vienādojumu # 1, vai vienādojumu # 2. Tā kā ar 1. vienādojumu ir vienkāršāk strādāt, mēs to izmantosim:
v_f = v_i + at \ nozīmē t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ aptuveni \ pasvītrot {\ bold {3.2} \ text {s }}
Ņemiet vērā, ka atbilde uz šī jautājuma pirmo daļu nebija 0 m / s. Lai gan ir taisnība, ka pēc bumbas piezemēšanās tai būs 0 ātrums, šis jautājums vēlas uzzināt, cik ātri tas notiek šajā sekundes daļā pirms trieciena. Kad bumba nonāk saskarē ar zemi, mūsu kinemātiskie vienādojumi vairs netiek piemēroti, jo paātrinājums nebūs nemainīgs.
Kinemātiskie vienādojumi šāviņu kustībai (divas dimensijas)
Lādiņš ir objekts, kas Zemes gravitācijas ietekmē pārvietojas divās dimensijās. Tās ceļš ir parabola, jo vienīgais paātrinājums ir gravitācijas dēļ. Kinemātiskie vienādojumi šāviņu kustībai ir nedaudz atšķirīgi no iepriekš uzskaitītajiem kinemātiskajiem vienādojumiem. Mēs izmantojam to, ka kustības komponenti, kas ir perpendikulāri viens otram, piemēram, horizontāli x virzienu un vertikāli y virziens - ir neatkarīgi.
Problēmu risināšanas stratēģija šāviņu kustības kinemātikas problēmām:
Ieskicējiet situācijas diagrammu. Tāpat kā ar viendimensiju kustību, ir noderīgi ieskicēt scenāriju un norādīt koordinātu sistēmu. Tā vietā, lai izmantotu etiķetes x, v un a pozīcijai, ātrumam un paātrinājumam mums ir nepieciešams veids, kā kustību katrā dimensijā marķēt atsevišķi.
Horizontālajam virzienam to visbiežāk izmanto x par amatu un vx ātruma x komponentam (ņemiet vērā, ka paātrinājums šajā virzienā ir 0, tāpēc mums tam nav nepieciešams mainīgais.) y virzienu, to visbiežāk izmanto y par amatu un vy ātruma y komponentam. Paātrinājumu var marķēt ay vai arī mēs varam izmantot faktu, ka mēs zinām, ka gravitācijas dēļ paātrinājums ir g negatīvajā y virzienā, un vienkārši izmantojiet to vietā.
Uzrakstiet zināmo un nezināmo lielumu sarakstu, sadalot problēmu divās sadaļās: vertikālā un horizontālā kustība. Izmantojiet trigonometriju, lai atrastu visu vektoru lielumu, kas neatrodas gar asi, x- un y-komponentus. Var būt noderīgi to uzskaitīt divās slejās:
(ievietot 1. tabulu)
Piezīme: Ja ātrums tiek norādīts kā lielums kopā ar leņķi, Ѳ, virs horizontāles, pēc tam izmantojiet vektoru sadalīšanos, vx= vcos (Ѳ) un vy= vsin (Ѳ).
Mēs varam apsvērt trīs mūsu iepriekšējos kinemātiskos vienādojumus un pielāgot tos attiecīgi x un y virzieniem.
X virziens:
x_f = x_i + v_xt
Y virziens:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Jāņem vērā, ka paātrinājums y virziens ir -g, ja pieņemam, ka pozitīvs. Bieži sastopams nepareizs uzskats, ka g = -9,8 m / s2, bet tas ir nepareizi; g pati par sevi ir vienkārši paātrinājuma lielums: g = 9,8 m / s2, tāpēc mums jānorāda, ka paātrinājums ir negatīvs.
Atrodiet vienu nezināmu vienā no šīm dimensijām un pēc tam pievienojiet to, kas ir kopīgs abos virzienos. Kaut arī kustība abās dimensijās ir neatkarīga, tā notiek vienā laika skalā, tāpēc laika mainīgais abās dimensijās ir vienāds. (Laiks, kas nepieciešams bumbas vertikālās kustības veikšanai, ir tāds pats kā laiks, kas nepieciešams horizontālās kustības veikšanai.)
Lādiņu kustības kinemātikas piemēri
1. piemērs: Lādiņš tiek palaists horizontāli no 20 m augstuma klints ar sākotnējo ātrumu 50 m / s. Cik ilgs laiks paiet zemē? Cik tālu no klints pamatnes tā piezemējas?
(ievietot 4. attēlu)
Zināmie un nezināmie daudzumi:
(ievietot 2. tabulu)
Mēs varam atrast laiku, kas nepieciešams, lai sasniegtu zemi, izmantojot otro vertikālās kustības vienādojumu:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ nozīmē t = \ sqrt {\ frac {(2 \ reizes 20)} g} = \ pasvītrot {\ bold {2.02} \ text {s} }
Tad, lai atrastu, kur tas nolaižas, xf, mēs varam izmantot horizontālo kustības vienādojumu:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ reizes2,02 = \ pasvītrot {\ treknrakstā {101} \ teksts {s}}
2. piemērs: Bumba tiek palaista ar ātrumu 100 m / s no zemes līmeņa 30 grādu leņķī ar horizontāli. Kur tas piezemējas? Kad tā ātrums ir mazākais? Kāda ir tā atrašanās vieta šajā laikā?
(ievietot 5. attēlu)
Zināmie un nezināmie daudzumi:
Vispirms mums jāsadala ātruma vektors komponentos:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ apm. 86,6 \ teksts {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ īsziņa {m / s}
Mūsu daudzumu tabula ir šāda:
(ievietot 3. tabulu)
Vispirms mums jāatrod laiks, kad bumba lido. Mēs to varam izdarīt ar otro vertikālo vienādojumu_. Ņemiet vērā, ka mēs izmantojam parabolas simetriju, lai noteiktu, ka galīgais _y ātrums ir sākotnējā negatīvs:
Tad mēs nosakām, cik tālu tas pārvietojas x virziens šajā laikā:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ reizes 10,2 \ aptuvens \ pasvītrots {\ treknrakstā {883} \ teksts m}
Izmantojot paraboliskā ceļa simetriju, mēs varam noteikt, ka ātrums ir mazākais pie 5,1 s, kad lādiņš atrodas tā kustības virsotnē un ātruma vertikālā sastāvdaļa ir 0. Tās kustības x- un y-komponenti šobrīd ir:
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ reizes 5,1 \ aptuveni \ pasvītrot {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ reizes \ frac 1 2 9,8 \ reizes 5,1 ^ 2 \ aptuveni \ pasvītrot {\ bold {128} \ text {m}}
Kinemātisko vienādojumu atvasināšana
1. vienādojums: Ja paātrinājums ir nemainīgs, tad:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Atrodot ātrumu, mums ir:
v_f = v_i + plkst
2. vienādojums: Vidējo ātrumu var rakstīt divējādi:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Ja mēs aizstājam _vf _ar izteiksmi no 1. vienādojuma iegūstam:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Atrisinot xf dod:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 pie ^ 2
Vienādojums Nr. 3: Sāciet ar t 1. vienādojumā
v_f = v_i + at \ nozīmē t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Pievienojiet šo izteicienu vietnei t vidējā ātruma attiecībās:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ nozīmē \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Pārkārtojot šo izteicienu, iegūst:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)