Matematikoje seka yra bet kokia skaičių eilutė, išdėstyta didėjimo arba mažėjimo tvarka. Eilė tampa geometrine seka, kai jūs galite gauti kiekvieną skaičių padauginę ankstesnį skaičių iš bendro koeficiento. Pavyzdžiui, 1, 2, 4, 8, 16 serijos... yra geometrinė seka su bendruoju koeficientu 2. Jei padauginsite bet kurį serijos skaičių iš 2, gausite kitą skaičių. Priešingai, seka 2, 3, 5, 8, 14, 22... nėra geometrinis, nes tarp skaičių nėra bendro koeficiento. Geometrinė seka gali turėti dalinį bendrą veiksnį, tokiu atveju kiekvienas paskesnis skaičius yra mažesnis nei prieš jį esantis skaičius. 1, 1/2, 1/4, 1/8... yra pavyzdys. Jo bendras faktorius yra 1/2.
Tai, kad geometrinė seka turi bendrą veiksnį, leidžia atlikti du dalykus. Pirmasis yra apskaičiuoti bet kokį atsitiktinį sekos elementą (kurį matematikai mėgsta vadinti „nth "elementas", o antrasis - surasti geometrinės sekos sumą ikinth elementas. Susumavę seką, įdėdami pliuso ženklą tarp kiekvienos terminų poros, jūs paversite seką geometrine eilute.
Geometrinės serijos n-ojo elemento radimas
Apskritai bet kurią geometrinę eilutę galite pateikti tokiu būdu:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
kur "a„yra pirmasis šios serijos terminas ir“ryra bendras veiksnys. Norėdami tai patikrinti, apsvarstykite seriją, kuriojea= 1 irr= 2. Gauni 1 + 2 + 4 + 8 + 16... tai veikia!
Tai nustačius, dabar galima išvesti n-osios eilės formulės formulę (xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Eksponentas yran- 1, o nenleisti pirmąjį eilės terminą rašyti taipar0, kuris yra lygus "a."
Patikrinkite tai apskaičiuodami 4-tą pavyzdžių serijos terminą.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Geometrinės sekos sumos apskaičiavimas
Jei norite susumuoti skirtingą seką, kurios bendras racionas yra didesnis nei 1 arba mažesnis nei -1, galite tai padaryti tik iki riboto skaičiaus terminų. Tačiau galima apskaičiuoti begalinės konverguojančios sekos sumą, kuri turi bendrą santykį tarp 1 ir - 1.
Norėdami sukurti geometrinės sumos formulę, pirmiausia apsvarstykite, ką darote. Ieškote visų šių papildymų serijų:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Kiekvienas serijos terminas yraarkirkeina nuo 0 ikin− 1. Serijos sumos formulėje naudojamas didžiojo sigmos ženklas - ∑ - tai reiškia pridėti visus terminus iš (k= 0) iki (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Norėdami tai patikrinti, apsvarstykite pirmųjų 4 geometrinių eilučių, prasidedančių 1 ir turinčių bendrą koeficientą 2, sumą. Pagal pirmiau pateiktą formulęa = 1, r= 2 irn= 4. Prijungę šias vertes gausite:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
Tai lengva patikrinti, patys pridėdami serijos numerius. Tiesą sakant, kai jums reikia geometrinės eilutės sumos, paprastai lengviau pridėti skaičius patys, kai yra tik keli terminai. Jei serijoje yra daug terminų, daug lengviau naudoti geometrinės sumos formulę.