Dviejų skaliarinių dydžių sandauga yra skaliarinė, o skaliarų su vektoriais sandauga yra vektorius, bet kaip su dviejų vektorių sandauga? Ar tai skaliarinis, ar kitas vektorius? Atsakymas yra toks:
Yra du būdai, kaip dauginti vektorius kartu. Vienas iš jų yra jų taškinio sandaugos, gaunančios skaliarą, ir kitas - jų kryžminis produktas, gaunantis kitą vektorių. Kurį produktą naudoti, priklauso nuo konkretaus scenarijaus ir kokio kiekio bandote rasti.
taškinis produktaskartais vadinamasskaliarinis produktasarbavidinis produktas. Geometriniu požiūriu taškų sandaugą tarp dviejų vektorių galite galvoti kaip apie vektoriaus reikšmių padauginimo būdą, kuris skaičiuoja tik tos pačios krypties įnašus.
- Pastaba: taškiniai gaminiai gali būti neigiami arba teigiami, tačiau šis ženklas nėra krypties nurodymas. Nors vienoje dimensijoje vektoriaus kryptis dažnai nurodoma ženklu, skaliariniai dydžiai taip pat gali turėti su jais susijusių ženklų, kurie nėra krypties rodikliai. Skola yra tik vienas iš daugelio to pavyzdžių.
Dot produkto apibrėžimas
Taškinis vektorių sandaugaa = (ax, ay)irb = (bx, gimy)standartinėje Dekarto koordinačių sistemoje apibrėžiama taip:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Paėmus vektoriaus taškinį sandaugą, atsiranda įdomus ryšys:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Kur |a| yra dydis (ilgis)apagal Pitagoro teoremą.
Kitą taškinio produkto formulę galima gauti naudojant kosinuso dėsnį. Tai daroma taip:
Apsvarstykite ne nulio vektoriusairbkartu su jų skirtumo vektoriua - b. Išdėstykite tris vektorius, kad susidarytumėte trikampį.
Trigonometrijos kosinusų dėsnis mums sako:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
Naudodami taškinio produkto apibrėžimą, gauname:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Nustačius abi išraiškas vienodas ir supaprastinus, gauname:
\ atšaukti {| \ bold {a} | ^ 2} + \ Cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ Cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ atšaukti {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ implises \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
Ši formuluotė leidžia pradėti veikti mūsų geometrinei intuicijai. Kiekis |a| cos (θ) yra vektoriaus projekcijos dydisaant vektoriausb.
Taigi taškinį sandaugą galime galvoti kaip apie vieno vektoriaus projekciją į kitą, o tada - apie jų verčių sandaugą. Kitaip tariant, jis gali būti vertinamas kaip vieno vektoriaus sandauga su kito vektoriaus kiekiu ta pačia kryptimi kaip ir ji pati.
„Dot“ produkto savybės
Toliau pateikiamos kelios taškinio produkto savybės, kurios gali būti naudingos:
\ # \ tekstas {1. Jei} \ theta = 0 \ text {, tada} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Taip yra todėl, kad cos (0) = 1.
\ # \ tekstas {2. Jei} \ theta = 180 \ text {, tada} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Taip yra todėl, kad cos (180) = -1.
\ # \ tekstas {3. Jei} \ theta = 90 \ text {, tada} \ bold {a \ cdot b} = 0
Taip yra todėl, kad cos (90) = 0.
- Pastaba: 0 <
θ
<90, taškinis produktas bus teigiamas, o 90 <
θ
<180, taškinis produktas bus neigiamas.
\ # \ tekstas {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Tai išplaukia iš komutacinio įstatymo taikymo taškinio produkto apibrėžimui.
\ # \ tekstas {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Įrodymas:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ tekstas {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Įrodymas:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ paryškintas {b}
Kaip rasti „Dot“ gaminį
1 pavyzdys:Fizikoje darbas atliekamas jėgosFant objekto, kai jis yra pasislinkęsd, apibrėžiamas kaip:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Kur θ yra kampas tarp jėgos vektoriaus ir poslinkio vektoriaus.
Jėgos atlikto darbo kiekis rodo, kiek ta jėga prisidėjo prie poslinkio. Jei jėga yra ta pačia kryptimi kaip poslinkis (cos (θ) = 0), ji maksimaliai prisideda. Jei jis yra statmenas poslinkiui (cos (Ѳ) = 90), tai visiškai neprisideda. Ir jei jis yra priešingas poslinkiui, (cos (θ) = 180), jis daro neigiamą indėlį.
Tarkime, vaikas stumia žaislinį traukinį per bėgį, pritaikydamas 5 N jėgą 25 laipsnių kampu bėgių kelio linijos atžvilgiu. Kiek vaikas dirba traukinyje, kai ji juda 0,5 m?
Sprendimas:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0.5 \ text {m} \\ theta = 25 \ laipsnis \\
Naudodami taškinį produkto darbo apibrėžimą ir prijungdami vertes, gausime:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ kartus0,5 \ kartus \ cos (25) = \ langeliai {2.27 \ text {J}}
Iš šio konkretaus pavyzdžio turėtų būti dar aiškiau, kad jėgos statmena poslinkio krypčiai taikymas neveikia. Jei vaikas traukinį traukė stačiu kampu į bėgių kelią, traukinys nejudės bėgiais nei į priekį, nei atgal. Taip pat intuityvu, kad vaiko atliekamas darbas traukinyje padidės, nes kampas mažės, o jėga ir poslinkis bus arčiau išlyginimo.
2 pavyzdys:Galia yra dar vienas fizinio kiekio, kurį galima apskaičiuoti naudojant taškinį sandaugą, pavyzdys. Fizikoje galia lygi darbui, padalytam iš laiko, bet taip pat gali būti parašyta kaip jėgos ir greičio taškinis sandauga, kaip parodyta:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Kurvyra greitis.
Apsvarstykite ankstesnį pavyzdį, kai vaikas žaidžia su traukiniu. Jei vietoj to mums sakoma, kad taikoma ta pati jėga, dėl kurios traukinys judėjo 2 m / s greičiu žemyn, tada mes galime naudoti taškinį produktą, kad surastume galią:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 kartus2 kartus \ cos (25) = 9,06 \ tekstas {vatai}
3 pavyzdys:Kitas pavyzdys, kai taškiniai produktai naudojami fizikoje, yra magnetinio srauto atveju. Magnetinis srautas yra magnetinio lauko, einančio per tam tikrą plotą, kiekis. Jis randamas kaip taškinis magnetinio lauko produktasBsu plotuA. (Ploto vektoriaus kryptis yranormalusarba statmenai srities paviršiui.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
Tarkime, kad 0,02 Tesla laukas praeina per vielos kilpą, kurios spindulys yra 10 cm, o 30 laipsnių kampas yra normalus. Kas yra srautas?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 karto (\ pi \ times0,1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Kai šis srautas pasikeičia, pakeičiant lauko vertę, pakeičiant kilpos plotą arba kampą sukant kilpą ar lauko šaltinį, srovė bus sukelta kilpoje, generuojant elektros!
Dar kartą atkreipkite dėmesį, kaip kampas yra svarbus intuityviu būdu. Jei kampas būtų 90 laipsnių, tai reikštų, kad laukas gulėtų išilgai tos pačios plokštumos, kaip ir plotas, ir jokios lauko linijos nepraeis per kilpą, todėl srautas nebus. Tuomet srauto dydis padidėja, tuo arčiau kampo tarp lauko ir normalaus pasiekia 0. Taškinis produktas leidžia mums nustatyti, kokia lauko dalis yra įprasta paviršiaus kryptimi, taigi ji prisideda prie srauto.
Vektorinė projekcija ir taškinis produktas
Ankstesniuose skyriuose buvo paminėta, kad taškinis produktas gali būti suprantamas kaip būdas projektuoti vieną vektorių ant kito ir tada padauginti jų dydžius. Todėl neturėtų stebėtis, kad iš taškinio sandaugos galima gauti vektoriaus projekcijos formulę.
Norint projektuoti vektoriųaant vektoriausb, imame taškinį sandaugąasuvieneto vektoriuskryptimibir tada padauginkite šį skaliarinį rezultatą iš to paties vieneto vektoriaus.
Vienetinis vektorius yra 1 ilgio vektorius, esantis tam tikra kryptimi. Vieneto vektorius vektoriaus kryptimibyra tiesiog vektoriusbpadalijus iš jo dydžio:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Taigi ši projekcija yra tada:
\ text {Projection of} \ bold {a} \ text {onto} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Didelis) \ paryškintas {b}
Dot produktas aukštesnėje dimensijoje
Kaip vektoriai egzistuoja aukštesnėje dimensijoje, taip ir taškinis sandauga. Įsivaizduokite pavyzdį, kai vaikas vėl stumia traukinį. Tarkime, kad ji stumia žemyn ir kampu į trasos šoną. Standartinėje koordinačių sistemoje jėgos ir poslinkio vektorius reikėtų pateikti kaip trimačius.
Įnmatmenų, taškinis produktas apibrėžiamas taip:
\ bold {a \ cdot b} = \ overet {n} {\ underderset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Visos tos pačios taškinio produkto savybės, buvusios anksčiau, vis dar galioja, o kosinusų dėsnis vėl suteikia santykį:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Kur kiekvieno vektoriaus dydis nustatomas pagal šiuos veiksmus, vėlgi sutampant su Pitagoro teorema:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Kaip rasti taškinį gaminį trimis aspektais
1 pavyzdys:Taškinis produktas yra ypač naudingas, kai reikia rasti kampą tarp dviejų vektorių. Pavyzdžiui, tarkime, kad norime nustatyti kampą tarpa= (2, 3, 2) irb= (1, 4, 0). Net jei jūs nubrėžiate tuos du vektorius 3 erdvėse, gali būti labai sunku apvynioti galvą aplink geometriją. Tačiau matematika yra gana paprasta, naudojant tai, kad:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ reiškia \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ paryškintas {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big)
Tada apskaičiuojamas taško sandaugaairb:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ kartus1 + 3 \ kartus4 + 2 \ kartus0 = 14
Apskaičiuojant kiekvieno vektoriaus dydžius:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4,12
Galiausiai viską prijungę, gauname:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Didelis (\ frac {14} {4.12 \ kartus 4,12} \ Didelis) = \ langelis {34,4 \ laipsnis}
2 pavyzdys:Teigiamas krūvis sėdi koordinačių taške (3, 5, 4) trimatėje erdvėje. Kuriame taške išilgai linijos, nukreiptos vektoriaus kryptimia= (6, 9, 5) ar elektrinis laukas yra didžiausias?
Sprendimas: Iš savo žinių, kaip elektrinio lauko stipris susijęs su atstumu, žinome, kad taškas arčiau teigiamo krūvio esanti linija yra vieta, kurioje bus laukas stipriausias. Remdamiesi savo žiniomis apie taškinius gaminius, galime spėti, kad čia yra prasminga naudoti projekcijos formulę. Ta formulė turėtų mums suteikti vektorių, kurio galas yra tiksliai toje vietoje, kurios mes ieškome.
Turime apskaičiuoti:
\ text {Projection of} (3, 5, 4) \ text {onto} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ didelis) \ paryškintas {a}
Norėdami tai padaryti, pirmiausia rasite |a|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Tada taškinis produktas:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 kartus6 + 5 kartus 9 + 4 kartus5 = 83
Padaliję tai iša|2 duoda 83/142 = 0,585. Tada padauginkite šį skaliarą išasuteikia:
0,585 \ pusjuodis {a} = 0,585 kartus (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Taigi taškas išilgai tiesės, kuriame laukas yra stipriausias, yra (3,51, 5,27, 2,93).