Kvadratinės šaknys dažnai randamos matematikos ir gamtos mokslų problemose, todėl bet kuris studentas, norėdamas išspręsti šiuos klausimus, turi pasiimti kvadratinių šaknų pagrindus. Kvadratinės šaknys klausia: „koks skaičius, padauginus iš jo paties, duoda tokį rezultatą“, ir todėl juos apdorojant reikia galvoti apie skaičius kiek kitaip. Tačiau jūs galite lengvai suprasti kvadratinių šaknų taisykles ir atsakyti į visus su jomis susijusius klausimus, nesvarbu, ar jas reikia tiesiogiai apskaičiuoti, ar tiesiog supaprastinti.
TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)
Kvadratinė šaknis klausia, kuris skaičius, padauginus iš jo, duoda rezultatą po simboliu √. Taigi √9 = 3 ir √16 = 4. Kiekviena šaknis techniškai turi teigiamą ir neigiamą atsakymą, tačiau dažniausiai teigiamas atsakymas jus domina.
Galite lyginti kvadratines šaknis, kaip ir paprastus skaičius, taigi √ab = √a √barba √6 = √2√3.
Kas yra kvadratinė šaknis?
Kvadratinės šaknys yra priešingybė skaičiaus „kvadratui“ arba jo padauginimui iš savęs. Pavyzdžiui, trys kvadratai yra devyni (3
\ sqrt {9} = 3
Simbolis „√“ nurodo kvadratinę šaknies šaknį nuo skaičiaus ir tai galite rasti daugumoje skaičiuotuvų.
Atminkite, kad kiekvienas skaičius iš tikrųjų turidukvadratinės šaknys. Trys padauginus iš trijų yra lygūs devyni, bet neigiami trys padauginti iš neigiamų trijų taip pat lygūs devyniems, taigi
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {ir} \ sqrt {9} = ± 3
o ± yra „pliusas arba minusas“. Daugeliu atvejų galite nepaisyti neigiamų kvadratinių skaičių šaknų, tačiau kartais svarbu nepamiršti, kad kiekvienas skaičius turi dvi šaknis.
Jūsų gali paprašyti paimti skaičiaus „kubo šaknis“ arba „ketvirtąją šaknį“. Kubo šaknis yra skaičius, kuris, padauginus iš jo du kartus, yra lygus pradiniam skaičiui. Ketvirtoji šaknis yra skaičius, kuris, padauginus iš jo tris kartus, yra lygus pradiniam skaičiui. Kaip ir kvadratinės šaknys, tai yra tiesiog priešinga skaičių galios paėmimui. Taigi, 33 = 27, o tai reiškia, kad 27 kubo šaknis yra 3, arba
\ sqrt [3] {27} = 3
Simbolis „∛“ reiškia skaičiaus, einančio po jo, kubo šaknį. Šaknys kartais taip pat išreiškiamos kaip trupmeninės galios, taigi
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {ir} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Kvadratinių šaknų supaprastinimas
Viena iš sudėtingiausių užduočių, kurias gali tekti atlikti su kvadratinėmis šaknimis, yra didelių kvadratinių šaknų supaprastinimas, tačiau jums tereikia laikytis kelių paprastų taisyklių, kad išspręstumėte šiuos klausimus. Kvadratines šaknis galite lyginti taip pat, kaip ir paprastus skaičius. Pavyzdžiui, 6 = 2 × 3, taigi
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Didesnių šaknų supaprastinimas reiškia žingsnis po žingsnio faktorizavimą ir prisiminti kvadratinės šaknies apibrėžimą. Pavyzdžiui, √132 yra didelė šaknis, ir gali būti sunku suprasti, ką daryti. Tačiau jūs galite lengvai pamatyti, kad jis dalijasi iš 2, todėl galite rašyti
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Tačiau 66 taip pat dalijasi iš 2, todėl galite parašyti:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
Tokiu atveju skaičiaus kvadratinė šaknis, padauginta iš kitos kvadratinės šaknies, suteikia tik pradinį skaičių (dėl kvadratinės šaknies apibrėžimo), taigi
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Trumpai tariant, galite supaprastinti kvadratines šaknis naudodami šias taisykles
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Kas yra kvadratinė šaknis ...
Naudodamiesi aukščiau pateiktais apibrėžimais ir taisyklėmis, galite rasti daugumos skaičių kvadratines šaknis. Štai keletas pavyzdžių, kuriuos reikia apsvarstyti.
Kvadratinė šaknis iš 8
To negalima rasti tiesiogiai, nes tai nėra sveiko skaičiaus kvadratinė šaknis. Tačiau paprastinimo taisyklių naudojimas suteikia:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Kvadratinė šaknis iš 4
Tai naudoja paprastą kvadratinę šaknį iš 4, kuri yra √4 = 2. Problemą galima tiksliai išspręsti naudojant skaičiuoklę, o √8 = 2,8284 ...
Kvadratinė šaknis iš 12
Taikydami tą patį metodą, pabandykite išsiaiškinti kvadratinę šaknį iš 12. Padalinkite šaknį į veiksnius ir pažiūrėkite, ar vėl galite padalyti į veiksnius. Pabandykite tai padaryti kaip praktikos problemą, tada pažvelkite į toliau pateiktą sprendimą:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Vėlgi, šią supaprastintą išraišką galima arba panaudoti iškilus problemoms, arba tiksliai apskaičiuoti naudojant skaičiuoklę. Skaičiuoklė tai parodo
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Kvadratinė šaknis iš 20
Kvadratinę šaknį iš 20 galima rasti tokiu pačiu būdu:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4,4721 ...
Kvadratinė šaknis iš 32
Galiausiai, spręskite 32 kvadratinę šaknį naudodami tą patį metodą:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Čia atkreipkite dėmesį, kad mes jau apskaičiavome kvadratinę šaknį iš 8 kaip 2√2, o √4 = 2, taigi:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5.657 ...
Neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis
Nors kvadratinės šaknies apibrėžimas reiškia, kad neigiami skaičiai neturėtų turėti kvadratinės šaknies (nes bet kuris skaičius padaugintas matematikai susidūrė su jais kaip algebros problemų dalį ir sugalvojo a sprendimas. „Įsivaizduojamas“ skaičiusiyra vartojamas reiškia „kvadratinė šaknis atėmus 1“, o visos kitos neigiamos šaknys išreiškiamos kartotiniaisi. Taigi
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Šios problemos yra sudėtingesnės, tačiau jūs galite išmokti jas spręsti remdamiesi apibrėžimuiir standartines šaknų taisykles.
Klausimų ir atsakymų pavyzdžiai
Patikrinkite savo supratimą apie kvadratines šaknis, prireikus supaprastindami ir paskaičiuodami šias šaknis:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Pabandykite išspręsti šias problemas, prieš žiūrėdami į toliau pateiktus atsakymus:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196