Kas yra tikrieji skaičiai?

Tikrieji skaičiai yra visi skaičiai, esantys tiesių linijoje, besitęsiantys nuo neigiamos begalybės iki nulio iki teigiamos begalybės. Ši realiųjų skaičių aibės konstrukcija nėra savavalinė, ji yra natūralių skaičių, naudojamo skaičiuojant, evoliucijos rezultatas. Natūraliųjų skaičių sistema turi keletą neatitikimų, o kai skaičiavimai tapo sudėtingesni, skaičių sistema išsiplėtė, kad išspręstų jos apribojimus. Turint tikrus skaičius, skaičiavimai duoda nuoseklius rezultatus ir yra nedaug išimčių ar apribojimų, kaip kad buvo su primityvesnėmis skaičių sistemos versijomis.

TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)

Realiųjų skaičių aibę sudaro visi skaičių eilutėje esantys skaičiai. Tai apima natūralius skaičius, sveikus skaičius, sveikus skaičius, racionalius skaičius ir iracionalius skaičius. Tai neapima įsivaizduojamų skaičių ar sudėtinių skaičių.

Uždarymas yra skaičių aibės savybė, o tai reiškia, kad jei leidžiami skaičiavimai atliekami skaičiams, kurie yra rinkinio nariai, atsakymai taip pat bus skaičiai, kurie yra rinkinio nariai. Teigiama, kad rinkinys uždarytas.

Natūralūs skaičiai yra skaičiavimo skaičiai, 1, 2, 3..., o natūraliųjų skaičių aibė nėra uždara. Kadangi komercijoje buvo naudojami natūralūs skaičiai, iškart kilo dvi problemos. Natūraliais skaičiais buvo skaičiuojami tikri daiktai, pavyzdžiui, karvės, jei ūkininkas turėjo penkias karves ir pardavė penkias karves, tačiau natūralaus rezultato skaičiaus nebuvo. Ankstyvosios skaičių sistemos labai greitai sukūrė nulio terminą šiai problemai spręsti. Rezultatas buvo sveikųjų skaičių sistema, kuri yra natūralieji skaičiai plius nulis.

Antroji problema taip pat buvo susijusi su atimimu. Kol skaičiai skaičiavo tikrus objektus, tokius kaip karvės, ūkininkas negalėjo parduoti daugiau karvių nei turėjo. Bet kai skaičiai tapo abstraktūs, atėmus didesnius skaičius iš mažesnių, atsakymai buvo už sveikųjų skaičių sistemos ribų. Todėl buvo įvesti sveiki skaičiai, kurie yra sveiki skaičiai plius neigiami natūralieji skaičiai. Skaičių sistemoje dabar yra visa skaičių eilutė, bet tik su sveikaisiais skaičiais.

Skaičiavimai uždaroje skaičių sistemoje turėtų pateikti atsakymus iš tokios operacijos kaip susiejimas ir dauginimas, bet ir jų atvirkštinės operacijos, atimtis ir padalijimas. Sveikųjų skaičių sistema uždaryta sudedant, atimant ir dauginant, bet ne dalijimui. Jei sveikasis skaičius padalijamas iš kito skaičiaus, rezultatas ne visada yra sveikasis skaičius.

Padalinus mažą sveiką skaičių didesniu, gaunama trupmena. Tokios trupmenos buvo įtrauktos į skaičių sistemą kaip racionalūs skaičiai. Racionalieji skaičiai apibrėžiami kaip bet kokie skaičiai, kuriuos galima išreikšti dviejų sveikųjų skaičių santykiu. Bet kurį savavališką dešimtainį skaičių galima išreikšti kaip racionalųjį skaičių. Pvz., 2.864 yra 2864/1000, o 0.89632 yra 89632 / 100.000. Skaičių eilutė dabar atrodė baigta.

Skaičių eilutėje yra skaičių, kurių negalima išreikšti sveikųjų skaičių dalimi. Vienas iš jų yra stačiakampio trikampio kraštinių ir hipotenuzos santykis. Jei dvi stačiakampio trikampio kraštinės yra 1 ir 1, hipotenuzė yra kvadratinė 2 šaknis. Kvadratinė šaknis iš dviejų yra begalinis dešimtainis skaičius, kuris nesikartoja. Tokie skaičiai vadinami iracionaliais, ir jie apima visus realius skaičius, kurie nėra racionalūs. Pagal šį apibrėžimą visų realiųjų skaičių skaičių eilutė yra baigta, nes bet kuris kitas realus skaičius, kuris nėra racionalus, yra įtrauktas į iracionalaus apibrėžimą.

Nors sakoma, kad tikrojo skaičiaus eilutė tęsiasi nuo neigiamos iki teigiamos begalybės, pati begalybė nėra a tikrasis skaičius, bet veikiau skaičių sistemos samprata, kuri apibrėžia kaip didesnį už bet kurį kiekį numeris. Matematiškai begalybė yra atsakymas į 1 / x, kai x pasiekia nulį, tačiau dalijimasis su nuliu nėra apibrėžtas. Jei begalybė būtų skaičius, tai sukeltų prieštaravimų, nes begalybė nesilaiko aritmetikos dėsnių. Pavyzdžiui, begalybė plius 1 vis tiek yra begalybė.

Tikrųjų skaičių rinkinys yra uždarytas sudedant, atimant, dauginant ir dalijant, išskyrus dalijimą iš nulio, kuris nėra apibrėžtas. Komplektas nėra uždarytas bent vienai kitai operacijai.

Realiųjų skaičių aibės daugybos taisyklės nurodo, kad dauginant neigiamą ir a teigiamas skaičius suteikia neigiamą skaičių, o dauginant teigiamus ar neigiamus skaičius - teigiamą atsakymai. Tai reiškia, kad specialus skaičiaus padauginimo atvejis duoda teigiamą skaičių tiek teigiamiems, tiek neigiamiems skaičiams. Atvirkštinė šio ypatingo atvejo reikšmė yra teigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis, suteikiantis teigiamą ir neigiamą atsakymą. Dėl neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies tikrųjų skaičių aibėje atsakymo nėra.

Įsivaizduojamų skaičių aibės koncepcija sprendžia realiųjų skaičių neigiamų kvadratinių šaknų klausimą. Kvadratinė šaknis atėmus 1 apibrėžiama kaip i, o visi įsivaizduojami skaičiai yra daugikliai i. Norėdami užbaigti skaičių teoriją, kompleksinių skaičių aibė apibrėžiama kaip apimanti visus realiuosius ir visus įsivaizduojamus skaičius. Tikrieji skaičiai gali būti toliau vizualizuojami horizontalioje skaičių tiesėje, o įsivaizduojami skaičiai yra vertikali skaičių tiesė, o abu susikerta ties nuline. Kompleksiniai skaičiai yra taškai dviejų skaičių tiesių plokštumoje, kiekvienas su realiuoju ir įsivaizduojamuoju komponentu.