Tayloro eilutė yra skaitinis metodas, nurodantis tam tikrą funkciją. Šis metodas taikomas daugelyje inžinerijos sričių. Kai kuriais atvejais, pavyzdžiui, šilumos perdavimas, diferencinė analizė lemia lygtį, kuri tinka Tayloro serijos formai. Tayloro serija taip pat gali būti integralas, jei tos funkcijos integralas neegzistuoja analitiškai. Šios reprezentacijos nėra tikslios vertės, tačiau apskaičiuojant daugiau serijos terminų, aproksimacija bus tikslesnė.
Pasirinkite „Taylor“ serijos centrą. Šis skaičius yra savavališkas, tačiau verta rinktis centrą, kuriame yra funkcijos simetrija arba kur centro vertė supaprastina problemos matematiką. Jei apskaičiuojate Tayloro serijos f (x) = sin (x) vaizdą, geras naudojamas centras yra a = 0.
Nustatykite norimų apskaičiuoti terminų skaičių. Kuo daugiau terminų naudosite, tuo tikslesnis bus jūsų atvaizdavimas, tačiau kadangi „Taylor“ serija yra begalinė serija, neįmanoma įtraukti visų galimų terminų. „Sin“ (x) pavyzdyje bus naudojami šeši terminai.
Apskaičiuokite darinius, kurių jums reikės serijai. Šiame pavyzdyje turite apskaičiuoti visus darinius iki šeštosios išvestinės. Kadangi Tayloro serija prasideda nuo „n = 0“, turite įtraukti „0-ąjį“ darinį, kuris yra tik pirminė funkcija. 0-asis darinys = sin (x) 1 = cos (x) 2 = -sin (x) 3 = -cos (x) 4 = sin (x) 5 = cos (x) 6-as = -sin (x)
Apskaičiuokite kiekvieno išvestinio produkto vertę pasirinktame centre. Šios reikšmės bus pirmųjų šešių Tayloro serijos terminų skaitikliai. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Norėdami nustatyti Tayloro serijos terminus, naudokite išvestinius skaičiavimus ir centrą. 1 kadencija; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2 kadencija; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3 kadencija; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4 kadencija; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5 kadencija; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6-oji kadencija; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Tayloro serija nuodėmei (x): nuodėmė (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Nuleiskite nulinius serijos terminus ir supaprastinkite išraišką algebriškai, kad nustatytumėte supaprastintą funkcijos vaizdą. Tai bus visiškai kitokia serija, todėl anksčiau naudotos „n“ vertės nebetaikomos. nuodėmė (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... nuodėmė (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Kadangi ženklai keičia teigiamą ir neigiamą, pirmasis supaprastintos lygties komponentas turi būti (-1) ^ n, nes eilutėje nėra lyginių skaičių. Terminas (-1) ^ n sukelia neigiamą ženklą, kai n yra nelyginis, ir teigiamą ženklą, kai n yra lyginis. Nelyginių skaičių eilės vaizdavimas yra (2n + 1). Kai n = 0, šis terminas lygus 1; kai n = 1, šis terminas lygus 3 ir taip iki begalybės. Šiame pavyzdyje naudokite šį vaizdą x rodikliams ir vardiklyje esantiems faktoriams
Vietoj pradinės funkcijos naudokite funkcijos vaizdą. Pažangesnėms ir sudėtingesnėms lygtims Tayloro eilutė gali padaryti neišsprendžiamą lygtį išsprendžiama arba bent jau pateikti pagrįstą skaitinį sprendimą.