3 Lygčių sistemų sprendimo metodai

Trys metodai, dažniausiai naudojami sprendžiant lygčių sistemas, yra pakaitalai, eliminacija ir padidintos matricos. Pakeitimas ir pašalinimas yra paprasti metodai, kurie gali efektyviai išspręsti daugumą dviejų lygčių sistemų keliais nesudėtingais žingsniais. Padidintų matricų metodas reikalauja daugiau žingsnių, tačiau jo taikymas apima didesnę sistemų įvairovę.

Pakeitimas yra lygčių sistemų sprendimo metodas, pašalinant visus kintamuosius, išskyrus vieną, iš vienos iš lygčių ir tada išsprendus tą lygtį. Tai pasiekiama izoliuojant kitą kintamąjį lygtyje, o tada pakeičiant šių kintamųjų reikšmes kitoje kitoje lygtyje. Pavyzdžiui, norėdami išspręsti lygčių sistemą x + y = 4, 2x - 3y = 3, išskirkite kintamąjį x pirmame lygtis gauti x = 4 - y, tada pakeiskite šią y reikšmę į antrąją lygtį, kad gautumėte 2 (4 - y) - 3y = 3. Ši lygtis supaprastina iki -5y = -5 arba y = 1. Prijunkite šią vertę į antrąją lygtį, kad rastumėte x reikšmę: x + 1 = 4 arba x = 3.

Pašalinimas yra dar vienas būdas išspręsti lygčių sistemas, perrašant vieną iš lygčių tik vienu kintamuoju. Pašalinimo metodas tai pasiekia pridedant arba atimant lygtis vienas nuo kito, kad būtų panaikintas vienas iš kintamųjų. Pavyzdžiui, pridėjus lygtis x + 2y = 3 ir 2x - 2y = 3, gaunama nauja lygtis 3x = 6 (atkreipkite dėmesį, kad y terminai atšaukti). Tada sistema yra išspręsta naudojant tuos pačius metodus kaip ir pakeičiant. Jei neįmanoma atšaukti lygčių kintamųjų, reikės dauginti visą lygtį iš koeficiento, kad koeficientai sutaptų.

Padidintos matricos taip pat gali būti naudojamos sprendžiant lygčių sistemas. Padidinta matrica susideda iš kiekvienos lygties eilučių, kiekvieno kintamojo stulpelių ir padidinto stulpelio, kuriame yra pastovus terminas kitoje lygties pusėje. Pavyzdžiui, lygčių sistemos 2x + y = 4, 2x - y = 0 išplėstinė matrica yra [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

Kitas žingsnis apima elementarių eilučių operacijų naudojimą, pvz., Eilutės padauginimą arba padalijimą iš konstantos, išskyrus nulį, ir eilučių pridėjimą ar atimimą. Šių operacijų tikslas yra konvertuoti matricą į eilučių-ešelonų formą, kurioje pirmasis nulis nuo nulio kiekvienoje eilutėje yra 1, įrašai aukščiau ir žemiau šio įrašo yra visi nuliai, o pirmasis ne nulis kiekvienos eilutės įrašas visada yra dešinėje nuo visų tokių eilučių įrašų virš jo. Aukščiau nurodytos matricos eilučių ešelono forma yra [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Pirmojo kintamojo reikšmę pateikia pirmoji eilutė (1x + 0y = 1 arba x = 1). Antrojo kintamojo reikšmę pateikia antroji eilutė (0x + 1y = 2 arba y = 2).

Pakeitimas ir pašalinimas yra paprastesni lygčių sprendimo metodai ir naudojami daug dažniau nei padidintos matricos pagrindinėje algebroje. Pakeitimo metodas yra ypač naudingas, kai vienas iš kintamųjų jau yra izoliuotas vienoje iš lygčių. Pašalinimo metodas yra naudingas, kai vieno iš kintamųjų koeficientas yra vienodas (arba jo neigiamas ekvivalentas) visose lygtyse. Pagrindinis padidintų matricų privalumas yra tas, kad jas galima naudoti sprendžiant trijų ar daugiau lygčių sistemas situacijose, kai pakaitalas ir eliminacija yra neįmanoma arba neįmanoma.