겉보기에 무수히 많은 플라스틱 일회용 물컵 중 하나에 물이나 커피가 얼마나 들어갈 수 있는지 궁금한 적이 있습니까? 즉, 지금까지 보거나 사용한 거의 모든 종이, 플라스틱 또는 기타 일회용 컵? (공평하게 말하면, 일부 컵은 경사면이 없어서 원통형이지만 이는 다음에 만 적용되는 것 같습니다. 영구적 인 컵.)
위에 설명 된 모양의 유형은 원뿔, 공간을 휩쓸고 원 (가장 단순한 경우) 또는 타원과 같은 곡선 경로를 따라가는 선의 결과입니다. 컵은 일반적으로 뾰족하지 않지만 (일부는 냉동 간식을 담는 경우도 있음) 기하학적으로 말하면 여전히 원뿔의 "조각"입니다. 따라서 인내심을 가지고 볼륨을 쉽게 찾을 수 있습니다.
원뿔의 부피
규칙적인 또는 오른쪽 원뿔 (즉, 원형베이스가있는 원뿔)의 부피에 대한 공식은 다음과 같습니다.
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
어디 아르 자형 베이스의 반경이고 h 원뿔의 높이입니다. 또한 측면에서 보면 직각 원뿔은 두 개의 직각 삼각형이 함께 배치 된 것처럼 보이므로 길이 에스 원뿔의 경사면은이 삼각형 중 하나의 빗변과 같은 값을 갖습니다. 따라서 피타고라스 정리를 적용하여 제공됩니다. 아르 자형2 + h2 = 초2, 그래서
s = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
테이퍼 드 컵의 부피: 1 부
바닥이 8cm, 상단이 10cm, 높이가 15cm 인 컵이 있다고 가정 해 보겠습니다. cm 단위로 얼마나 많은 액체를 담을 수 있습니까?3밀리리터 (mL)라고도합니다.
이 문제에 접근하는 한 가지 방법은 컵의 단면, 즉 시야에 수직으로 정확히 반으로 자른 후 측면에서 보이는 모습을 그리는 것입니다. 밑면이 만나는 두 점에서 위쪽으로 수직선을 그리면 컵, 당신은 이제 단면을 두 개의 동일하고 반사 된 직각 삼각형으로 분할하고 직사각형. 삼각형은 15cm의 긴 "다리"와 1cm의 짧은 "다리"(기본 너비와 상단 너비의 차이를 나눔)를 갖습니다.
테이퍼 드 컵의 부피: 2 부
다이어그램에서 컵의 측면을 밑면 아래 지점까지 확장하면 어떻게되는지 주목하십시오. 또한 상단 중앙에서이 선이 수렴하는 지점을 향해 선을 확장합니다. (측면을 만나 닫힌 삼각형을 형성 할 공간이 없을 수도 있지만 가능한 한 가까이 다가 가십시오.)
유사한 삼각형의 원리로 인해 삼각형의 긴 다리 (15cm)와 작은 다리 (1 cm) 또는 15 대 1은 "컵"의 밑면과 컵 사이에 새로 생성 된 삼각형 중 하나의 긴 다리에 대한 작은 다리의 비율과 동일해야합니다. 포인트. 작은 다리의 값은 4cm이므로 긴 다리는이 값의 15 배 또는 60cm 여야합니다.
따라서 이제 총 높이가 15 + 60 = 75cm이고 너비가 10cm (반경 5cm) 인 원뿔의 단면을 다룹니다. 이 원뿔의 부피에서 컵의 바닥까지 확장되는 원뿔의 부피를 뺀 값으로 높이가 60cm이고 너비가 8cm (r = 4cm)이면 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.
\ begin {aligned} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963.5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005.3 \ text {mL} \\ 1963.5-1005.3 = 958.2 \ text {mL} \ end {aligned}
따라서 컵은 1L (1,000mL)에 가까운 액체를 담을 수 있습니다.
원뿔 및 컵 부피 계산기
다양한 초기 정보 조합이 주어진 원뿔과 관련된 계산기 목록은 참고 자료를 참조하십시오. 또는 위와 같은 접근 방식을 사용하고 컵을 다른 모양으로 분할 한 다음 합계를 찾기 위해 적절한 조합으로 더 간단한 공식 (예: 큐브의 부피에 대한 공식) 음량.