Dviejų skaliarinių dydžių sandauga yra skaliarinė, o skaliarų su vektoriais sandauga yra vektorius, bet kaip su dviejų vektorių sandauga? Ar tai skaliarinis, ar kitas vektorius? Atsakymas yra toks:
Yra du būdai, kaip paimti vektorinį produktą. Vienas iš jų yra jų taškinio sandaugos, gaunančios skaliarą, ir kitas - jų kryžminis produktas, gaunantis kitą vektorių. Kuris produktas naudojamas, priklauso nuo konkretaus scenarijaus ir to, kokį kiekį bandote rasti.
Dviejų vektorių kryžminis sandauga duoda trečią vektorių, kuris nukreiptas statmenai plokštuma, kurią apima du vektoriai ir kurios dydis priklauso nuo abiejų santykinio statmens vektoriai.
Kryžminio vektorių sandaugos apibrėžimas
Pirmiausia apibrėžiame vienetinių vektorių kryžminį sandaugąi, jirk(1 dydžio vektoriai, esantys taškex-, y-irz- standartinės Dekarto koordinačių sistemos komponentų kryptys) taip:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Atkreipkite dėmesį, kad šie santykiai yra antikomunikaciniai, tai yra, jei mes pakeisime vektorių, kurių gauname produktą, eilės tvarką, jis apvers produkto ženklą:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Mes galime naudoti aukščiau pateiktus apibrėžimus, kad gautume dviejų trimačių vektorių kryžminio sandaugos formulę. Pirmiausia parašykite vektoriusairbtaip:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Padauginę du vektorius, gauname:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ paryškintas {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ kartų i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ bold {k \ times k}
Tada, naudojant aukščiau pateiktus vieneto vektoriaus santykius, tai supaprastina:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Atkreipkite dėmesį, kad terminai, kurių kryžminis produktas buvo 0, yra terminai, sudarantys taškinį sandaugą (dar vadinamą skaliariniu sandaugu)!Tai nėra sutapimas.)
Kitaip tariant:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {where} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Kryžminio sandaugos dydį galima rasti naudojant Pitagoro teoremą.
Kryžminio produkto formulė taip pat gali būti išreikšta kaip šios matricos determinantas:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matrica} \ Bigg | \\ = \ didelis | \ prasideda {matrica} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrica} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrica} \ didelis | \ paryškintas {k}
\ text {Kur determinantas} \ Big | \ prasideda {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = skelbimas - bc
Kitas, dažnai labai patogus, kryžminio produkto formulavimas yra (išvestis pateikta šio straipsnio pabaigoje):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n}
Kur:
- |a| yra vektoriaus dydis (ilgis)a
- |b| yra vektoriaus dydis (ilgis)b
- θ yra kampas tarp air b
- nyra vieneto vektorius statmenas plokštumai, kurią apima airb
Statmeniniai vektoriai ir dešinės rankos taisyklė
Kryžminio sandaugos aprašyme teigiama, kad kryžminio sandaugos kryptis yra statmena vektoriaus skleidžiamai plokštumaiair vektoriusb. Bet tai palieka dvi galimybes: tai gali reikštiišlėktuvas arbaįtų vektorių apimtą plokštumą. Realybė yra tokia, kad mes iš tikrųjų galime rinktis tiek, kiek esame nuoseklūs. Vis dėlto matematikų ir mokslininkų pasirinktą palankią kryptį lemia tai, kas vadinamadešinės rankos taisyklė.
Norėdami nustatyti vektoriaus kryžminio produkto kryptį naudodami dešinės rankos taisyklę, dešiniuoju rankos rodomuoju pirštu nukreipkite vektoriaus kryptįao vidurinis pirštas - vektoriaus kryptimib. Tada nykštis rodo kryžminio produkto vektoriaus kryptį.
Kartais šias nuorodas sunku pavaizduoti ant plokščio popieriaus lapo, todėl dažnai sudaromos šios sutartys:
Norėdami nurodyti vektorių, kuris eina į puslapį, nupiešiame apskritimą, kuriame yra X (pagalvokite, kad tai reiškia uodegos plunksnas rodyklės gale, kai žiūrite į ją iš paskos). Norėdami nurodyti vektorių, einantį priešinga puslapio kryptimi, nupiešiame apskritimą, kuriame yra taškas (laikykite tai rodykle, rodančia iš puslapio).
•••na
Kryžminio produkto savybės
Toliau pateikiamos kelios vektorinio kryžminio produkto savybės:
\ # \ tekstas {1. Jei} \ bold {a} \ text {ir} \ bold {b} \ text {yra lygiagrečiai, tada} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ tekstas {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ tekstas {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ tekstas {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ tekstas {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrica } \ Bigg |
Geometrinis kryžminio produkto aiškinimas
Kai vektoriaus kryžminis sandaugas formuluojamas pagal nuodėmę (θ), jo dydį galima interpretuoti kaip lygiagretainio plotą, kurį apima du vektoriai. Taip yra todėla × b, |b| sin (θ) = lygiagretainio aukštis, kaip parodyta, ir |a| yra pagrindas.
•••Dana Chen | Mokslo
Vektoriaus trigubo sandaugos dydisa (b × c) savo ruožtu gali būti interpretuojamas kaip gretasienio, kurį apima vektoriai, tūrisa, birc. Tai yra, nes(b × c) suteikia vektorių, kurio dydis yra plotas, kurį apima vektoriusbir vektoriuscir kurio kryptis yra statmena tai sričiai. Imant vektoriaus taško sandaugąasu šiuo rezultatu iš esmės padaugina bazinį plotą ir aukštį.
Pavyzdžiai
1 pavyzdys:Jėga krūvio daleleiqjuda greičiuvmagnetiniame laukeBsuteikia:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B}
Tarkime, kad elektronas praeina per 0,005 T magnetinį lauką greičiu 2 × 107 m / s. Jei jis praeina statmenai per lauką, jėga, kurią ji jaučia:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1,602 \ kartus 10 ^ {19}) (2 kartus 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1,602 \ kartus 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
Tačiau, jei elektronas eina lygiagrečiai su lauku, tada θ = 0, o sin (0) = 0, todėl jėga yra 0.
Atkreipkite dėmesį, kad elektronui, einančiam statmenai per lauką, ši jėga paskatins jį judėti žiediniu keliu. Šio apskritimo kelio spindulį galima rasti nustatant magnetinę jėgą, lygią centripetinei jėgai, ir išsprendžiant spindulįr:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ reiškia r = \ frac {mv} {qB}
Anksčiau pateiktame pavyzdyje, prijungus skaičius, gaunamas maždaug 0,0227 m spindulys.
2 pavyzdys:Fizinio kiekio sukimo momentas taip pat apskaičiuojamas naudojant vektorinį kryžminį sandaugą. Jei jėgaFtaikomas objektui, esančiam padėtyjernuo sukimosi taško sukimo momentasτapie sukimosi tašką pateikia:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
Apsvarstykite situaciją, kai 7 N jėga kampu veikia 0,75 strypo, kurio kitas galas tvirtinamas prie šarnyro, galą. Kampas tarprirFyra 70 laipsnių, todėl sukimo momentą galima apskaičiuoti:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4,93 \ text {Nm} \ bold { n}
Sukimo momento kryptis,n, yra pagal dešinės rankos taisyklę. Jei jis pritaikytas aukščiau esančiam paveikslėliui, tai rodo kryptį, išeinančią iš puslapio ar ekrano. Apskritai, objektui pritaikytas sukimo momentas norės priversti objektą suktis. Sukimo momento vektorius visada bus ta pačia kryptimi kaip ir sukimosi ašis.
Tiesą sakant, šioje situacijoje gali būti naudojama supaprastinta dešinės rankos taisyklė: naudokite dešinę ranką, kad taip, kad jūsų pirštai susisuktų kryptimi, kuria susietas sukimo momentas, objektas suksis. Tada nykštis rodo sukimo momento vektoriaus kryptį.
Kryžminio produkto formulės išvedimas
\ text {Čia parodysime, kaip kryžminio produkto formulė} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {galima išvesti.}
Apsvarstykite du vektoriusairbsu kampuθtarp jų. Stačias trikampis gali būti suformuotas nubrėžus liniją nuo vektoriaus galoaį statmeną vektoriaus sąlyčio taškąb.
Naudodamiesi Pitagoro teorema, gauname šiuos santykius:
\ Didelė | \ Didelė (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {Kur} \ Didelis (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {yra vektoriaus projekcija} \ bold {a} \ text {onto vector} \ bold {b}.
Šiek tiek supaprastindami išraišką, gauname:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Tada padauginkite abi lygties puses iš |b|2 ir perkelkite pirmąjį terminą į dešinę pusę, kad gautumėte:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
Dirbdami su dešine puse viską padauginkite ir supaprastinkite:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z_z) 2b (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ \ bold {a \ times b} | ^ 2
Nustatydami rezultatą, lygų kairiajai ankstesnės lygties pusei, gauname tokį ryšį:
| \ bold {a \ times b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
Tai rodo, kad formulėje dydžiai yra vienodi, todėl paskutinis dalykas, kurį reikia padaryti norint įrodyti formulę, yra parodyti, kad kryptys taip pat yra vienodos. Tai galima padaryti paprasčiausiai paėmus taškinius produktusasua × birbsua × bir rodo, kad jie yra 0, o tai reiškia, kad kryptisa × b yra statmena abiem.