Švytuoklės turi įdomių savybių, kurias fizikai naudoja kitiems objektams apibūdinti. Pavyzdžiui, planetos orbita eina panašiu modeliu, o siūbuojant ant sūpynių komplekto gali atrodyti, kad esate ant švytuoklės. Šios savybės kyla iš daugybės dėsnių, reguliuojančių švytuoklės judėjimą. Išmokę šiuos dėsnius, galite pradėti suprasti kai kuriuos pagrindinius fizikos ir judesio principus.
Švytuoklės judėjimą galima apibūdinti naudojant
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}}
kuriameθnurodo kampą tarp stygos ir vertikalios linijos žemyn centre,treiškia laiką irTyra laikotarpis, laikas, reikalingas tam, kad įvyktų visas švytuoklės judesio ciklas (matuojamas pagal1 / f), judesio švytuoklei.
Paprastas harmoninis judesys
Paprastas harmoninis judesysarba judesys, apibūdinantis, kaip objekto greitis svyruoja proporcingai poslinkio iš pusiausvyros dydžiui, gali būti naudojamas švytuoklės lygčiai apibūdinti. Ši švytuoklės bobo svyravimus jėga palaiko judant pirmyn ir atgal.
•••Syedas Hussainas Atheris
Įstatymai, reglamentuojantys švytuoklės judėjimą, paskatino atrasti svarbią savybę. Fizikai jėgas suskirsto į vertikalų ir horizontalų komponentą. Švytuoklės judesyjetrys jėgos tiesiogiai veikia švytuoklę: bobos masė, gravitacija ir stygos įtempimas. Masė ir gravitacija veikia vertikaliai žemyn. Kadangi švytuoklė nejuda aukštyn ar žemyn, vertikalus virvelės įtempimo komponentas panaikina masę ir sunkumą.
Tai rodo, kad švytuoklės masė neturi jokios reikšmės jo judėjimui, tačiau horizontalios stygos įtempimas - taip. Paprastas harmoninis judesys yra panašus į sukamąjį judesį. Galite apibūdinti objektą, judantį žiediniu keliu, kaip parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje, nustatydami kampą ir spindulį, kurį jis užima savo atitinkamu apskritimo keliu. Tada, naudodami stačiojo trikampio tarp apskritimo centro, objekto padėties ir poslinkio į abi puses x ir y trigonometriją, galite rasti lygtisx = rsin (θ)iry = rcos (θ).
Paprasto harmoninio judesio objekto vienmatę lygtį pateikiax = r cos (ωt).Galite dar pakeistiAdėlrkuriameAyraamplitudė, maksimalus poslinkis nuo pradinės objekto padėties.
Kampinis greitisωlaiko atžvilgiutšiems kampamsθyra duotaθ = ωt. Jei pakeisite lygtį, kuri susieja kampinį greitį su dažniuf, ω = 2πf, galite įsivaizduoti šį sukamą judesį, tada kaip švytuoklės, siūbuojančios pirmyn ir atgal, dalį, tada gaunama paprasta harmoninių judesių lygtis yra
x = A \ cos {2 \ pi ft}
Paprastos švytuoklės dėsniai
•••Syedas Hussainas Atheris
Švytuoklės, kaip mišios ant šaltinio, yra pavyzdžiaipaprasti harmoniniai osciliatoriai: Yra atkuriamoji jėga, kuri didėja priklausomai nuo to, kiek pasislinko švytuoklė, ir jų judėjimą galima apibūdinti naudojantpaprasta harmonikos osciliatoriaus lygtis
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}}
kuriameθnurodo kampą tarp stygos ir vertikalios linijos žemyn centre,treiškia laiką irTyralaikotarpį, laikas, reikalingas visam švytuoklės judesio ciklui įvykti (matuojamas pagal1 / f), judesio švytuoklei.
θmaksyra dar vienas būdas nustatyti maksimalų kampą, kuris svyruoja švytuoklės judėjimo metu, ir dar vienas būdas nustatyti švytuoklės amplitudę. Šis žingsnis paaiškinamas toliau skyriuje „Paprastas švytuoklės apibrėžimas“.
Kita paprastos švytuoklės dėsnių implikacija yra ta, kad svyravimo periodas su pastoviu ilgiu nepriklauso nuo stygos gale esančio objekto dydžio, formos, masės ir medžiagos. Tai aiškiai parodo per paprastą švytuoklės išvedimą ir gautas lygtis.
Paprastas švytuoklės išvedimas
Galite nustatyti a lygtįpaprasta švytuoklė, apibrėžimas, kuris priklauso nuo paprasto harmoninio osciliatoriaus, pradedant žingsnių serija, pradedant švytuoklės judesio lygtimi. Kadangi švytuoklės traukos jėga lygi švytuoklės judėjimo jėgai, galite jas nustatyti lygias viena kitai naudodami antrąjį Niutono dėsnį su švytuoklės maseM, stygos ilgisL, kampasθ,gravitacinis pagreitisgir laiko intervalast.
•••Syedas Hussainas Atheris
Antrąjį Niutono dėsnį nustatėte lygų inercijos momentuiAš = p2kažkokiai maseimapskritimo judesio spindulys (šiuo atveju stygos ilgis)rkartų didesnį už kampinį pagreitįα.
- ΣF = Ma: Antrasis Niutono įstatymas teigia, kad grynoji jėgaΣFobjekte yra lygi objekto masei, padaugintai iš pagreičio.
- Ma = I α: Tai leidžia nustatyti gravitacinio pagreičio jėgą (-Mg nuodėmė (θ) L)lygus sukimosi jėgai
- -Mg nuodėmė (θ) L = I α: Dėl sunkio jėgos galite gauti vertikalios jėgos kryptį (-Mg) apskaičiuojant pagreitį kaipnuodėmė (θ) Ljeinuodėmė (θ) = d / Ltam tikram horizontaliam poslinkiuidir kampasθ atsiskaityti už kryptį.
- -Mg nuodėmė (θ) L = ML2 α: Besisukančio kūno inercijos momento lygtį pakeisite naudodami stygos ilgį L kaip spindulį.
- -Mg sin (θ) L = -ML2d2θ / dt: Apskaičiuokite kampinį pagreitį pakeisdami antrąjį kampo išvestį laiko atžvilgiuα.Šiam žingsniui reikia skaičiavimo ir diferencialinių lygčių.
- d2θ / dt2 + (g / L) sinθ = 0: Tai galite gauti pertvarkę abi lygties puses
- d2θ / dt2 + (g / L) θ = 0: Galite apytiksliainuodėmė (θ)kaipθpaprastos švytuoklės tikslais esant labai mažiems svyravimo kampams
- θ (t) = θmakscos (t (L / g)2): Judesio lygtis turi šį sprendimą. Tai galite patikrinti atlikdami antrąjį šios lygties darinį ir dirbdami, kad gautumėte 7 veiksmą.
Yra ir kitų būdų, kaip padaryti paprastą švytuoklės darinį. Supraskite kiekvieno žingsnio reikšmę ir sužinokite, kaip jie susiję. Naudodamiesi šiomis teorijomis, galite apibūdinti paprastą švytuoklės judėjimą, tačiau taip pat turėtumėte atsižvelgti į kitus veiksnius, kurie gali turėti įtakos paprastos švytuoklės teorijai.
Veiksniai, turintys įtakos švytuoklės judėjimui
Jei palyginsite šio darinio rezultatą
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {t \ bigg (\ frac {L} {g} \ bigg) ^ 2}
prie paprasto harmoninio osciliatoriaus lygtiesby nustatydami juos lygius vienas kitam, galite gauti laikotarpio T lygtį:
T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {g} {L}}
Atkreipkite dėmesį, kad ši lygtis nepriklauso nuo masėsMšvytuoklės amplitudėθmaks, nei laikut. Tai reiškia, kad laikotarpis nepriklauso nuo masės, amplitudės ir laiko, tačiau, priklausomai nuo stygos ilgio. Tai suteikia jums glaustą būdą išreikšti švytuoklės judėjimą.
Švytuoklės ilgio pavyzdys
Naudodami laikotarpio lygtį, galite pertvarkyti gautą lygtį
L = \ frac {(T / 2 \ pi) ^ 2} {g}
ir pakeiskite 1 sekTir9,8 m / s2dėlggautiL =0,0025 m. Turėkite omenyje, kad šios paprastos švytuoklės teorijos lygtys daro prielaidą, kad stygos ilgis yra be trinties ir be masės. Norint atsižvelgti į šiuos veiksnius, reikėtų sudėtingesnių lygčių.
Paprastas švytuoklės apibrėžimas
Galite traukti švytuoklės nugaros kampąθleisti jam siūbuoti pirmyn ir atgal, kad pamatytume, kaip jis svyruoja taip, kaip gali spyruoklė. Paprastą švytuoklę galite apibūdinti naudodami paprasto harmoninio osciliatoriaus judėjimo lygtis. Judesio lygtis gerai veikia esant mažesnėms kampo iramplitudė, didžiausias kampas, nes paprastas švytuoklės modelis remiasi aproksimacijanuodėmė (θ) ≈ θtam tikram švytuoklės kampuiθ.Kai reikšmių kampai ir amplitudės tampa didesni nei maždaug 20 laipsnių, šis apytikslis taip pat neveikia.
Išbandykite patys. Svyruoklė, siūbuojanti dideliu pradiniu kampuθnesvyruos taip reguliariai, kad galėtumėte jį apibūdinti naudodami paprastą harmoninį osciliatorių. Mažesniu pradiniu kampuθ, švytuoklė daug lengviau priartėja prie taisyklingo, svyruojančio judesio. Kadangi švytuoklės masė neturi jokios įtakos jos judėjimui, fizikai įrodė, kad visos švytuoklės turi tą patį svyravimo periodą kampai - kampas tarp švytuoklės centro aukščiausiame taške ir švytuoklės centro sustojus - mažesnis nei 20 laipsnių.
Visais praktiniais judančio švytuoklės tikslais švytuoklė ilgainiui lėtės ir sustos dėl trintis tarp virvelės ir jos pritvirtinto taško aukščiau, taip pat dėl oro pasipriešinimo tarp švytuoklės ir oro aplink jį.
Praktiniams švytuoklės judėjimo pavyzdžiams laikotarpis ir greitis priklausys nuo naudojamos medžiagos, kuri sukels šiuos trinties ir oro pasipriešinimo pavyzdžius. Jei atliksite teorinio švytuoklės svyravimo elgesio skaičiavimus neatsižvelgdami į šias jėgas, tada jis atsižvelgs į be galo svyruojančią švytuoklę.
Niutono dėsniai švytuoklėse
Pirmasis Niutono dėsnis apibrėžia objektų greitį reaguojant į jėgas. Įstatymas teigia, kad jei objektas juda tam tikru greičiu ir tiesia linija, jis ir toliau judės tuo greičiu ir tiesia linija be galo, jei tik jokia kita jėga jo neveikia. Įsivaizduokite, kad mėtote kamuolį tiesiai į priekį - rutulys vėl ir vėl apeitų žemę, jei oro pasipriešinimas ir sunkumas to neveiktų. Šis dėsnis rodo, kad kadangi švytuoklė juda viena į kitą, o ne aukštyn ir žemyn, ji neturi jokių ją veikiančių aukštyn ir žemyn jėgų.
Antrasis Niutono dėsnis naudojamas nustatant grynąją švytuoklės jėgą, nustatant gravitacijos jėgą, lygią virvelės, kuri vėl traukiasi į švytuoklę, jėgai. Nustačius šias lygtis vienodoms, galima gauti švytuoklės judėjimo lygtis.
Trečiasis Niutono įstatymas teigia, kad kiekvienas veiksmas reaguoja vienodai. Šis dėsnis veikia su pirmuoju dėsniu, rodančiu, kad nors masė ir gravitacija panaikina stygų įtempimo vektoriaus vertikalųjį komponentą, niekas nepanaikina horizontalaus komponento. Šis dėsnis rodo, kad švytuoklę veikiančios jėgos gali viena kitą panaikinti.
Fizikai naudoja pirmąjį, antrąjį ir trečiąjį Niutono dėsnius, kad įrodytų, jog horizontalios stygos įtempimas judina švytuoklę neatsižvelgdamas į masę ar sunkumą. Paprastos švytuoklės dėsniai atitinka trijų Niutono judėjimo dėsnių idėjas.