Dalelė dėžutėje (fizika): lygtis, išvedimas ir pavyzdžiai

Skirtumas tarp klasikinės mechanikos ir kvantinės mechanikos yra didžiulis. Nors klasikinėje mechanikoje dalelės ir objektai turi aiškiai apibrėžtas pozicijas, kvantinėje mechanikoje (prieš atliekant matavimą) a galima sakyti, kad dalelė turi tik keletą galimų padėčių, kurias banga apibūdina tikimybių požiūriu funkcija.

Schrodingerio lygtis apibrėžia kvantinių mechaninių sistemų bangų funkciją, o išmokti ją naudoti ir interpretuoti yra svarbi bet kurio kvantinės mechanikos kurso dalis. Vienas iš paprasčiausių šios lygties sprendimo pavyzdžių yra dalelė dėžutėje.

Bangos funkcija

Kvantinėje mechanikoje dalelę vaizduoja abangos funkcija. Tai paprastai žymima graikiška raidė psi (Ψ) ir tai priklauso tiek nuo padėties, tiek nuo laiko ir joje yra viskas, ką galima žinoti apie dalelę.

Šios funkcijos kvadratu modulis nurodo tikimybę, kad dalelė bus rastaxlaikut, jei funkcija yra „normalizuota“. Tai tiesiog reiškia, kad reikia sureguliuoti taip, kad jį tikrai būtų galima rastikai kuriepozicijąxtuo metutkai apibendrinami rezultatai kiekvienoje vietoje, t. y. normalizavimo sąlyga sako, kad:

\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1

Norėdami apskaičiuoti dalelės padėties laukimo vertę tuo metu, galite naudoti bangų funkcijąt, kur laukiama vertė reiškia tik vidutinę vertę, už kurią gautumėtexjei matavimą pakartojote daug kartų. Žinoma, tai nereiškia, kad tai bus rezultatas, kurį gausite atlikdami bet kurį matavimą - tai yraefektyviaiatsitiktinė, nors kai kurios vietos dažniausiai yra žymiai labiau tikėtinos nei kitos.

Yra daugybė kitų dydžių, pagal kuriuos galite apskaičiuoti tikėtinas vertes, pavyzdžiui, impulsų ir energijos vertės, taip pat daugybė kitų „stebimų“ verčių.

Schrodingerio lygtis

Schrodingerio lygtis yra diferencialinė lygtis, kuri naudojama norint rasti bangos funkcijos vertę ir dalelės energijos savybes. Lygtis gali būti gaunama iš energijos išsaugojimo ir dalelės kinetinės bei potencialios energijos išraiškų. Paprasčiausias būdas tai parašyti:

H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ dalinis t}

Bet čiaHatstovaujaHamiltono operatorius, kas savaime yra gana ilga išraiška:

H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x)

Čiamyra masė, ℏ yra Plancko konstanta, padalyta iš 2π, irV​ (​x) yra bendra potencialios sistemos energijos funkcija. Hamiltonas turi dvi skirtingas dalis - pirmasis terminas yra sistemos kinetinė energija, o antrasis - potenciali energija.

Kiekviena stebima kvantinės mechanikos vertė yra susieta su operatoriumi, o nuo laiko nepriklausomoje Schrodingerio lygties versijoje Hamiltonas yra energijos operatorius. Tačiau aukščiau pateiktoje nuo laiko priklausančioje versijoje Hamiltonas sukuria ir bangos funkcijos evoliuciją.

Sujungę visą lygtyje esančią informaciją, galite apibūdinti dalelės evoliuciją erdvėje ir laike bei numatyti galimas jos energijos vertes.

Nepriklausoma nuo laiko Schrodingerio lygtis

Nuo laiko priklausančią lygties dalį galima pašalinti, norint apibūdinti situaciją, kuri su laiku nesivysto, atskiriant bangų funkciją į erdvės ir laiko dalis:Ψ​(​x​, ​t​) = ​Ψ​(​x​) ​f​(​t). Tada nuo lygties galima atšaukti nuo laiko priklausančias dalis, paliekant nuo laiko nepriklausomą Schrodingerio lygties versiją:

H Ψ (x) = E (Ψ (x))

Eyra sistemos energija. Tai turi tikslią savosios vertės lygties formą suΨ​(​x) yra savoji funkcija irEyra savoji vertė, todėl nuo laiko nepriklausanti lygtis dažnai vadinama kvantinės mechaninės sistemos energijos savosios vertės lygtimi. Laiko funkciją paprasčiausiai pateikia:

f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}

Nepriklausoma nuo laiko lygtis yra naudinga, nes ji supaprastina skaičiavimus daugelyje situacijų, kai laiko evoliucija nėra ypač svarbi. Tai yra naudingiausia forma „dalelių dėžutėje“ problemoms spręsti ir net nustatyti energijos lygius aplink atomą esantiems elektronams.

Dalelė dėžutėje (begalinis kvadratinis šulinys)

Vienas paprasčiausių nuo laiko nepriklausančios Schrodingerio lygties sprendimų yra dalelė an be galo gilus kvadratinis šulinys (t. y. begalinio potencialo šulinys) arba vienmatė pagrindo dėžutė ilgioL. Žinoma, tai yra teoriniai idealizavimai, tačiau tai suteikia pagrindinę idėją, kaip jūs išspręsite Schrodingerio lygtį, neatsižvelgdami į daugelį gamtoje egzistuojančių komplikacijų.

Nustačius potencialią energiją 0 už šulinio, kur tikimybės tankis taip pat yra 0, šios situacijos Schrodingerio lygtis tampa:

\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)

Bendras šios formos lygties sprendimas yra:

Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)

Tačiau pažvelgus į ribines sąlygas, galima tai susiaurinti. Dėlx= 0 irx= L, t. Y. Dėžutės šonai ar šulinio sienos, bangos funkcija turi eiti į nulį. Kosinuso funkcija turi 1 reikšmę, kai argumentas yra 0, taigi, kad būtų įvykdytos ribinės sąlygos, konstantaBturi būti lygus nuliui. Tai palieka:

Ψ (x) = A \ sin (kx)

Norėdami nustatyti vertę, taip pat galite naudoti ribines sąlygask. Kadangi nuodėmės reikšmė eina į nulįnπ, kur kvantinis skaičiusn= 0, 1, 2, 3... ir taip toliau, tai reiškia, kadax​ = ​L, lygtis veiks tik tuo atveju, jeik​ = ​n​π / ​L. Galiausiai, norėdami rasti reikšmę, galite naudoti tai, kad bangos funkcija turi būti normalizuotaA(integruoti į visas įmanomas galimybesxreikšmės, t. y. nuo 0 ikiL, tada nustatykite rezultatą lygų 1 ir pertvarkykite), kad gautumėte galutinę išraišką:

Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)

Naudodami pradinę lygtį ir šį rezultatą, galite išspręstiE, kuris duoda:

E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}

Atkreipkite dėmesį, kad tai, kadnyra šioje išraiškoje reiškia, kad energijos lygiai yrakiekybiškai, todėl jie negali paimtibet koksvertė, bet tik atskiras specifinių energijos lygio verčių rinkinys, priklausantis nuo dalelės masės ir dėžutės ilgio.

Dalelė dėžutėje (baigtinio kvadrato šulinys)

Ta pati problema tampa šiek tiek sudėtingesnė, jei potencialus šulinys turi ribotą sienos aukštį. Pavyzdžiui, jei potencialasV​ (​x) ima vertęV0 už potencialo šulinio ribų ir 0 jo viduje, bangų funkciją galima nustatyti trijuose pagrindiniuose regionuose, kuriuos apima problema. Vis dėlto tai labiau susijęs procesas, todėl čia galėsite matyti tik rezultatus, o ne vykdyti visą procesą.

Jei šulinys yrax= Nuo 0 ikix​ = ​Lvėlgi - regionui, kuriamex<0 sprendimas yra:

Ψ (x) = Būkite ^ {kx}

Regionuix​ > ​L, tai yra:

Ψ (x) = Ae ^ {- kx}

Kur

k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}

Regionui šulinio viduje, kur 0 <x​ < ​L, bendras sprendimas yra:

Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)

Kur

w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}

Tada galite naudoti ribines sąlygas, kad nustatytumėte konstantų reikšmesA​, ​B​, ​CirD, pažymėdamas, kad bangų funkcija ir pirmoji jos išvestinė turi ne tik apibrėžtas vertes prie šulinio sienų, bet ir turi būti ištisinė, o bangos funkcija - visur ribota.

Kitais atvejais, pvz., Sekliose dėžutėse, siaurose dėžėse ir daugelyje kitų specifinių situacijų, galite rasti apytikslius duomenis ir skirtingus sprendimus.

  • Dalintis
instagram viewer