Kiekvienas aukštesnio lygio algebros studentas turi išmokti spręsti kvadratines lygtis. Tai yra daugianario lygties tipas, į kurį įeina 2 galia, bet nėra didesnės, ir jie turi bendrą formą:kirvis2 + bx + c= 0. Tai galite išspręsti naudodami kvadratinės lygties formulę, faktorizuodami arba užpildydami kvadratą.
TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)
Pirmiausia ieškokite koeficiento, kad išspręstumėte lygtį. Jei nėra vieno, betbkoeficientas dalijasi iš 2, užpildykite kvadratą. Jei nė vienas metodas nėra lengvas, naudokite kvadratinės lygties formulę.
Faktorizacijos naudojimas lygčiai išspręsti
Faktorizacijoje naudojamas faktas, kad dešinioji standartinės kvadratinės lygties pusė lygi nuliui. Tai reiškia, kad jei jūs galite padalyti lygtį į du skliaustuose esančius terminus, padaugintus iš kitų, galite išsiaiškinti sprendimus, galvodami apie tai, kas padarys kiekvieną skliaustą lygų nuliui. Pateikti konkretų pavyzdį:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Palyginkite tai su standartine forma:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Pavyzdyje
a = 1, b= 6 irc= 9. Faktorizavimo uždavinys yra surasti du skaičius, kurie sujungiami, kad gautų skaičiųbpastebėkite ir padauginkite kartu, kad gautumėte skaičių vietojec.Taigi, vaizduodami skaičius pagaldire, jūs ieškote skaičių, kurie tenkina:
d + e = b
Arba šiuo atveju sub = 6:
d + e = 6
Ir
d × e = c
Arba šiuo atveju suc = 9:
d × e = 9
Susitelkite į skaičių, kurie yra veiksniai, paieškąc, tada pridėkite juos kartu, kad pamatytumėte, ar jie lygūsb. Kai turite savo numerius, įdėkite juos tokiu formatu:
(x + d) (x + e)
Aukščiau pateiktame pavyzdyje abudireyra 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Jei padauginsite skliaustelius, vėl gausite originalią išraišką, ir tai yra gera praktika, kad patikrintumėte faktorių. Šį procesą galite paleisti (paeiliui padauginę pirmąją, vidinę, išorinę ir paskiausiai paskutines skliaustų dalis - daugiau informacijos rasite šaltiniuose), kad pamatytumėte jį atvirkščiai:
\ prasideda {lygiuota} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {lygiuota}
Faktorizacija veiksmingai vykdo šį procesą atvirkščiai, tačiau gali būti sudėtinga jį išsiaiškinti teisingas būdas apskaičiuoti kvadratinę lygtį, ir šis metodas nėra idealus kiekvienai kvadratinei lygčiai priežastis. Dažnai turite atspėti faktorizaciją ir tada ją patikrinti.
Dabar problema yra ta, kad bet kuri iš skliaustuose esančių frazių pasirenkama lygi nuliui, pasirinkus vertės reikšmęx. Jei kuris nors skliaustas yra lygus nuliui, visa lygtis lygi nuliui ir jūs radote sprendimą. Pažvelkite į paskutinį etapą [(x + 3) (x+ 3) = 0] ir pamatysite, kad tik tada, kai skliausteliuose pasirodys nulis, yrax= −3. Daugeliu atvejų kvadratinės lygtys turi du sprendimus.
Faktorizacija yra dar sudėtingesnė, jeianėra lygus vienam, bet iš pradžių geriau sutelkti dėmesį į paprastus atvejus.
Kvadrato užbaigimas, kad išspręstume lygtį
Užpildę kvadratą, galite išspręsti kvadratines lygtis, kurių negalima lengvai suskirstyti į faktorius. Šis metodas gali būti tinkamas bet kuriai kvadratinei lygčiai, tačiau kai kurios lygtys jai tinka labiau nei kitos. Šis metodas apima išraiškos pavertimą tobulu kvadratu ir to išsprendimą. Bendras tobulas kvadratas išsiplečia taip:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį užpildydami kvadratą, išsirinkite išraišką į formą, esančią dešinėje pusėje aukščiau. Pirmiausia padalykite skaičių įbpadėtį 2, o tada rezultatą kvadratuokite. Taigi lygčiai:
x ^ 2 + 8x = 0
Koeficientasb= 8, taigib÷ 2 = 4 ir (b ÷ 2)2 = 16.
Pridėkite tai prie abiejų pusių, kad gautumėte:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Atminkite, kad ši forma atitinka tobulą kvadratinę formą sud= 4, taigi 2d= 8 ird2 = 16. Tai reiškia, kad:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Įterpkite tai į ankstesnę lygtį, kad gautumėte:
(x + 4) ^ 2 = 16
Dabar išspręskite lygtįx. Paimkite abiejų pusių kvadratinę šaknį, kad gautumėte:
x + 4 = \ sqrt {16}
Iš abiejų pusių atimkite 4, kad gautumėte:
x = \ sqrt {16} - 4
Šaknis gali būti teigiama arba neigiama, o paėmus neigiamą šaknį gaunama:
x = -4 - 4 = -8
Raskite kitą sprendimą su teigiama šaknimi:
x = 4 - 4 = 0
Todėl vienintelis nulis nuo nulio yra −8. Patvirtinkite tai naudodami originalią išraišką.
Kvadratinės formulės naudojimas lygčiai išspręsti
Kvadratinės lygties formulė atrodo sudėtingesnė nei kiti metodai, tačiau tai yra patikimiausias metodas, kurį galite naudoti bet kurioje kvadratinėje lygtyje. Lygtyje naudojami simboliai iš standartinės kvadratinės lygties:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Ir teigia, kad:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Įdėkite reikiamus skaičius į jų vietas ir perskaitykite formulę, kurią norite išspręsti, nepamirškite pabandyti ir atimti, ir pridėti kvadratinės šaknies terminą, ir atkreipkite dėmesį į abu atsakymus. Šis pavyzdys:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Tu turia = 1, b= 6 irc= 5. Taigi formulė suteikia:
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {aligned}
Teigiamo ženklo paėmimas suteikia:
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {aligned}
O paėmus neigiamą ženklą gaunama:
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {aligned}
Kurie yra du lygties sprendiniai.
Kaip nustatyti geriausią kvadratinių lygčių sprendimo būdą
Prieš bandydami ką nors kita, ieškokite faktoriaus. Jei galite pastebėti, tai greičiausias ir paprasčiausias būdas išspręsti kvadratinę lygtį. Atminkite, kad ieškote dviejų skaičių, kurių suma lygibkoeficientą ir padauginkite, kad gautumėteckoeficientas. Pagal šią lygtį:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Galite pastebėti, kad 2 + 3 = 5 ir 2 × 3 = 6, taigi:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Irx= −2 arbax = −3.
Jei nematote koeficiento, patikrinkite, arbkoeficientas dalijasi iš 2, nesinaudojant trupmenomis. Jei taip, užpildyti kvadratą yra bene paprasčiausias būdas išspręsti lygtį.
Jei nė vienas požiūris neatrodo tinkamas, naudokite formulę. Atrodo, kad tai yra sunkiausias būdas, tačiau jei esate egzamine ar kitaip stumiate laiką, tai gali padaryti procesą daug mažiau įtempiantį ir daug greitesnį.