Kaip rasti dy / dx pagal numanomą diferenciaciją, atsižvelgiant į panašią lygtį kaip y = sin (xy)

Numanomas diferenciacija yra technika, naudojama nustatyti funkcijos išvestinę formos y = f (x) forma.

Norėdami sužinoti, kaip naudoti numanomą diferenciaciją, galime naudoti metodą paprastame pavyzdyje ir tada ištirti keletą sudėtingesnių atvejų.

Nors tai skamba sudėtingiau, numanomoje diferenciacijoje naudojama visa ta pati matematika ir įgūdžiai, kaip ir pagrindinėje diferenciacijoje. Tačiau svarbu atkreipti dėmesį į tai, kad mūsų priklausomas kintamasis dabar rodomas pačioje funkcijoje.

Paimkite paprastą lygtį, pvz., Xy = 1. Yra du būdai, kaip rasti darinį y su pagarba xarba dy / dx. Pirma, mes galime paprasčiausiai išspręsti y lygtyje ir išvestiniams naudokite galios taisyklę. Tai padarius gautų: y = 1 / x. Taikant galios taisyklę paaiškėtų, kad dy / dx = -1 / x².

Mes taip pat galime padaryti šią problemą naudodami numanomą diferenciaciją. Laimei, mes jau žinome atsakymą (jis turėtų būti tas pats, neatsižvelgiant į tai, kaip jį apskaičiuojame), todėl galime patikrinti savo darbą!

Norėdami pradėti, naudokite išvestinę abiejose lygties xy = 1 pusėse. Tada d / dx (xy) = d / dx (1); dešinioji pusė dabar lygi 0, bet kairiajai pusei reikalinga grandinės taisyklė. Taip yra todėl, kad mes imamės savo funkcijos darinio, y, o jis dauginamas iš kito koeficiento x. Norėdami tai apskaičiuoti: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Mes naudosime pagrindinę žymėjimą, kad nurodytume išvestinę iš x.

Perrašant mūsų lygtį, gaunama: y + xy '= 0. Atėjo laikas išspręsti y ' mūsų lygtyje! Aišku, y '= -y / x. Tačiau naudodamiesi pradine informacija mes žinome, kad y = 1 / x, todėl galime tai pakeisti atgal. Kai tai padarysime, pamatysime, kad y '= -1 / x², kaip mes radome anksčiau.

Norėdami nustatyti y = sin (xy) darinį, naudosime numanomą diferenciaciją, prisimindami, kad (d / dx) y = y '.

Pirmiausia pritaikykite darinį abiejose lygties pusėse: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Kairioji lygties pusė yra aiškiai y ', ką mums reikės išspręsti, tačiau dešinioji pusė pareikalaus šiek tiek darbo; konkrečiai - grandinės taisyklė ir produkto taisyklė. Pirma, grandinės taisyklė turi būti taikoma nuodėmei (xy), o tada argumento produkto taisyklė xy. Laimei, mes jau apskaičiavome šią produkto taisyklę.

Tada supaprastinus tai gaunama: y '= cos (xy) (y + xy').

Aišku, reikia išspręsti šią lygtį y ' siekiant nustatyti, kaip y ' yra susijęs su x ir y.

Išskirkite visus terminus su y ' vienoje pusėje: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Tada išskaičiuokite y ' gauti: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Dabar matome, kad y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

Būtina dar labiau supaprastinti, bet kadangi mūsų funkcija apibrėžta rekursiškai, prijungus y = sin (xy), tikriausiai nebus patenkinamo sprendimo. Tokiu atveju gali būti naudinga gauti daugiau informacijos ar sudėtingesnį metodą, kaip braižyti šias lygtis.

Pirma, atminkite, kad numanoma diferenciacija remiasi tuo, kad vienas iš kintamųjų yra kito funkcija. Paprastai funkcijas matome kaip y = f (x), bet galima parašyti funkciją x = f (y). Būkite atsargūs, spręsdami šias problemas, kad nustatytumėte, kuris kintamasis priklauso nuo kito.

Tada nepamirškite atidžiai taikyti išvestinių taisyklių. Netiesioginiam diferencijavimui reikės labai dažnai grandinės taisyklės, taip pat produkto taisyklės ir koeficiento. Teisingai taikant šiuos metodus bus būtina nustatyti galutinį atsakymą.

Galiausiai išspręskite norimą darinį jį išskirdami ir kiek įmanoma supaprastindami išraiškas.