Kā atrast dy / dx ar netiešu diferenciāciju, ņemot vērā līdzīgu vienādojumu kā y = sin (xy)

Netiešā diferenciācija ir paņēmiens, ko izmanto, lai noteiktu funkcijas atvasinājumu formā y = f (x).

Lai uzzinātu, kā izmantot netiešo diferenciāciju, mēs varam izmantot metodi uz vienkārša piemēra un pēc tam izpētīt dažus sarežģītākus gadījumus.

Kaut arī tas izklausās sarežģītāk, netiešā diferenciācija izmanto visu to pašu matemātiku un prasmes kā pamata diferenciāciju. Tomēr ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu atkarīgais mainīgais lielums tagad parādās pašā funkcijā.

Veikt vienkāršu vienādojumu, piemēram, xy = 1. Ir divi veidi, kā atrast atvasinājumu y attiecībā uz xvai dy / dx. Pirmkārt, mēs varam vienkārši atrisināt y vienādojumā un atvasinājumiem izmantojiet jaudas likumu. To darot, iegūsiet: y = 1 / x. Tāpēc jaudas noteikuma piemērošana atklātu, ka dy / dx = -1 / x².

Mēs varam arī izdarīt šo problēmu, izmantojot netiešu diferenciāciju. Par laimi mēs jau zinām atbildi (tai jābūt vienādai neatkarīgi no tā, kā mēs to aprēķinām), tāpēc mēs varam pārbaudīt savu darbu!

Lai sāktu, pielietojiet atvasinājumu abām vienādojuma xy = 1 pusēm. Tad d / dx (xy) = d / dx (1); labā puse tagad ir vienāda ar 0, bet kreisajā pusē ir nepieciešams ķēdes likums. Tas ir tāpēc, ka mēs izmantojam savas funkcijas atvasinājumu, y, kamēr tas tiek reizināts ar citu koeficientu x. Lai to aprēķinātu: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Mēs izmantosim galveno apzīmējumu, lai norādītu atvasinājumu attiecībā uz x.

Pārrakstot mūsu vienādojumu, iegūstam: y + xy '= 0. Ir pienācis laiks atrisināt y ' mūsu vienādojumā! Skaidrs, ka y '= -y / x. Bet, izmantojot sākotnējo informāciju, mēs zinām, ka y = 1 / x, tāpēc mēs varam to aizstāt. Kad tas ir izdarīts, mēs redzam, ka y '= -1 / x², tāpat kā mēs to atradām iepriekš.

Lai noteiktu y = sin (xy) atvasinājumu, mēs izmantosim netiešu diferenciāciju, atceroties, ka (d / dx) y = y '.

Vispirms pielietojiet atvasinājumu abām vienādojuma pusēm: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Kreisajā pusē vienādojums ir skaidri y ', kas mums būs jāatrisina, bet labā puse prasīs zināmu darbu; konkrēti, ķēdes likums un produkta noteikums. Pirmkārt, grēkam (xy) jāpiemēro ķēdes likums un pēc tam argumenta produkta noteikums xy. Par laimi mēs jau aprēķinājām šo produkta likumu.

Pēc tam, to vienkāršojot, iegūst: y '= cos (xy) (y + xy').

Skaidrs, ka šis vienādojums ir jāatrisina y ' lai noteiktu, kā y ' ir saistīts ar x un y.

Izolējiet visus terminus ar y ' vienā pusē: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Tad ņem vērā y ' lai iegūtu: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Tagad mēs redzam, ka y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

Vajadzīga turpmāka vienkāršošana, bet, tā kā mūsu funkcija ir rekursīvi definēta, iespraudot y = sin (xy), iespējams, nedosiet apmierinošu risinājumu. Šajā gadījumā var būt noderīga vairāk informācijas vai sarežģītāka metode šo vienādojumu uzzīmēšanai.

Pirmkārt, atcerieties, ka netiešā diferenciācija balstās uz to, ka viens no mainīgajiem ir otra funkcija. Parasti mēs funkcijas redzam kā y = f (x), bet varētu uzrakstīt funkciju x = f (y). Esiet piesardzīgs, tuvojoties šīm problēmām, lai noteiktu, kurš mainīgais ir atkarīgs no otra.

Pēc tam atcerieties rūpīgi piemērot atvasinātos noteikumus. Netiešai diferencēšanai ļoti bieži būs nepieciešama ķēdes kārtula, kā arī produkta kārtula un koeficienta koeficients. Pareiza šo metožu piemērošana būs būtiska, lai noteiktu galīgo atbildi.

Visbeidzot, atrisiniet vēlamo atvasinājumu, izolējot to un pēc iespējas vienkāršojot izteicienus.