Kartais matematinius skaičiavimus galima atlikti tik grubia jėga. Bet taip dažnai galite sutaupyti daug darbo, atpažindami specialias problemas, kurias galite išspręsti naudodami standartizuotą formulę. Rasti kubų sumą ir rasti kubų skirtumą yra du tiksliai to pavyzdžiai: kai jau sužinosite faktoringo formulesa3 + b3 arbaa3 - b3, rasti atsakymą taip pat lengva, kaip teisingoje formulėje pakeisti a ir b reikšmes.
Į kontekstą
Pirma, greitai pažiūrėkite, kodėl galbūt norėsite rasti - ar, tiksliau, „faktorių“ - kubų sumas ar skirtumą. Kai ši sąvoka pirmą kartą pristatoma, tai savaime yra paprasta matematikos problema. Bet jei toliau mokysitės matematikos, vėliau tai taps tarpiniu sudėtingesnių skaičiavimų žingsniu. Taigi, jei gausitea3 + b3 arbaa3 − b3 kaip atsakymą atliekant kitus skaičiavimus, galite naudoti įgūdžius, kuriuos mokysitės, kad suskirstytumėte kubelius numeriai atskiriami į paprastesnius komponentus, o tai dažnai leidžia toliau tęsti originalą problema.
Kubų sumos faktoringas
Įsivaizduokite, kad atvykote į binomialą
x ^ 3 + 27
ir prašoma jį supaprastinti. Pirmasis terminas,x3, akivaizdu, kad yra kubinis skaičius. Po nedidelio tyrimo galite pamatyti, kad antrasis skaičius iš tikrųjų yra ir kubinis skaičius: 27 yra tas pats, kas 33. Dabar, kai žinote, kad abu skaičiai yra kubai, galite pritaikyti kubų sumos formulę.
Parašykite abu skaičius kubinėmis formomis, jei taip dar nėra. Norėdami tęsti šį pavyzdį, turėtumėte:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
Kai būsite įpratę prie proceso, galite praleisti šį veiksmą ir tiesiogiai užpildyti 1 veiksmo reikšmes į formulę. Tačiau ypač mokantis geriausia eiti žingsnis po žingsnio ir priminti sau formulę:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Palyginkite kairę šios lygties pusę su rezultatu iš 1 veiksmo. Atminkite, kad galite pakeistixvietoja,ir 3 vietojeb.
Pakeiskite 1 veiksmo reikšmes į 2 veiksmo formulę. Taigi jūs turite:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
Kol kas dešinėje lygties pusėje pateikiamas jūsų atsakymas. Tai yra dviejų kubinių skaičių sumos faktoringo rezultatas.
Kubų skirtumo faktorius
Dviejų kubinių skaičių skirtumo skaičiavimas veikia taip pat. Tiesą sakant, formulė yra beveik identiška kubų sumos formulei. Tačiau yra vienas kritinis skirtumas: atkreipkite ypatingą dėmesį į tai, kur eina minuso ženklas.
Įsivaizduokite, kad jūs suprantate problemą
y ^ 3 - 125
ir turi tai atsižvelgti. Kaip ir anksčiau,y3 yra akivaizdus kubas ir šiek tiek pagalvojęs turėtumėte sugebėti atpažinti, kad 125 iš tikrųjų yra 53. Taigi jūs turite:
y ^ 3 - 125 = y ^ 3 - 5 ^ 3
Kaip ir anksčiau, parašykite kubelių skirtumo formulę. Atkreipkite dėmesį, kad galite pakeistiydėlair 5 užbir atkreipkite ypatingą dėmesį į tai, kur šioje formulėje yra minuso ženklas. Minuso ženklo vieta yra vienintelis skirtumas tarp šios formulės ir kubų sumos formulės.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Dar kartą išrašykite formulę, šį kartą pakeisdami 1 veiksmo reikšmes. Tai duoda:
y ^ 3 - 5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Vėlgi, jei jums tereikia apskaičiuoti kubų skirtumą, tai yra jūsų atsakymas.