Kinematikos lygtys apibūdina objekto, kuriam atliekamas nuolatinis pagreitis, judėjimą. Šios lygtys sieja judančio objekto laiko, padėties, greičio ir pagreičio kintamuosius, leidžiant išspręsti bet kurį iš šių kintamųjų, jei yra žinomi kiti.
Žemiau pateikiamas objekto, kuriam atliekamas nuolatinis pagreičio judėjimas vienoje dimensijoje, vaizdavimas. Kintamasis t yra laikui, pozicija yra x, greitis v ir pagreitis a. Abonementai i ir f reiškia atitinkamai „pradinį“ ir „galutinį“. Manoma, kad t = 0 xi ir vi.
(Įterpti 1 vaizdą)
Kinematinių lygčių sąrašas
Žemiau yra trys pagrindinės kinematinės lygtys, kurios taikomos dirbant vienoje dimensijoje. Šios lygtys yra:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Pastabos apie kinematines lygtis
- Šios lygtys veikia tik esant pastoviam pagreičiui (kuris pastovaus greičio atveju gali būti nulis).
- Priklausomai nuo to, kurį šaltinį skaitote, galutiniai kiekiai gali neturėti indekso fir (arba) funkcijų žymėjime gali būti pateikiami kaip x (t) - perskaitykx kaip laiko funkcija “arba„x laiku t“- ir v (t). Prisimink tai x (t) nereiškia x padaugintas iš t!
-
Kartais kiekis xf - xi yra parašyta
Δx, reiškiantis „pokytį x“Ar net paprasčiausiai kaip d, reiškiantis poslinkį. Visi yra lygiaverčiai. Padėtis, greitis ir pagreitis yra vektoriniai dydžiai, tai reiškia, kad jie turi susietą kryptį. Vienoje dimensijoje kryptis paprastai nurodoma ženklais - teigiami dydžiai yra teigiama, o neigiami - neigiama. Prenumeratos: vietoj pradinės padėties ir greičio gali būti naudojamas „0“ i. Šis „0“ reiškia „ties t = 0 "ir x0 ir v0 paprastai tariami "x-naught" ir "v-naught". * Tik viena iš lygčių neapima laiko. Rašant duotybes ir nustatant, kokią lygtį naudoti, tai yra raktas!
Ypatingas atvejis: laisvas kritimas
Laisvo kritimo judėjimas yra objekto judėjimas, pagreitinamas vien dėl gravitacijos, nesant oro pasipriešinimo. Taikomos tos pačios kinematinės lygtys; tačiau pagreičio vertė šalia Žemės paviršiaus yra žinoma. Šio pagreičio dydį dažnai rodo gkur g = 9,8 m / s2. Šio pagreičio kryptis yra žemyn, link Žemės paviršiaus. (Atkreipkite dėmesį, kad kai kurie šaltiniai gali būti apytiksliai g kaip 10 m / s2ir kiti gali naudoti vertę, kuri yra tiksli daugiau nei dviem skaičiais po kablelio.)
Kinematikos problemų sprendimo strategija vienoje dimensijoje:
Nubraižykite situacijos schemą ir pasirinkite tinkamą koordinačių sistemą. (Prisimink tai x, v ir a yra visi vektoriniai dydžiai, todėl, priskyrus aiškią teigiamą kryptį, bus lengviau sekti ženklus.)
Parašykite žinomų kiekių sąrašą. (Saugokitės, kad kartais žinomi dalykai nėra akivaizdūs. Ieškokite tokių frazių kaip „prasideda nuo poilsio“, tai reiškia vi = 0 arba „trenkiasi į žemę“, tai reiškia xf = 0 ir t. T.)
Nustatykite, kokį kiekį klausimo norite rasti. Kas yra nežinomybė, kurią išspręsite?
Pasirinkite tinkamą kinematinę lygtį. Tai bus lygtis, kurioje yra nežinomas kiekis kartu su žinomais dydžiais.
Išspręskite nežinomo kiekio lygtį, tada prijunkite žinomas reikšmes ir apskaičiuokite galutinį atsakymą. (Būkite atsargūs dėl vienetų! Kartais prieš skaičiuojant reikės konvertuoti vienetus.)
Vienmatės kinematikos pavyzdžiai
1 pavyzdys: Skelbime teigiama, kad sportinis automobilis nuo 0 iki 60 mylių per valandą greičiu gali nuvažiuoti per 2,7 sekundės. Koks šio automobilio pagreitis m / s2? Kiek jis nuvažiuoja per šias 2,7 sekundės?
Sprendimas:
(Įterpti 2 paveikslėlį)
Žinomi ir nežinomi kiekiai:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Pirmoji klausimo dalis reikalauja išspręsti nežinomą pagreitį. Čia galime naudoti 1 lygtį:
v_f = v_i + at \ reiškia a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Prieš prijungdami skaičius, mes turime konvertuoti 60 mph į m / s:
60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ text {m / s}
Taigi pagreitis yra:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ pabraukti {\ bold {9,93} \ text {m / s} ^ 2}
Norėdami sužinoti, kiek tai eina per tą laiką, galime naudoti lygtį Nr. 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 prie ^ 2 = \ frac 1 2 \ kartus 9,93 kartus 2,7 ^ 2 = \ pabraukti {\ bold {36.2} \ text {m}}
2 pavyzdys: Kamuolys iš 1,5 m aukščio išmetamas 15 m / s greičiu. Kaip greitai jis eina, kai atsitrenkia į žemę? Kiek laiko trunka žemė?
Sprendimas:
(Įterpti 3 vaizdą)
Žinomi ir nežinomi kiekiai:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Pirmajai daliai išspręsti galime naudoti lygtį Nr. 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) reiškia, kad v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Viskas jau yra nuosekliais vienetais, todėl galime prijungti vertes:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ approx \ pm16 \ text {m / s}
Čia yra du sprendimai. Kuris yra teisingas? Iš mūsų diagramos galime pamatyti, kad galutinis greitis turėtų būti neigiamas. Taigi atsakymas yra toks:
v_f = \ pabraukti {\ bold {-16} \ text {m / s}}
Norėdami išspręsti laiką, galime naudoti arba 1 lygtį, arba # 2 lygtį. Kadangi 1 lygtį dirbti yra paprasčiau, naudosime tą:
v_f = v_i + at \ reiškia t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ approx \ pabraukimas {\ bold {3.2} \ text {s }}
Atkreipkite dėmesį, kad atsakymas į pirmąją šio klausimo dalį nebuvo 0 m / s. Nors tiesa, kad rutuliui nusileidus, jo greitis bus 0, šiuo klausimu norima sužinoti, kaip greitai jis eina tą sekundės dalį prieš smūgį. Kai rutulys susiliečia su žeme, mūsų kinematinės lygtys nebetaikomos, nes pagreitis nebus pastovus.
Kinetinės sviedinio judesio lygtys (du matmenys)
Sviedinys yra objektas, judantis dviem matmenimis veikiamas Žemės gravitacijos. Jo kelias yra parabolė, nes vienintelis pagreitis atsiranda dėl gravitacijos. Kinetinės judesio judėjimo lygtys įgauna šiek tiek kitokią formą nei anksčiau išvardytos kinematinės lygtys. Mes naudojame tai, kad judesio komponentai, statmeni vienas kitam, pavyzdžiui, horizontalūs x kryptį ir vertikalę y kryptis - yra nepriklausomi.
Sviedinio judesio kinematikos problemų sprendimo strategija:
Nubraižykite situacijos schemą. Kaip ir naudojant vienmatį judėjimą, naudinga nubrėžti scenarijų ir nurodyti koordinačių sistemą. Užuot naudoję etiketes x, v ir a Norint nustatyti padėtį, greitį ir pagreitį, reikia judesio kiekviename matmenyje žymėti atskirai.
Horizontaliajai krypčiai dažniausiai naudojama x už poziciją ir vx x greičio komponentui (atkreipkite dėmesį, kad pagreitis yra 0 šia kryptimi, todėl mums nereikia jo kintamojo.) y kryptimi, tai dažniausiai naudojama y už poziciją ir vy greičio y komponentui. Pagreitis gali būti pažymėtas ay arba galime naudoti tai, kad žinome pagreitį dėl gravitacijos g neigiama y kryptimi ir tiesiog naudokite tai.
Parašykite žinomų ir nežinomų dydžių sąrašą, padalydami problemą į dvi dalis: vertikalų ir horizontalų judėjimą. Naudokite trigonometriją, kad rastumėte bet kokių vektorinių dydžių, kurie nėra ašyje, x- ir y-komponentus. Gali būti naudinga tai išvardyti dviejuose stulpeliuose:
(įterpti 1 lentelę)
Pastaba: jei greitis nurodomas kaip dydis kartu su kampu, Ѳ, virš horizontalės, tada naudokite vektorių skaidymą, vx= vcos (Ѳ) ir vy= vsin (Ѳ).
Mes galime apsvarstyti mūsų tris kinematines lygtis iš anksčiau ir atitinkamai pritaikyti jas x ir y kryptims.
X kryptis:
x_f = x_i + v_xt
Y kryptis:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Atkreipkite dėmesį, kad pagreitis y kryptis yra -g, jei manome, kad teigiama. Paplitusi klaidinga nuomonė, kad g = -9,8 m / s2, bet tai neteisinga; g pati yra tik pagreičio dydis: g = 9,8 m / s2, todėl turime nurodyti, kad pagreitis yra neigiamas.
Išspręskite vieną nežinomą vienoje iš tų dimensijų ir tada prijunkite tai, kas įprasta abiem kryptimis. Nors judėjimas dviejuose matmenyse yra nepriklausomas, jis vyksta toje pačioje laiko skalėje, taigi laiko kintamasis yra vienodas abiem dimensijomis. (Laikas, per kurį kamuolys praeina vertikaliai, yra toks pat, kiek laiko reikia jo horizontaliam judesiui.)
Sviedinio judesio kinematikos pavyzdžiai
1 pavyzdys: Sviedinys paleidžiamas horizontaliai nuo 20 m aukščio uolos, kurio pradinis greitis yra 50 m / s. Kiek laiko trunka žemė? Kaip toli nuo uolos pagrindo jis nusileidžia?
(įterpti 4 vaizdą)
Žinomi ir nežinomi kiekiai:
(įterpti 2 lentelę)
Laiką, kurio reikia norint patekti į žemę, galime rasti naudodamiesi antrąja vertikalia judesio lygtimi:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ reiškia t = \ sqrt {\ frac {(2 kartus 20 kartų)} g} = \ pabraukite {\ bold {2.02} \ text {s} }
Tada norėdami sužinoti, kur jis nusileidžia, xf, galime naudoti horizontalaus judesio lygtį:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ pabraukti {\ bold {101} \ text {s}}
2 pavyzdys: Kamuolys paleidžiamas 100 m / s greičiu nuo žemės lygio 30 laipsnių kampu su horizontaliu. Kur jis nusileidžia? Kada jo greitis yra mažiausias? Kokia yra jo vieta šiuo metu?
(įterpkite 5 vaizdą)
Žinomi ir nežinomi kiekiai:
Pirmiausia turime suskaidyti greičio vektorių į komponentus:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ apytiksliai 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ siųsti tekstą {m / s}
Mūsų kiekių lentelė yra tokia:
(įterpti 3 lentelę)
Pirmiausia turime rasti laiką, kai kamuolys skrieja. Tai galime padaryti su antrąja vertikalia lygtimi_. Atkreipkite dėmesį, kad mes naudojame parabolės simetriją, norėdami nustatyti, kad galutinis _y greitis yra neigiamas pradinis:
Tada mes nustatome, kiek toli jis juda x kryptis šiuo laiku:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ kartus 10,2 \ apytiksliai \ pabraukiama {\ paryškinta {883} \ text m}
Naudodami parabolinio kelio simetriją galime nustatyti, kad greitis yra mažiausias 5,1 s, kai sviedinys yra jo judėjimo smailėje, o vertikali greičio dedamoji yra 0. Šiuo metu jo judesio x ir y komponentai yra:
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ kartus 5,1 \ apytiksliai \ pabraukite {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ kartus \ frac 1 2 9,8 \ kartus 5,1 ^ 2 \ apytiksliai \ pabraukiama {\ bold {128} \ text {m}}
Kinematinių lygčių išvedimas
1 lygtis: Jei pagreitis yra pastovus, tada:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Spręsdami greitį, turime:
v_f = v_i + esant
2 lygtis: Vidutinį greitį galima užrašyti dviem būdais:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Jei pakeisime _vf _ su 1 lygties išraiška gauname:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Sprendimas dėl xf suteikia:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 ties ^ 2
3 lygtis: Pradėkite spręsdami t 1 lygtyje
v_f = v_i + at \ reiškia t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Prijunkite šią išraišką prie t vidutinio greičio santykyje:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ reiškia \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Pertvarkius šią išraišką gaunama:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)