Nesvarbu, ar tai ledo čiuožėjas, traukiantis ant rankų ir greičiau sukantis, kaip ji, ar katė, kontroliuojanti, kaip greitai ji sukasi kritimo metu, norint užtikrinti, kad jis atsidurs ant kojų, inercijos momento koncepcija yra labai svarbi sukimosi fizikai judesio.
Kitaip žinomas kaip sukimosi inercija, inercijos momentas yra masės sukimosi analogas antroji Niutono judėjimo dėsnių, apibūdinanti objekto polinkį atsispirti kampiniam pagreičiui.
Iš pradžių ši koncepcija gali pasirodyti ne per įdomi, bet kartu su kampinio išsaugojimo dėsniu pagreitį, jis gali būti naudojamas apibūdinti daugeliui patrauklių fizinių reiškinių ir numatyti judesį plačiu diapazonu situacijose.
Inercijos momento apibrėžimas
Objekto inercijos momentas apibūdina jo atsparumą kampiniam pagreičiui, atsižvelgiant į masės pasiskirstymą aplink jo sukimosi ašį.
Iš esmės kiekybiškai įvertinama, kaip sunku pakeisti objekto sukimosi greitį, nesvarbu, ar tai reiškia jo sukimosi pradžią, sustabdymą ar jau besisukančio objekto greičio keitimą.
Kartais tai vadinama rotacine inercija, ir naudinga galvoti apie tai kaip apie masės analogą antrame Niutono dėsnyje:Fneto = ma. Čia daikto masė dažnai vadinama inercine mase, ir ji apibūdina objekto atsparumą (tiesiniam) judėjimui. Sukimosi inercija veikia būtent taip, kaip sukimosi judesys, o matematinis apibrėžimas visada apima masę.
Susijusi antrojo dėsnio ekvivalentinė išraiškasukimo momentas (τ, sukimosi jėgos analogas) kampiniam pagreičiuiαir inercijos momentasAš:
\ tau = aš \ alfa
Tas pats objektas gali turėti keletą inercijos momentų, nes nors didelė apibrėžimo dalis yra apie masės pasiskirstymą, ji taip pat atspindi sukimosi ašies vietą.
Pavyzdžiui, kai strypo, besisukančio aplink jo centrą, inercijos momentas yraAš = ML2/ 12 (kurMyra masinė irLyra strypo ilgis), tas pats strypas, sukantis aplink vieną galą, turi inercijos momentą, kurį suteikiaAš = ML2/3.
Inercijos momento lygtys
Taigi kūno inercijos momentas priklauso nuo jo masėsM, jo spindulysRir jo sukimosi ašis.
Kai kuriais atvejais,Ryra vadinamasd, atstumui nuo sukimosi ašies, o kituose (kaip ir ankstesniame skyriuje esančiame strype) jis pakeičiamas ilgiu,L. SimbolisAšnaudojamas inercijos momentui, o jo vienetai yra kg m2.
Kaip galite tikėtis remdamiesi tuo, ką išmokote iki šiol, yra daug skirtingų inercijos momento lygčių, ir kiekviena nurodo konkrečią formą ir tam tikrą sukimosi ašį. Visais inercijos momentais terminasPONAS2 pasirodo, nors skirtingoms formoms prieš šį terminą yra skirtingos trupmenos, o kai kuriais atvejais gali būti sudėti keli terminai.
ThePONAS2 komponentas yra taško masės atstumu inercijos momentasRnuo sukimosi ašies, o konkretaus standaus kūno lygtis sukuriama kaip taškų masių suma arba per objektą integruojant begalinį skaičių mažų taškų masių.
Kai kuriais atvejais gali būti naudinga gauti objekto inercijos momentą remiantis paprasta aritmetine taškų masių suma arba integruojant, praktiškai yra daugybė bendrų formų ir sukimosi ašių rezultatų, kuriuos galite paprasčiausiai naudoti nenaudodami to Pirmas:
Tvirtas cilindras (simetrijos ašis):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Kietas cilindras (centrinio skersmens ašis arba apskrito skerspjūvio skersmuo cilindro viduryje):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Kietoji sfera (centrinė ašis):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Plonas rutulinis apvalkalas (centrinė ašis):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Hoopas (simetrijos ašis, t. Y. Statmenai per centrą):
Aš = MR ^ 2
Hoopas (skersmens ašis, t. Y. Apskritimo, kurį sudaro žiedas, skersmens):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Strypas (centrinė ašis, statmena strypo ilgiui):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Strypas (sukamas apie galą):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Sukimosi inercija ir sukimosi ašis
Suprasti, kodėl kiekvienai sukimosi ašiai yra skirtingos lygtys, yra pagrindinis žingsnis suvokiant inercijos momento sampratą.
Pagalvokite apie pieštuką: galite jį pasukti sukdami aplink vidurį, iki galo arba sukdami aplink centrinę ašį. Kadangi objekto sukimosi inercija priklauso nuo masės pasiskirstymo aplink sukimosi ašį, kiekviena iš šių situacijų yra skirtinga ir jai apibūdinti reikalinga atskira lygtis.
Instinktyviai suprantate inercijos momento sampratą, jei tą patį argumentą priskaičiuosite iki 30 pėdų vėliavos stulpo.
Verpti jį be galo būtų labai sunku - jei apskritai pavyktų -, o sukti stulpą apie centrinę ašį būtų daug lengviau. Taip yra todėl, kad sukimo momentas labai priklauso nuo atstumo nuo sukimosi ašies ir 30 pėdų vėliavos stiebo pavyzdys, verpiant jį galu per galą, kiekvienas kraštutinis galas apima 15 pėdų atstumu nuo ašies sukimasis.
Tačiau jei sukate aplink centrinę ašį, viskas yra gana arti ašies. Situacija panaši į sunkiojo daikto nešimą rankos atstumu vs. laikydami jį arti kūno, arba valdydami svirtį nuo galo vs. arti atramos taško.
Štai kodėl jums reikia kitokios lygties, kad apibūdintumėte to paties objekto inercijos momentą, atsižvelgiant į sukimosi ašį. Pasirinkta ašis turi įtakos kūno dalims nuo sukimosi ašies, nors kūno masė išlieka ta pati.
Inercijos momento lygčių naudojimas
Raktas apskaičiuojant standaus kūno inercijos momentą yra mokymasis naudoti ir taikyti atitinkamas lygtis.
Apsvarstykite pieštuką iš ankstesnio skyriaus, kuris yra sukamas galu per vidurį aplink jo vidurį. Nors tai nėra apuikusstrypas (pavyzdžiui, smailus galas sulaužo šią formą), jį galima modeliuoti taip, kad sutaupytumėte visą objekto inercijos išvedimo momentą.
Modeliuodami objektą kaip lazdelę, naudokite šią lygtį, kad surastumėte inercijos momentą kartu su visa pieštuko mase ir ilgiu:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Didesnis iššūkis yra rasti kompozicinių objektų inercijos momentą.
Pvz., Apsvarstykite du kamuoliukus, sujungtus lazdele (kuriuos mes laikysime be masės, kad supaprastintume problemą). Vienas rutulys yra 2 kg ir išdėstytas 2 m atstumu nuo sukimosi ašies, o antrasis rutulys yra 5 kg masės ir 3 m atstumu nuo sukimosi ašies.
Tokiu atveju galite rasti šio sudėtinio objekto inercijos momentą, laikydami kiekvieną rutulį taškine mase ir dirbdami pagal pagrindinį apibrėžimą, kuris:
\ begin {aligned} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {aligned}
Abonentams paprasčiausiai atskiriant skirtingus objektus (t. Y. Rutulį 1 ir rutulį 2). Tada dviejų kamuolių objektas turėtų:
\ begin {aligned} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ pabaiga {lygiuota}
Inercijos momentas ir kampinio momento išsaugojimas
Kampinis impulsas (linijinio impulso sukimosi analogas) apibrėžiamas kaip sukimosi inercijos (t. Y. Inercijos momento,Aš) objekto ir jo kampinio greičioω), kuris matuojamas laipsniais / s arba rad / s.
Jūs neabejotinai susipažinsite su tiesinio impulso išsaugojimo dėsniu, o kampinis impulsas taip pat išsaugomas taip pat. Kampinio impulso lygtisL) yra:
L = Iω
Galvojimas, ką tai reiškia praktiškai, paaiškina daugelį fizinių reiškinių, nes (jei nėra kitų jėgų), kuo didesnė objekto sukimosi inercija, tuo mažesnis jo kampinis greitis.
Apsvarstykite ledo čiuožėją, kuris sukasi pastoviu kampiniu greičiu ištiestomis rankomis, ir atkreipkite dėmesį, kad ištiestos jo rankos padidina spindulįRapie kurį pasiskirsto jo masė, sukeldama didesnį inercijos momentą, nei jei rankos būtų arti kūno.
JeiL1 apskaičiuojamas išskėstomis rankomis irL2, prisitraukęs rankas, turi turėti tą pačią vertę (nes išsaugomas kampinis impulsas), kas atsitiks, jei jis sumažins savo inercijos momentą, piešdamas į rankas? Jo kampinis greitisωpadidėja kompensuoti.
Katės atlieka panašius judesius, kad padėtų joms nusileisti ant kojų krintant.
Ištiesdami kojas ir uodegą, jie padidina savo inercijos momentą ir sumažina sukimosi greitį, ir atvirkščiai, jie gali piešti kojas, kad sumažintų savo inercijos momentą ir padidintų sukimosi greitį. Jie naudoja šias dvi strategijas kartu su kitais savo „ištaisymo reflekso“ aspektais, kad užtikrintų kojų nusileidimą pirma, ir jūs galite pamatyti skirtingas garbanojimo ir išsitiesimo fazes su laiko pailgintomis katės nuotraukomis nusileidimas.
Inercijos ir sukimosi kinetinės energijos momentas
Tęsiant linijinio judėjimo ir sukimosi judėjimo paraleles, objektai taip pat turi sukimosi kinetinę energiją taip pat, kaip ir linijinę kinetinę energiją.
Pagalvokite apie rutulį, riedantį per žemę, ir sukantį aplink centrinę ašį, ir judantį pirmyn tiesiškai: Bendra rutulio kinetinė energija yra jo tiesinės kinetinės energijos suma.Ek ir jo sukimosi kinetinė energijaEpūti. Paralelės tarp šių dviejų energijų atsispindi abiejų lygtyse, prisimenant, kad objektas inercijos momentas yra masės sukimosi analogas, o jo kampinis greitis - tiesinio sukimosi analogas greitisv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Jūs aiškiai matote, kad abi lygtys turi tą pačią formą, o sukimosi kinetinės energijos lygtis pakeičia atitinkamus sukimosi analogus.
Žinoma, norėdami apskaičiuoti sukimosi kinetinę energiją, turėsite pakeisti objekto inercijos momento atitinkamą išraišką įAš. Atsižvelgiant į rutulį ir modeliuojant objektą kaip vientisą sferą, lygybė yra tokia:
\ begin {aligned} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ pabaiga {lygiuota}
Bendra kinetinė energija (Etot) yra šios ir kamuolio kinetinės energijos suma, todėl galite parašyti:
\ begin {aligned} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { sulygiuota}
1 kg rutuliui, judančiam tiesiniu 2 m / s greičiu, 0,3 m spinduliu ir 2π rad / s kampiniu greičiu, bendra energija būtų:
\ begin {aligned} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {kg} × (0.3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0.71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ tekstas {J} \ end {aligned}
Priklausomai nuo situacijos, objektas gali turėti tik linijinę kinetinę energiją (pavyzdžiui, nuo kamuolio nukritęs kamuolys) aukštis, ant kurio neskirtas sukimasis) arba tik sukimosi kinetinė energija (kamuolys sukasi, bet lieka vietoje).
Atminkite, kad taip yravisoenergija, kuri yra išsaugota. Jei kamuolys spardomas prie sienos be pradinio pasisukimo, jis atšoka mažesniu greičiu, bet sukdamasis, taip pat energija praradus garsą ir šilumą, kai jis kontaktuoja, dalis pradinės kinetinės energijos buvo perkelta į sukimosi kinetinę energiją, taiginegaligalbūt judėti taip greitai, kaip ir prieš atšokant.