Pradėję atlikti trigonometriją ir skaičiavimus, galite susidurti su tokiomis išraiškomis kaip nuodėmė (2θ), kur jūsų paprašys rasti vertęθ. Žaisk bandymus ir klaidas naudodamas diagramas ar skaičiuoklę, kad rastum atsakymą, tai gali būti nuo ištemto košmaro iki visiškai neįmanoma. Laimei, čia padės dvigubo kampo tapatybės. Tai yra specialūs atvejai, kurie vadinami sudėtine formule, sulaužančia formų funkcijas (A + B) arba (A – B) žemyn į funkcijas tikAirB.
Dvigubo kampo sinusų tapatybės
Yra trys dvigubo kampo tapatybės, po vieną - sinuso, kosinuso ir liestinės funkcijoms. Tačiau sinusinę ir kosinusinę tapatybę galima užrašyti keliais būdais. Štai du sinuso funkcijos dvigubo kampo tapatybės rašymo būdai:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dvigubo kampo Kosino tapatybės
Yra dar daugiau būdų, kaip parašyti dvigubo kampo tapatybę kosinusui:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dvigubas kampo identitetas tangentui
Gailestingai, yra tik vienas būdas parašyti liestinės funkcijos dvigubo kampo tapatybę:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Dvikampių tapatybių naudojimas
Įsivaizduokite, kad susidūrėte su stačiuoju trikampiu, kuriame žinote jo kraštų ilgį, bet ne jo kampų matą. Jūsų paprašė surastiθ, kurθyra vienas iš trikampio kampų. Jei trikampio hipotenuzė yra 10 vienetų, greta jūsų kampo esanti pusė yra 6 vienetai o priešinga kampui kraštinė yra 8 vienetai, nesvarbu, kad nežinote jos matoθ; atsakymui rasti galite pasinaudoti sinuso ir kosinuso žiniomis, taip pat viena iš dvigubo kampo formulių.
Pasirinkę kampą, sinusą galite apibrėžti kaip priešingos pusės santykį su hipotenuzu, o kosinusą - kaip gretimos pusės ir hipotenuzos santykį. Taigi ką tik pateiktame pavyzdyje turite:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Šiuos du posakius rasite todėl, kad jie yra svarbiausi dvigubo kampo formulių elementai.
Kadangi yra labai daug dvigubo kampo formulių, galite pasirinkti tą, kuri atrodo lengviau apskaičiuojama ir grąžins jums reikalingos informacijos tipą. Šiuo atveju, nes jūs žinote nuodėmęθir cosθjau aišku, kad patogiausia išraiška yra:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Jūs jau žinote sinθ ir cosθ vertes, todėl pakeiskite jas lygtimi:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Kai supaprastinsite, turėsite:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Dauguma trigonometrinių diagramų pateikiamos dešimtainiais skaičiais, todėl, norėdami konvertuoti ją į dešimtainę formą, atlikite trupmenos atstovaujamą padalijimą. Dabar jūs turite:
\ nuodėmė (2θ) = 0,96
Galiausiai suraskite atvirkštinį sinusą arba arciną 0,96, kuris parašytas kaip nuodėmė −1(0.96). Arba, kitaip tariant, naudokite savo skaičiuoklę arba diagramą, kad nustatytumėte kampą, kurio sinusas yra 0,96. Kaip paaiškėja, tai beveik tiksliai lygi 73,7 laipsniams. Taigi 2θ= 73,7 laipsniai.
Padalinkite kiekvieną lygties pusę iš 2. Tai suteikia jums:
θ = 36,85 \ tekstas {laipsniai}
