Rotacinė kinetinė energijaapibūdina judėjimo energiją, atsirandančią dėl objekto sukimosi ar sukamojo judesio. Prisimink tailinijinė kinetinė energijamasėsmjuda greičiuvduoda 1 / 2mv2. Tai yra paprastas bet kurio objekto, judančio tiesia linija, skaičiavimas. Tai taikoma objekto masės centrui, leidžiant objektą priartinti kaip taškinę masę.
Dabar, jei norime apibūdinti išplėstinio objekto, kuriam atliekamas sudėtingesnis judėjimas, kinetinę energiją, skaičiavimas tampa sudėtingesnis.
Galėtume atlikti nuoseklius artinimus suskaidydami išplėstą objektą į mažus gabalėlius, kurių kiekvieną galima apytiksliai įvertinti kaip taško masės, tada apskaičiuokite tiesinę kinetinę energiją kiekvienai taško masei atskirai ir susumuokite juos visus, kad rastumėte bendrą objektas. Kuo mažesnį daiktą suskaidysime, tuo geresnis bus jų derinimas. Riboje, kur gabalai tampa begaliniai, tai galima padaryti skaičiuojant.
Bet mums pasisekė! Kalbant apie sukamąjį judėjimą, yra supaprastinimas. Besisukančio objekto masės pasiskirstymą aplink sukimosi ašį apibūdiname pagal jo inercijos momentą.
Aš, tada mes galime naudoti paprastą sukimosi kinetinės energijos lygtį, aptartą vėliau šiame straipsnyje.Inercijos momentas
Inercijos momentasyra matas, kaip sunku priversti objektą pakeisti sukimosi judesį apie tam tikrą ašį. Besisukančio objekto inercijos momentas priklauso ne tik nuo objekto masės, bet ir nuo to, kaip ta masė pasiskirsto aplink sukimosi ašį. Kuo toliau nuo ašies pasiskirsto masė, tuo sunkiau pakeisti jos sukimosi judesį, taigi, tuo didesnis inercijos momentas.
Inercijos momento SI vienetai yra kgm2 (tai atitinka mūsų supratimą, kad tai priklauso nuo masės ir atstumo nuo sukimosi ašies). Skirtingų objektų inercijos momentus galite rasti lentelėje arba iš skaičiavimo.
Patarimai
Bet kurio objekto inercijos momentą galima rasti naudojant skaičiavimą ir taškinės masės inercijos momento formulę.
Rotacinė kinetinės energijos lygtis
Rotacinės kinetinės energijos formulę pateikia:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
KurAšyra objekto inercijos momentas irωyra objekto kampinis greitis radianais per sekundę (rad / s). SI sukimosi kinetinės energijos vienetas yra džaulis (J).
Sukimosi kinetinės energijos formulės forma yra analogiška transliacijos kinetinės energijos lygčiai; inercijos momentas atlieka masės vaidmenį, o kampinis greitis pakeičia linijinį greitį. Atkreipkite dėmesį, kad sukimosi kinetinės energijos lygtis duoda tą patį taškų masės rezultatą, kaip ir tiesinė lygtis.
Jei įsivaizduotume taškinę masęmjuda spindulio ratursu greičiuv, tada jo kampinis greitis yra ω = v / r, o jo inercijos momentas yra mr2. Abi kinetinės energijos lygtys duoda tą patį rezultatą, kaip ir tikėtasi:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Jei objektas yra ir besisukantis, ir jo masės centras juda tiesiu keliu (kaip, pavyzdžiui, atsitinka su riedančia padanga), tadavisos kinetinės energijosyra sukimosi kinetinės energijos ir transliacijos kinetinių energijų suma:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Rotacinės kinetinės energijos formulės naudojimo pavyzdžiai
Rotacinės kinetinės energijos formulę galima pritaikyti daugeliu atvejų. Juo galima apskaičiuoti paprastą besisukančio objekto kinetinę energiją, apskaičiuoti kinetinę energiją riedantis objektas (objektas, kuris juda ir sukamuoju, ir perkeltiniuoju judesiu) ir sprendžiamas kitiems nežinomi. Apsvarstykite šiuos tris pavyzdžius:
1 pavyzdys:Žemė sukasi aplink savo ašį maždaug kartą per 24 valandas. Jei manome, kad jo tankis yra vienodas, kokia yra jo sukimosi kinetinė energija? (Žemės spindulys yra 6,37 × 106 m, o jo masė yra 5,97 × 1024 kilogramas.)
Norėdami rasti sukimosi kinetinę energiją, pirmiausia turime rasti inercijos momentą. Priartinę Žemę kaip tvirtą sferą, gauname:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6.37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ kartus10 ^ {37} \ tekstas {kgm} ^ 2
Kampinis greitis yra 2π radianai per dieną. Konvertavus į rad / s, gaunama:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {seconds}} = 7.27 times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Taigi Žemės sukimosi kinetinė energija yra tokia:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7.27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ kartus 10 ^ {29} \ text {J}
Įdomus faktas: tai daugiau nei 10 kartų viršija bendrą saulės išleidžiamą energiją per minutę!
2 pavyzdys:Per grindis pastoviu 4 m / s greičiu rieda vienodas 0,75 kg masės ir 0,1 m spindulio cilindras. Kokia yra jo kinetinė energija?
Bendra kinetinė energija apskaičiuojama pagal:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Šiuo atveju aš = 1/2 mr2 yra kietojo cilindro inercijos momentas irωyra susijęs su tiesiniu greičiu per ω = v / r.
Supaprastinus bendrosios kinetinės energijos išraišką ir prijungiant vertes, gaunama:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Atkreipkite dėmesį, kad mums net nereikėjo naudoti spindulio! Jis buvo atšauktas dėl tiesioginio ryšio tarp sukimosi greičio ir tiesinio greičio.
3 pavyzdys:Dviračiu besimokantis studentas nuo poilsio nusileidžia nuo kalno. Jei vertikalus kalvos aukštis yra 30 m, ar greitai studentas eina kalvos apačioje? Tarkime, kad dviratis sveria 8 kg, raitelis sveria 50 kg, kiekvienas ratas sveria 2,2 kg (įskaičiuojamas į dviračio svorį) ir kiekvieno rato skersmuo yra 0,7 m. Apytiksliai įvertinkite ratus kaip ratlankius ir manykite, kad trintis yra nereikšminga.
Čia mes galime naudoti mechaninį energijos taupymą, norėdami rasti galutinį greitį. Potenciali energija kalno viršuje virsta kinetine energija apačioje. Ta kinetinė energija yra viso žmogaus + dviračio sistemos transliacinės kinetinės energijos ir padangų sukimosi kinetinių energijų suma.
Bendra sistemos energija:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9,8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17,052 \ siųsti tekstą {J}
Kalvos apačioje esančios kinetinės energijos bendros energijos formulė yra:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {padangos} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ kartus m_ {padanga} \ kartus r_ {tire} ^ 2) (v / r_ {tire}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {tire} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {padanga} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Sprendimas dėlvsuteikia:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Galiausiai, prijungę skaičius, gausime atsakymą:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ text {m / s}