Elektromagnetizmo paslapčių sprendimas buvo vienas didžiausių fizikos pasiekimų iki šiol, o išmoktos pamokos yra visiškai įtrauktos į Maxwello lygtis.
Jamesas Clerkas Maxwellas suteikia savo vardą šioms keturioms elegantiškoms lygtims, tačiau jos yra daugelio fizikų dešimtmečių darbo kulminacija, įskaitant Michaelą Faraday, Andre-Marie Ampere ir Carlą Friedrichą Gausą, kurie savo vardus suteikia trims iš keturių lygčių, ir daugeliui kiti. Nors pats Maksvelas prie vienos iš keturių lygčių pridėjo tik terminą, jis turėjo nuojautos ir supratimo surinkti geriausią darbą, kuris buvo atliktas šia tema, ir pristatyti juos taip, kaip vis dar naudoja fizikai šiandien.
Daugelį metų fizikai tikėjo, kad elektra ir magnetizmas yra atskiros jėgos ir skirtingi reiškiniai. Tačiau eksperimentuojant tokiems žmonėms, kaip Faradėjus, tapo vis aiškiau, kad jie iš tikrųjų yra dvi šios organizacijos pusės tas pats reiškinys, o Maxwello lygtys pateikia šį vieningą vaizdą, kuris vis dar galioja ir šiandien, kaip ir XIX a amžiaus. Jei ketinate mokytis fizikos aukštesniais lygiais, būtinai turite žinoti Maksvelo lygtis ir kaip jas naudoti.
Maksvelo lygtys
Maksvelio lygtys yra tokios, tiek diferencine forma, tiek integraline forma. (Atkreipkite dėmesį, kad nors čia naudingos žinios apie diferencialines lygtis, konceptualus supratimas galimas ir be jų.)
Gauso elektros įstatymas
Diferencinė forma:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Integrali forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Nėra monopolinio įstatymo / Gauso dėsnio apie magnetizmą
Diferencinė forma:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Integrali forma:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faradėjaus indukcijos dėsnis
Diferencinė forma:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Integrali forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwell įstatymas / Ampero įstatymas
Diferencinė forma:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Integrali forma:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Simboliai, naudojami Maxwello lygtyse
Maksvelo lygtys naudoja gana didelį simbolių pasirinkimą, todėl svarbu suprasti, ką tai reiškia, jei mokysitės juos taikyti. Taigi, čia pateikiama naudojamų simbolių reikšmių suma:
B= magnetinis laukas
E= elektrinis laukas
ρ= elektros krūvio tankis
ε0= laisvos vietos pralaidumas = 8,854 × 10-12 m-3 kilogramas-1 s4 A2
q= bendras elektros krūvis (grynoji teigiamų ir neigiamų krūvių suma)
𝜙B = magnetinis srautas
Dž= srovės tankis
Aš= elektros srovė
c= šviesos greitis = 2,998 × 108 m / s
μ0 = laisvos vietos pralaidumas = 4π × 10−7 Nėra2
Be to, svarbu žinoti, kad ∇ yra del operatorius, taškas tarp dviejų dydžių (X ∙ Y) rodo skaliarinį sandaugą, paryškintas dauginimo simbolis tarp dviejų dydžių yra vektorinis produktas (X × Y), kad del operatorius su tašku vadinamas „divergencija“ (pvz., ∇ ∙ X= skirtumaiX= divX), o del operatorius su skaliariniu sandaugu vadinamas garbanomis (pvz., ∇× Y= garbanosY= garbanosY). GaliausiaiAdAreiškia uždaro paviršiaus, už kurį skaičiuojate, plotą (kartais parašyta kaip dS), irsdsyra labai maža atviro paviršiaus, kuriam skaičiuojate, ribos dalis (nors tai kartais yra dl, nurodant be galo mažą linijos komponentą).
Lygčių išvedimas
Pirmoji Maxwello lygčių lygtis yra Gausso dėsnis, ir joje teigiama, kad grynasis elektros srautas per a uždaras paviršius yra lygus visam figūros viduje esančiam krūviui, padalytam iš laisvojo pralaidumo vietos. Šis dėsnis gali būti kilęs iš Coulombo dėsnio, atlikus svarbų žingsnį, išreiškiantį Coulombo dėsnį elektriniu lauku ir jo daromu poveikiu bandomajam krūviui.
Antroji iš Maxwello lygčių iš esmės prilygsta teiginiui, kad „nėra magnetinių monopolių“. Joje teigiama kad grynasis magnetinis srautas per uždarą paviršių visada bus 0, nes magnetiniai laukai visada yra a rezultatas dipolis. Įstatymas gali būti išvestas iš „Biot-Savart“ dėsnio, kuriame aprašomas srovės elemento sukurtas magnetinis laukas.
Trečioji lygtis - Faradėjaus indukcijos dėsnis - apibūdina, kaip besikeičiantis magnetinis laukas sukuria įtampą laido ar laidininko kilpoje. Iš pradžių ji buvo gauta iš eksperimento. Tačiau atsižvelgiant į rezultatą, kad besikeičiantis magnetinis srautas sukelia elektromotorinę jėgą (EMF arba įtampą), taigi ir elektros srovę vielos kilpa ir tai, kad EML yra apibrėžiamas kaip elektros lauko linijos integralas aplink grandinę, įstatymą lengva įdėti kartu.
Ketvirtoji ir paskutinė lygtis, Ampere'o dėsnis (arba Ampere-Maxwello dėsnis, suteikiantis jam kreditą už jo indėlis) apibūdina, kaip magnetinį lauką sukuria judantis krūvis arba kintanti elektrinė srityje. Įstatymas yra eksperimento rezultatas (taigi, kaip ir visos Maxwello lygtys, iš tikrųjų nebuvo „išvestos“ tradicine prasme), tačiau naudojantStokso teoremayra svarbus žingsnis norint gauti pagrindinį rezultatą į šiandien naudojamą formą.
Maxwello lygčių pavyzdžiai: Gausso dėsnis
Jei atvirai, ypač jei nesate tiksliai atsižvelgę į savo vektorinį skaičiavimą, Maxwello lygtys atrodo gana bauginančios, nepaisant to, ar jos visos yra gana kompaktiškos. Geriausias būdas juos iš tikrųjų suprasti yra pereiti keletą pavyzdžių, kaip juos naudoti praktikoje, o Gauso įstatymas yra geriausia vieta pradėti. Gauso dėsnis iš esmės yra fundamentalesnė lygtis, atliekanti Coulombo dėsnio darbą, ir ji yra gana lengva iš jo išvesti Coulombo dėsnį, atsižvelgiant į taško sukuriamą elektrinį lauką mokestis.
Skambinimas į mokestįq, pagrindinis taškas taikant Gauso dėsnį yra tinkamo „paviršiaus“ pasirinkimas, norint ištirti elektros srautą. Šiuo atveju gerai veikia sfera, kurios paviršiaus plotasA = 4πr2, nes sferą galite sutelkti taškiniame krūvyje. Tai yra didžiulė nauda sprendžiant tokias problemas, nes tada nereikia įvairaus lauko integruoti į paviršių; laukas bus simetriškas aplink taškinį krūvį, taigi jis bus pastovus visame sferos paviršiuje. Taigi vientisa forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Galima išreikšti taip:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Atkreipkite dėmesį, kadEnes elektrinis laukas buvo pakeistas paprastu dydžiu, nes laukas nuo taškinio krūvio tiesiog vienodai pasiskirstys visomis kryptimis nuo šaltinio. Dabar, padalijus per sferos plotą, gaunama:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Kadangi jėga yra susijusi su elektriniu lauku pagalE = F/q, kurqyra bandomasis mokestis,F = qEir taip:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Jei abonentai buvo pridėti, kad būtų galima atskirti du mokesčius. Tai yra Coulombo įstatymas, nurodytas standartine forma, kuris, kaip įrodyta, yra paprastas Gausso dėsnio padarinys.
Maksvelio lygčių pavyzdžiai: Faradėjaus dėsnis
Faradėjaus įstatymas leidžia apskaičiuoti elektros variklio jėgą vielos kilpoje, atsirandančią dėl besikeičiančio magnetinio lauko. Paprastas pavyzdys yra vielos kilpa, kurios spindulysr= 20 cm, magnetiniame lauke, kurio dydis padidėja nuoBi = 1 T ikiBf = 10 T the erdvėjet= 5 s - koks šiuo atveju yra sukeltas EML? Sudėtinga įstatymo forma apima srautą:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
kuris apibrėžiamas kaip:
ϕ = BA \ cos (θ)
Pagrindinė problemos dalis yra srauto pokyčio greičio nustatymas, tačiau kadangi problema yra gana paprasta, dalinį darinį galite pakeisti paprastu kiekvieno kiekio „pakeitimu“. Ir integralas iš tikrųjų reiškia tik elektromotorinę jėgą, todėl galite perrašyti Faradėjaus indukcijos dėsnį taip:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Jei manome, kad laido kilpa normaliai sutampa su magnetiniu lauku,θ= 0 ° ir taip cos (θ) = 1. Tai palieka:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Tada problemą galima išspręsti radus skirtumą tarp pradinio ir galutinio magnetinio lauko ir kilpos ploto taip:
\ begin {aligned} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0.23 \ text {V } \ end {aligned}
Tai tik maža įtampa, tačiau Faradėjaus įstatymas taikomas vienodai, nepaisant to.
Maksvelio lygčių pavyzdžiai: Ampero ir Maksvelo dėsnis
Ampero ir Maksvelo įstatymas yra paskutinė iš Maksvelo lygčių, kurią turėsite taikyti reguliariai. Lygtis grįžta prie Ampere'o dėsnio, jei nėra kintančio elektrinio lauko, todėl tai yra lengviausias pavyzdys. Jį galite naudoti norėdami išvesti magnetinio lauko, gauto tiesios vielos, nešančios srovę, lygtįAš, ir šio pagrindinio pavyzdžio pakanka parodyti, kaip naudojama lygtis. Visas įstatymas yra:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Bet nekeičiant elektrinio lauko, jis sumažėja iki:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Dabar, kaip ir pagal Gauso dėsnį, jei paviršiui pasirenkate apskritimą, kurio centras yra vielos kilpa, intuicija rodo, kad susidaręs magnetinis laukas bus simetriškas, todėl integralą galite pakeisti paprastu kilpos apskritimo ir magnetinio lauko stiprumo sandauga, palieka:
B × 2πr = μ_0 I
Padalijimas iš 2πrsuteikia:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Kuris yra priimtinas atstumo magnetinio lauko reiškinysratsirandantis dėl tiesios vielos, nešančios srovę.
Elektromagnetinės bangos
Kai Maksvelas surinko savo lygčių rinkinį, jis pradėjo ieškoti jų sprendimų, kurie padėtų paaiškinti įvairias reiškiniai realiame pasaulyje, o jo įžvalga į šviesą yra vienas iš svarbiausių jo rezultatų gautas.
Nes besikeičiantis elektrinis laukas sukuria magnetinį lauką (pagal Amperės dėsnį), o besikeičiantis magnetinis laukas elektrinis laukas (pagal Faradėjaus įstatymą), Maxwellas išsiaiškino, kad savaime sklindanti elektromagnetinė banga gali būti įmanoma. Jis naudojo savo lygtis, kad surastų bangų lygtį, kuri apibūdintų tokią bangą, ir nustatė, kad ji važiuos šviesos greičiu. Tai buvo „eureka“ rūšis; jis suprato, kad šviesa yra tam tikra elektromagnetinės spinduliuotės forma, veikianti taip pat, kaip ir jo įsivaizduojamas laukas!
Elektromagnetinė banga susideda iš elektrinio lauko bangos ir magnetinio lauko bangos, svyruojančios pirmyn ir atgal, ištiesintos stačiu kampu viena su kita. Bangos elektrinės dalies svyravimas sukuria magnetinį lauką, o šios dalies svyravimas savo ruožtu vėl sukuria elektrinį lauką, judėdamas per erdvę.
Kaip ir bet kuri kita banga, elektromagnetinė banga turi dažnį ir bangos ilgį, o jų sandauga visada lygic, šviesos greitis. Elektromagnetinės bangos yra aplink mus, be to, matoma šviesa, kiti bangos ilgiai paprastai vadinami radijo bangomis, mikrobangomis, infraraudonaisiais, ultravioletiniais, rentgeno ir gama spinduliais. Visos šios elektromagnetinės spinduliuotės formos turi tą pačią pagrindinę formą, kaip paaiškinta Maxwello lygtimis, tačiau jų energijos skiriasi priklausomai nuo dažnio (t. Y. Didesnis dažnis reiškia didesnę energiją).
Taigi, fizikui Maxwellas pasakė: „Tegul būna šviesa!“