Vektoriai ir skaliarai: kas tai yra ir kodėl jie turi reikšmės?

Kasdieniniame gyvenime dauguma žmonių vartoja šias sąvokasgreičiuirgreitisbet fizikams tai yra dviejų labai skirtingų kiekio rūšių pavyzdžiai.

Mechanikos problemos susijusios su daiktų judėjimu, ir nors judėjimą galite apibūdinti tik greičio požiūriu, konkreti kryptis, kuria kažkas eina, dažnai yra kritiškai svarbi.

Panašiai ir objektams pritaikytos jėgos gali kilti iš įvairių krypčių - pagalvokime, pavyzdžiui, apie priešingus traukimo tempimus - taigi fizikams, apibūdinantiems tokias situacijas, reikia naudoti kiekius, apibūdinančius tiek dalykų, kaip jėgos, dydį, tiek kryptį, kuria jie aktas. Šie kiekiai vadinamivektoriai​.

TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)

Vektorius turi ir dydį, ir konkrečią kryptį, tačiau skaliarinis dydis turi tik dydį.

Pagrindinis skirtumas tarp vektorių ir skaliarų yra tas, kad vektoriaus dydis jo nevisiškai apibūdina; taip pat turi būti nurodyta kryptis.

Vektoriaus kryptį galima nurodyti daugeliu būdų, teigiamų ar neigiamų ženklų priešais, išreiškiant ją komponentų pavidalu (skaliarinės reikšmės šalia tinkamos

Priešingai, skalaras yra tik vektoriaus dydis be jokio papildomo žymėjimo ar pateiktos informacijos - pavyzdžiui, greitis yra greičio vektoriaus skaliarinis ekvivalentas. Žvelgiant iš matematikos perspektyvos, tai yra absoliuti vektoriaus vertė.

Tačiau daugelis dydžių, tokių kaip energija, slėgis, ilgis, masė, galia ir temperatūra, yra skaliarų pavyzdžiai, kurie nėra tik atitinkamo vektoriaus dydis. Pavyzdžiui, nereikia žinoti masės „krypties“, kad galėtumėte susidaryti išsamų jos, kaip fizinės savybės, vaizdą.

Yra keletas priešiškų faktų, kuriuos galite suprasti, kai žinote skirtumą tarp skaliarų ir vektorius, pavyzdžiui, mintis, kad kažkas gali turėti pastovų greitį, bet nuolat kisti greitis. Įsivaizduokite, kad automobilis važiuoja pastoviu 10 km / h greičiu, bet ratu. Kadangi vektoriaus kryptis yra jo apibrėžimo dalis, automobilio greičio vektorius visada yra keičiasi šiame pavyzdyje, nepaisant to, kad vektoriaus dydis (t. y. jo greitis) yra pastovus.

Fizikoje yra daug vektorių pavyzdžių, tačiau vieni iš labiausiai žinomų pavyzdžių yra jėga, impulsas, pagreitis ir greitis, kurie visi yra labai būdingi klasikinėje fizikoje. Greičio vektorius galėtų būti rodomas kaip 25 m / s į rytus, −8 km / hy-kryptis,​v​= 5 m / si+ 10 m / sjarba 10 m / s 50 laipsnių kryptimi nuox- ašis.

Momentiniai vektoriai yra dar vienas pavyzdys, kurį galite naudoti norėdami pamatyti, kaip fizikoje rodomas vektoriaus dydis ir kryptis. Tai veikia kaip greičio vektoriaus pavyzdžiai, kai 50 kg m / s į vakarus, −12 km / hzkryptis,​p​= 12 kg m / si- 10 kg m / sj- 15 kg m / skir 100 kg m / s 30 laipsnių atstumu nuox- ašys yra pavyzdžiai, kaip jie galėtų būti rodomi. Tie patys pagrindiniai taškai taikomi pagreičio vektorių rodymui, o vienintelis skirtumas yra m / s vienetas² ir dažniausiai naudojamas vektoriaus simbolis,​a​​.

Jėga yra paskutinis iš šių vektorinių išraiškų pavyzdžių ir, nors yra daug panašumų, naudojant cilindrines koordinates (r​, ​θ​, ​z) vietoj Dekarto koordinačių gali padėti parodyti kitus jų rodymo būdus. Pavyzdžiui, galite parašyti jėgą kaip​F​= 10 Nr+ 35 N𝛉, jėgai, kurios komponentai yra radialine ir azimutine kryptimi, arba apibūdinkite 1 kg Žemės objekto sunkio jėgą kaip 10 Nrkryptimi (t. y. link planetos centro).

Diagramose vektoriai rodomi rodyklėmis, o vektoriaus dydį žymi rodyklės ilgis, o jo kryptį - rodyklės kryptis. Pavyzdžiui, didesnė rodyklė rodo, kad jėga yra didesnė (t. Y. Daugiau niutonų ar didesnio dydžio) nei kita jėga.

Vektoriui, rodančiam judesį, pavyzdžiui, impulsą ar greičio vektorių,nulio vektorius(t. y. vektorius, nerodantis greičio ar impulso) rodomas naudojant vieną tašką.

Verta paminėti, kad rodyklės ilgis reiškia vektoriaus dydį, o jo orientacija - vektoriaus kryptį. Naudinga bandyti būti pakankamai tiksliems darant vektorinę diagramą. Tai neturi būti tobula, bet jei vektorius​a​yra dvigubai didesnis už vektorių​b​rodyklė turėtų būti maždaug dvigubai ilgesnė.

Vektorių pridėjimas ir vektorių atimimas yra šiek tiek sudėtingesni nei pridėdami ir atimdami skaliarus, tačiau jūs galite lengvai pasirinkti šias sąvokas. Yra du pagrindiniai metodai, kuriuos galite naudoti, ir kiekvienas jų gali būti naudojamas atsižvelgiant į konkrečią problemą, su kuria sprendžiate.

Pirmasis ir paprasčiausias naudoti, kai jums yra du vektoriai komponentų pavidalu, tai paprasčiausiai pridėti atitinkančius komponentus taip, kaip pridėtumėte įprastus skaliarus. Pavyzdžiui, jei jums reikia pridėti dvi jėgas​F​​₁ = 5 Ni+ 10 Njir​F​​₂ = 6 Ni+ 15 Nj+ 10 Nk, pridėtumėteikomponentai, tadajkomponentai ir galiausiaikkomponentai:

Vektorių atimtis veikia lygiai taip pat, tik jūs atimate kiekius, o ne juos pridedate. Vektorių pridėjimas taip pat yra komutacinis, kaip įprastas pridėjimas su tikraisiais skaičiais, taigi​a ​​+ ​​b​​ = ​​b​​ + ​​a​​.

Taip pat galite atlikti vektoriaus pridėjimą naudodami rodyklių diagramas, dedant vektorines rodykles į galvą ir tada nubrėžiant naują vektorinę rodyklę vektorių, jungiančių pirmosios rodyklės uodegą su galvute, sumai antra.

Jei turite paprastą vektoriaus papildymą su vienuxkryptis ir dar vienasykryptis, diagrama suformuoja stačiakampį trikampį. Galite užbaigti vektoriaus pridėjimą ir nustatyti gauto vektoriaus dydį ir kryptį „išsprendę“ trikampį naudodami trigonometriją ir Pitagoro teoremą.

Vektorių dauginimas yra šiek tiek sudėtingesnis nei realiųjų skaičių skaliarinis dauginimas, tačiau dvi pagrindinės daugybos formos yra taškinis ir kryžminis sandauga. Taškinis produktas vadinamas skaliariniu produktu ir apibrėžiamas kaip:

arba

kurθyra kampas tarp dviejų vektorių, o 1, 2 ir 3 abonentai rodo pirmąjį, antrąjį ir trečiąjį vektoriaus komponentus. Taškinio produkto rezultatas yra skaliaras.

Kryžminis produktas apibrėžiamas taip:

kableliais skiriant rezultato komponentus skirtingomis kryptimis.