다항식 함수를 해결하는 것은 수학이나 물리학을 공부하는 모든 사람에게 핵심 기술이지만, 특히 고차 함수와 관련하여 프로세스를 이해하는 것은 매우 어려울 수 있습니다. 3 차 함수는 손으로 풀어야 할 가장 어려운 유형의 다항식 중 하나입니다. 2 차 방정식을 푸는 것만 큼 간단하지는 않지만 몇 가지 방법이 있습니다. 자세한 페이지와 페이지에 의존하지 않고 3 차 방정식에 대한 해를 찾는 데 사용할 수 있습니다. 대수학.
3 차 함수 란 무엇입니까?
3 차 함수는 3 차 다항식입니다. 일반 다항식 함수의 형식은 다음과 같습니다.
f (x) = ax ^ n + bx ^ {n-1} + cx ^ {n-2}... vx ^ 3 + wx ^ 2 + zx + k
여기, 엑스 변수입니다. 엔 단순히 임의의 숫자 (및 다항식의 정도)입니다. 케이 은 상수이고 다른 문자는 각 거듭 제곱에 대한 상수 계수입니다. 엑스. 따라서 3 차 함수는 엔 = 3이며 간단합니다.
에프 (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d
이 경우, 디 상수입니다. 일반적으로 3 차 방정식을 풀어야 할 때 다음과 같은 형식으로 표시됩니다.
ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d = 0
각 솔루션 엑스 방정식의 "근"이라고합니다. 3 차 방정식은 반복 될 수 있지만 실수 근 1 개 또는 3 개를 갖지만 항상 적어도 하나의 해가 있습니다.
방정식 유형은 가장 높은 거듭 제곱으로 정의되므로 위의 예에서 다음과 같은 경우 3 차 방정식이 아닙니다. a = 0, 가장 높은 검정력 항은 BX2 2 차 방정식이됩니다. 이것은 다음이 모두 3 차 방정식임을 의미합니다.
2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 6x −9 = 0 \\ x ^ 3 −9x + 1 = 0 \\ x ^ 3 −15x ^ 2 = 0
요인 정리 및 합성 분할을 사용하여 풀기
3 차 방정식을 푸는 가장 쉬운 방법은 약간의 추측과 합성 분할이라고하는 알고리즘 유형의 프로세스를 포함합니다. 그러나 시작은 기본적으로 3 차 방정식 솔루션의 시행 착오 방법과 동일합니다. 추측하여 뿌리 중 하나가 무엇인지 알아 내십시오. 첫 번째 계수가있는 방정식이 있다면
ㅏ, 1과 같으면 근 중 하나를 추측하기가 조금 더 쉽습니다. 왜냐하면 그들은 항상 위에서 다음으로 표현되는 상수항의 요소이기 때문입니다. 디.예를 들어 다음 방정식을 살펴 보겠습니다.
x ^ 3 − 5x ^ 2 − 2x + 24 = 0
다음에 대한 값 중 하나를 추측해야합니다. 엑스, 하지만 그때부터 ㅏ = 1이 경우 값이 무엇이든 계수는 24 여야합니다. 첫 번째 요소는 1이지만 다음과 같이 남습니다.
1 – 5 – 2 + 24 = 18
0이 아니고 −1은 다음을 떠납니다.
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
다시 0이 아닙니다. 다음, 엑스 = 2는 다음을 제공합니다.
8 – 20 – 4 + 24 = 8
또 다른 실패. 견딜 수 없는 엑스 = −2는 다음을 제공합니다.
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
이것은 엑스 = −2는 3 차 방정식의 근입니다. 이것은 시행 착오 방법의 장점과 단점을 보여줍니다. 생각했지만 시간이 많이 걸립니다 (특히 뿌리를 찾기 전에 더 높은 요인으로 이동해야하는 경우). 다행히도 하나의 근을 찾으면 나머지 방정식을 쉽게 풀 수 있습니다.
핵심은 요인 정리를 통합하는 것입니다. 이것은 엑스 = s는 솔루션이고 (엑스 – 에스)는 방정식에서 벗어날 수있는 요소입니다. 이 상황에서는 에스 = −2, 그래서 (엑스 + 2)는 우리가 떠날 수있는 요소입니다.
(x + 2) (x ^ 2 + ax + b) = 0
두 번째 괄호 그룹의 항은 2 차 방정식의 형태를 갖기 때문에 다음에 대한 적절한 값을 찾으면 ㅏ 과 비, 방정식을 풀 수 있습니다.
이것은 합성 분할을 사용하여 수행 할 수 있습니다. 먼저 표의 맨 윗줄에 원래 방정식의 계수를 나누는 선과 알려진 근을 오른쪽에 기록합니다.
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & \\ \ hline & & & & \ end {array}
여분의 행을 하나 남겨두고 그 아래에 수평선을 추가하십시오. 먼저 첫 번째 숫자 (이 경우 1)를 수평선 아래 행으로 가져갑니다.
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {array }
이제 방금 가져온 숫자에 알려진 근을 곱하십시오. 이 경우 1 × −2 = −2이며 다음과 같이 목록의 다음 숫자 아래에 기록됩니다.
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {정렬}
그런 다음 두 번째 열에 숫자를 추가하고 결과를 수평선 아래에 넣으십시오.
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & -7 & & & \ end {배열}
이제 수평선 아래의 새 숫자로 방금 수행 한 과정을 반복합니다. 루트, 다음 열의 빈 공간에 답을 넣은 다음 열을 추가하여 새 번호를 얻습니다. 맨 아래 줄. 이것은 떠난다 :
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & & \ end {배열}
그리고 마지막으로 프로세스를 진행합니다.
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & 0 & \ end {array}
마지막 답이 0이라는 사실은 유효한 근이 있다는 것을 의미하므로 이것이 0이 아니면 어딘가에서 실수를 한 것입니다.
이제 맨 아래 행은 두 번째 괄호 세트에있는 세 용어의 요소를 알려 주므로 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
(x ^ 2 − 7x + 12) = 0
그래서 :
(x + 2) (x ^ 2 − 7x + 12) = 0
이 단계는 솔루션의 가장 중요한 단계이며이 시점부터 여러 가지 방법으로 완료 할 수 있습니다.
3 차 다항식 인수 분해하기
요인을 제거한 후에는 분해를 사용하여 솔루션을 찾을 수 있습니다. 위의 단계에서 이것은 기본적으로 2 차 방정식을 인수 분해하는 것과 동일한 문제이며 경우에 따라 어려울 수 있습니다. 그러나 표현식의 경우 :
(x ^ 2 − 7x + 12)
괄호 안에 넣은 두 숫자는 두 번째 계수 (7)를 제공하기 위해 더하고 세 번째 (12)를 제공하기 위해 곱해야한다는 것을 기억한다면, 이 경우에 매우 쉽게 알 수 있습니다.
(x ^ 2 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)
원한다면 이것을 곱하여 확인할 수 있습니다. 분해를 바로 볼 수 없다고해서 낙담하지 마십시오. 약간의 연습이 필요합니다. 이렇게하면 원래 방정식이 다음과 같이 남습니다.
(x + 2) (x – 3) (x – 4) = 0
즉시 볼 수있는 솔루션은 엑스 = −2, 3 및 4 (모두 원래 상수 인 24의 인수). 이론적으로는 방정식의 원래 버전에서 시작하여 전체 분해를 볼 수도 있지만 이것은 훨씬 더 어렵습니다. 따라서 시행 착오에서 하나의 해결책을 찾고 위의 접근 방식을 사용하는 것이 좋습니다. 채권 차압 통고.
분해를 확인하는 데 어려움을 겪고있는 경우 2 차 방정식 공식을 사용할 수 있습니다.
x = {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac} \ above {1pt} 2a}
나머지 솔루션을 찾으려면.
큐빅 공식 사용
처리하기가 훨씬 더 크고 덜 간단하지만, 3 차 공식 형태의 간단한 3 차 방정식 솔버가 있습니다. 이것은 값을 입력한다는 점에서 이차 방정식 공식과 같습니다. ㅏ, 비, 씨 과 디 해결책을 구하기는하지만 훨씬 더 길어졌습니다.
다음과 같이 명시되어 있습니다.
x = (q + [q ^ 2 + (r−p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + (q − [q ^ 2 + (r−p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + p
어디
p = {−b \ above {1pt} 3a}
q = p ^ 3 + {bc−3ad \ above {1pt} 6a ^ 2}
과
r = {c \ above {1pt} 3a}
이 공식을 사용하는 것은 시간이 많이 걸리지 만 3 차 방정식 솔루션에 시행 착오 방법을 사용하지 않고 2 차 공식을 사용하지 않으려면 모든 과정을 거치면 작동합니다.