Rotacinė kinematika: kas tai yra ir kodėl tai svarbu (su lygtimis ir pavyzdžiais)

Kinematika yra matematinė fizikos šaka, kuri naudoja lygtis objektų (ypač jų judesių) judėjimui apibūdintitrajektorijos) nenurodant jėgų.

Tai yra, jūs galite paprasčiausiai prijungti įvairius skaičius prie keturių kinematinių lygčių rinkinio, kad rastumėte nežinomus dalykus tomis lygtimis nereikia jokių fizinių žinių, susijusių su tuo judesiu, pasikliaujant tik jūsų algebra įgūdžių.

Pagalvokite apie „kinematiką“ kaip apie „kinetikos“ ir „matematikos“ derinį - kitaip tariant, judesio matematiką.

Rotacinė kinematika yra būtent tai, tačiau ji konkrečiai nagrinėja objektus, judančius žiediniais keliais, o ne horizontaliai ar vertikaliai. Kaip ir objektus, esančius judėjimo pasaulyje, šiuos besisukančius objektus galima apibūdinti atsižvelgiant į jų poslinkį, greitį ir pagreitis laikui bėgant, nors kai kurie kintamieji būtinai keičiasi, kad atitiktų pagrindinius linijinio ir kampinio skirtumus judesio.

Iš tikrųjų yra labai naudinga tuo pačiu metu išmokti tiesinio judėjimo ir sukimosi judėjimo pagrindų arba bent jau supažindinti su atitinkamais kintamaisiais ir lygtimis. Tai nėra jūsų priblokšti, bet yra skirta pabrėžti paraleles.

Žinoma, svarbu atsiminti, sužinojus apie šiuos judėjimo „tipus“ erdvėje, kad vertimas ir sukimasis toli gražu neatmeta. Tiesą sakant, dauguma judančių daiktų realiame pasaulyje rodo abiejų judesių rūšių derinį, vienas iš jų dažnai nėra akivaizdus iš pirmo žvilgsnio.

Kadangi „greitis“ paprastai reiškia „linijinį greitį“, o „pagreitis“ reiškia „tiesinį pagreitį“, nebent nurodyta kitaip, tikslinga peržiūrėti keletą paprastų pagrindinio judėjimo pavyzdžių.

Tiesinis judėjimas pažodžiui reiškia judėjimą, apsiribojantį viena linija, dažnai priskiria kintamąjį „x“. Sviedinio judėjimo problemos apima ir x-, ir y matmenys, o gravitacija yra vienintelė išorinė jėga (atkreipkite dėmesį, kad šios problemos apibūdinamos kaip atsirandančios erdviniame pasaulyje, pvz., „patrankos sviedinys“ atleidžiamas... “).

Atkreipkite dėmesį, kad masėmneįveda jokios kinematikos lygčių, nes gravitacijos poveikis objektų judėjimui yra nepriklauso nuo jų masės, o tokie kiekiai kaip impulsas, inercija ir energija nėra jokių judesio.

Kadangi sukamasis judesys apima apskritimo takų tyrimą (ne vienodais, bet ir vienodais apskritais keliais) judesio), o ne naudodamiesi skaitikliais objekto poslinkiui apibūdinti, naudojate radianus arba laipsnius vietoj to.

Radianas paviršiuje yra nepatogus vienetas, kurio vertė siekia 57,3 laipsnio. Tačiau viena kelionė aplink ratą (360 laipsnių) apibrėžiama kaip 2π radianai, ir dėl priežasčių, kurias ketinate pamatyti, kai kuriais atvejais tai yra patogu spręsti problemas.

• Santykiaiπ rad = 180 laipsniųgali būti naudojamas lengvai konvertuoti tarp abiejų matavimo vienetų.

Gali kilti problemų, įskaitant apsisukimų skaičių per laiko vienetą (aps / min arba aps.). Atminkite, kad kiekvienas apsisukimas yra 2π radianas arba 360 laipsnių.

Transliaciniai kinematikos matavimai arba vienetai turi sukimosi analogus. Pavyzdžiui, vietoj linijinio greičio, kuris apibūdina, pavyzdžiui, kiek rutulys rieda tiesia linija per tam tikrą laiko tarpą, rutulysrotacinisarbakampinis greitisapibūdina to rutulio sukimosi greitį (kiek jis sukasi radianais arba laipsniais per sekundę).

Čia svarbiausia nepamiršti, kad kiekvienas vertimo vienetas turi sukimosi analogą. Išmokti matematiškai ir konceptualiai susieti „partnerius“ reikia šiek tiek praktikos, tačiau dažniausiai tai yra paprasto pakeitimo klausimas.

Tiesinis greitisvnurodo dalelės vertimo dydį ir kryptį; kampinis greitisω(graikiškoji raidė omega) reiškia jo vienaskaitos greitį, kuris yra tai, kaip greitai objektas sukasi radianais per sekundę. Panašiai keičiasi irω, kampinį pagreitį suteikiaα(alfa) rad / s².

Vertybėsωirαyra vienodi bet kokio kieto daikto taškui, nesvarbu, ar jie matuoti 0,1 m nuo sukimosi ašies, ar už 1 000 metrų, nes kampas yra tik greitasθsvarbūs pokyčiai.

Tačiau daugumoje situacijų, kai matomi sukimosi dydžiai, yra tangentiniai (taigi ir linijiniai) greičiai ir pagreičiai. Tangentiniai dydžiai apskaičiuojami padauginus kampinius dydžius išr, atstumas nuo sukimosi ašies:v_t​ = ​ωrirα​​_t​ = ​α​​r.​

Dabar, kai matavimo analogijos tarp sukimosi ir tiesinio judesio buvo kvadratinės, naudojant naujus kampinius terminus, juos galima naudoti norint perrašyti keturios klasikinės vertimo kinematikos lygtys, atsižvelgiant į sukimosi kinematiką, tik su šiek tiek skirtingais kintamaisiais (raidės lygtyse reiškia nežinomus kiekiai).

Kinematikoje yra keturios pagrindinės lygtys ir keturi pagrindiniai kintamieji: padėtis (x​, ​yarbaθ), greitis (varbaω), pagreitis (aarbaα) ir laikast. Kurią lygtį pasirinksite, priklauso nuo to, kuriuos dydžius pradėti nežinoma.

​- [įterpti linijinių / transliacinių kinematikos lygčių lentelę, suderintą su jų sukimosi analogais]​

Pvz., Sakykite, kad jums pasakyta, kad mašinos rankena perbraukė 3π / 4 radianų kampinį poslinkį pradiniu kampiniu greičiuω₀0 rad / s ir galutinis kampinis greitisωπ rad / s. Kiek laiko užtruko šis judesys?

Nors kiekviena vertimo lygtis turi sukimosi analogą, atvirkščiai nėra teisinga dėl centripetinio pagreičio, kuris yra tangentinio greičio pasekmėv_tir rodo sukimosi ašies link. Net jei nekinta dalelės, skriejančios aplink masės centrą, greitis, tai reiškia pagreitį, nes greičio vektoriaus kryptis visada keičiasi.

1. Plonas strypas, priskiriamas standžiam korpusui, kurio ilgis 3 m, sukasi aplink ašį apie vieną galą. Jis vienodai pagreitėja nuo ramybės iki 3π rad / s² per 10 s.

a) Koks yra vidutinis kampinis greitis ir kampinis pagreitis per šį laiką?

Kaip ir tiesiniu greičiu, tiesiog padalykite (ω₀+​ ​ω) 2, kad gautų vidutinį kampinį greitį: (0 + 3π s^-1)/2 = ​1.5​​π​ ​s^-1​.

• Radianai yra be matmenų vienetas, todėl kinematikos lygtyse kampinis greitis išreiškiamas s^-1.

Vidutinį pagreitį nurodoω=ω₀+ αtarbaα= (3π s^-1/ 10 s) =0,3π s^-2​.

b) Kiek sukimų sukasi lazda?

Kadangi vidutinis greitis yra 1,5π s^-1 o strypas sukasi 10 sekundžių, jis juda iš viso per 15π radianą. Kadangi vienas apsisukimas yra 2π radianas, tai reiškia (15π / 2π) = 7,5 apsisukimo (septynios visos revoliucijos) šioje problemoje.

c) Koks yra strypo galo tangentinis greitis momentu t = 10 s?

Nuov_t​ = ​ωrirωmetu t = 10 yra 3π s^-1, ​v_t= (3π s^-1) (3 m) =9π m / s.​

​Ašapibrėžiamas kaip inercijos momentas (dar vadinamasantras ploto momentas) sukimosi judesyje, o skaičiavimo tikslais ji yra analogiška masei. Taigi atrodo, kad masė atsirastų tiesinio judėjimo pasaulyje, galbūt svarbiausia apskaičiuojant kampinį impulsąL. Tai yraAšir​ω​,ir yra vektorius, kurio kryptis yra tokia pati kaip​ω​.​

​Aš = p² taškinei dalelei, bet kitaip tai priklauso nuo objekto formos, atliekančio sukimąsi, taip pat nuo sukimosi ašies. Žr. Šaltinius, kad būtų patogusAšbendroms formoms.

Masė yra kitokia, nes pats sukimosi kinematikoje esantis dydis, inercijos momentas, iš tikrųjų yra patsyramasė kaip komponentas.