Daugialypių funkcijų sprendimas yra pagrindinis įgūdis tiems, kurie studijuoja matematiką ar fiziką, tačiau susidurti su procesu, ypač kai kalbama apie aukštesnės eilės funkcijas, gali būti gana sunku. Kubinė funkcija yra vienas iš sudėtingiausių daugianario lygties tipų, kurį gali tekti išspręsti ranka. Nors tai gali būti ne taip paprasta, kaip išspręsti kvadratinę lygtį, yra keli metodai galite naudoti norėdami rasti kubinės lygties sprendimą nenaudodami puslapių ir išsamių puslapių algebra.
Kas yra kubinė funkcija?
Kubinė funkcija yra trečio laipsnio polinomas. Bendroji daugianario funkcija yra tokia:
f (x) = ax ^ n + bx ^ {n-1} + cx ^ {n-2}... vx ^ 3 + wx ^ 2 + zx + k
Čia x yra kintamasis, n yra tiesiog bet koks skaičius (ir daugianario laipsnis), k yra konstanta, o kitos raidės yra pastovūs koeficientai kiekvienai x. Taigi kubinė funkcija turi n = 3 ir yra tiesiog:
f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d
Kur šiuo atveju d yra pastovus. Apskritai, kai turite išspręsti kubinę lygtį, jums bus pateikta tokia forma:
ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d = 0
Kiekvienas sprendimas x vadinamas lygties „šaknimi“. Kubinės lygtys turi vieną tikrą šaknį arba tris, nors jos gali būti pakartotos, tačiau visada yra bent vienas sprendimas.
Lygties tipą apibrėžia didžiausia galia, todėl aukščiau pateiktame pavyzdyje tai nebūtų kubinė lygtis, jei a = 0, nes aukščiausias galios terminas būtų bx2 ir tai būtų kvadratinė lygtis. Tai reiškia, kad visos kubinės lygtys yra šios:
2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 6x −9 = 0 \\ x ^ 3 −9x + 1 = 0 \\ x ^ 3 −15x ^ 2 = 0
Sprendimas naudojant faktoriaus teoremą ir sintetinį padalijimą
Lengviausias būdas išspręsti kubinę lygtį apima šiek tiek spėlionių ir algoritminį proceso tipą, vadinamą sintetiniu dalijimu. Vis dėlto pradžia iš esmės yra tokia pati kaip bandymų ir klaidų metodas kubinių lygčių sprendimams. Pabandykite išsiaiškinti, kas yra viena iš šaknų, atspėdama. Jei turite lygtį, kur pirmasis koeficientas, a, lygus 1, tada šiek tiek lengviau atspėti vieną iš šaknų, nes jie visada yra pastovaus termino, kurį vaizduoja aukščiau, veiksniai d.
Taigi, žiūrėdami į šią lygtį, pavyzdžiui:
x ^ 3 - 5x ^ 2 - 2x + 24 = 0
Turite atspėti vieną iš reikšmių x, bet nuo to laiko a = 1 šiuo atveju jūs žinote, kad ir kokia būtų vertė, ji turi būti koeficientas 24. Pirmasis toks faktorius yra 1, tačiau tai paliks:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
Kuris nėra nulis, o −1 paliktų:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
Kuris vėlgi nėra nulis. Kitas, x = 2 duotų:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
Dar viena nesėkmė. Bandau x = −2 suteikia:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
Tai reiškia x = −2 yra kubinės lygties šaknis. Tai rodo bandymų ir klaidų metodo privalumus ir trūkumus: atsakymą galite gauti be daug mintis, bet tai užima daug laiko (ypač jei prieš ieškodami šaknies turite kreiptis į aukštesnius veiksnius). Laimei, radę vieną šaknį, galite lengvai išspręsti likusią lygtį.
Svarbiausia yra įtraukti veiksnio teoremą. Tai teigia, kad jei x = s yra sprendimas, tada (x – s) yra veiksnys, kurį galima ištraukti iš lygties. Šioje situacijoje s = −2 ir taip (x + 2) yra veiksnys, kurį galime ištraukti palikdami:
(x + 2) (x ^ 2 + kirvis + b) = 0
Antrosios skliaustų grupės terminai turi kvadratinės lygties formą, taigi, jei rasite tinkamas reikšmes a ir b, lygtį galima išspręsti.
Tai galima pasiekti naudojant sintetinį dalijimą. Pirmiausia viršutinėje lentelės eilutėje užrašykite pradinės lygties koeficientus su skiriamąja linija, tada dešinėje žinomą šaknį:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & & \\ \ hline & & & \ end {array}
Palikite vieną atsarginę eilutę ir po ja pridėkite horizontalią liniją. Pirmiausia paimkite pirmąjį skaičių (šiuo atveju 1) iki eilutės, esančios žemiau horizontalios linijos
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & & \\ \ hline 1 & & & & end {array }
Dabar padauginkite ką tik sumažintą skaičių iš žinomos šaknies. Tokiu atveju 1 × −2 = −2, ir tai parašyta žemiau kito sąrašo skaičiaus taip:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & & & & end {masyvas}
Tada pridėkite skaičius antrame stulpelyje ir padėkite rezultatą žemiau horizontalios linijos:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & -7 & & & \ end {array}
Dabar pakartokite ką tik patirtą procesą su nauju skaičiumi po horizontalia linija: padauginkite iš root, įdėkite atsakymą į tuščią vietą kitame stulpelyje ir pridėkite stulpelį, kad gautumėte naują skaičių apatinė eilutė. Tai palieka:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & & \ end {array}
Ir tada pereikite procesą paskutinį kartą.
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & 0 & \ end {array}
Tai, kad paskutinis atsakymas yra nulis, nurodo, kad turite teisingą šaknį, taigi, jei tai nėra nulis, tada kažkur suklydote.
Apatinėje eilutėje nurodomi trijų terminų, esančių antrame skliaustų rinkinyje, veiksniai, todėl galite parašyti:
(x ^ 2 - 7x + 12) = 0
Ir taip:
(x + 2) (x ^ 2 - 7x + 12) = 0
Tai yra svarbiausias sprendimo etapas, kurį galite baigti įvairiais būdais.
Faktoriniai kubiniai polinomai
Pašalinę veiksnį, galite rasti sprendimą naudodami faktorizavimą. Iš aukščiau pateikto žingsnio tai iš esmės yra ta pati problema kaip ir kvadratinės lygties skaičiavimas, kuris kai kuriais atvejais gali būti sudėtingas. Tačiau dėl išraiškos:
(x ^ 2 - 7x + 12)
Jei prisimenate, kad du skliausteliuose įdėtus skaičius reikia pridėti, kad gautumėte antrąjį koeficientą (7) ir padaugintumėte, kad gautumėte trečiąjį (12), tai gana lengva suprasti, kad šiuo atveju:
(x ^ 2 - 7x + 12) = (x - 3) (x - 4)
Jei norite, galite tai padauginti, kad patikrintumėte. Nesijauskite nusiminę, jei iškart nematote faktorizacijos; tam reikia šiek tiek praktikos. Tai palieka pradinę lygtį:
(x + 2) (x - 3) (x - 4) = 0
Čia galite rasti sprendimus, kuriuos galite pamatyti iškart x = −2, 3 ir 4 (visi jie yra koeficientai 24, pirminė konstanta). Teoriškai taip pat gali būti įmanoma pamatyti visą koeficientą, pradedant nuo pradinės lygties versijos, tačiau tai yra daug daugiau iššūkių, todėl prieš bandydami aptikti a, geriau rasti vieną bandymų ir klaidų sprendimą ir naudoti pirmiau pateiktą metodą faktorizavimas.
Jei stengiatės pamatyti koeficientą, galite naudoti kvadratinės lygties formulę:
x = {- b \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4ac} \ aukščiau {1pt} 2a}
Norėdami rasti likusius sprendimus.
Naudojant kubinę formulę
Nors tai yra daug didesnė ir mažiau paprasta spręsti, yra paprastas kubinių lygčių sprendėjas kubinės formulės pavidalu. Tai panašu į kvadratinės lygties formulę, kurioje tiesiog įvedate savo reikšmes a, b, c ir d gauti sprendimą, bet yra tik daug ilgesnis.
Jame teigiama:
x = (q + [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + (q - [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + p
kur
p = {−b \ aukščiau {1pt} 3a}
q = p ^ 3 + {bc − 3ad \ aukščiau {1pt} 6a ^ 2}
ir
r = {c \ aukščiau {1pt} 3a}
Naudoti šią formulę užima daug laiko, tačiau jei nenorite naudoti bandymų ir klaidų metodo kubinių lygčių sprendimams, o tada kvadratinės formulės, tai veikia, kai visa tai išgyvenate.