분수로 다항식을 인수 분해하는 가장 좋은 방법은 분수를 더 간단한 항으로 줄이는 것에서 시작됩니다. 다항식은 두 개 이상의 항, 보다 구체적으로 동일한 변수의 다른 표현을 가진 여러 항의 합이있는 대수 표현식을 나타냅니다. 다항식을 단순화하는 데 도움이되는 전략은 가장 큰 공약수를 인수 분해 한 다음 방정식을 가장 낮은 항으로 그룹화하는 것입니다. 분수로 다항식을 풀 때도 마찬가지입니다.
분수가 정의 된 다항식
분수가있는 다항식 구문을 보는 방법에는 세 가지가 있습니다. 첫 번째 해석은 계수에 대한 분수가있는 다항식을 다룹니다. 대수학에서 계수는 변수 앞에있는 숫자의 양 또는 상수로 정의됩니다. 즉, 7_a_에 대한 계수, 비 및 (1/3)씨 각각 7, 1 및 (1/3)입니다. 따라서 분수 계수가있는 다항식의 두 가지 예는 다음과 같습니다.
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {및} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
"분수가있는 다항식"의 두 번째 해석은 분수 또는 비율에 존재하는 다항식을 나타냅니다. 분자와 분모가있는 형태, 여기서 분자 다항식은 분모로 나뉩니다. 다항식. 예를 들어, 이 두 번째 해석은 다음과 같이 설명됩니다.
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
한편 세 번째 해석은 부분 분수 확장이라고도하는 부분 분수 분해와 관련이 있습니다. 때로는 다항식 분수가 복잡해서 "분해"되거나 "분할"될 때 더 간단한 용어는 다항식의 합, 차이, 곱 또는 몫으로 표시됩니다. 분수. 설명하기 위해 다음의 복소 다항식 분수 :
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x-2}
부분 분수 분해를 통해 평가되며, 우연히 가장 간단한 형식으로 다항식 인수를 포함합니다.
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
팩토링의 기본 – 분배 속성 및 FOIL 방법
요인은 함께 곱했을 때 세 번째 숫자와 같은 두 숫자를 나타냅니다. 대수 방정식에서 인수 분해는 주어진 다항식에 도달하기 위해 함께 곱해진 두 수량을 결정합니다. 분배 속성은 다항식을 곱할 때 많이 따릅니다. 분배 속성은 본질적으로 제품을 더하기 전에 각 숫자를 개별적으로 곱하여 합계를 곱할 수 있습니다. 예를 들어 다음 예제에서 분배 속성이 어떻게 적용되는지 관찰하십시오.
7 (10x + 5) \ text {} 70x + 35의 이항에 도달합니다.
그러나 두 이항식을 함께 곱하면 FOIL 방법을 통해 분산 속성의 확장 버전이 사용됩니다. FOIL은 곱해지는 First, Outer, Inner 및 Last 용어의 약어를 나타냅니다. 따라서 팩토링 다항식은 FOIL 방법을 거꾸로 수행하는 것을 수반합니다. 분수 계수를 포함하는 다항식을 사용하여 앞서 언급 한 두 가지 예를 살펴보십시오. 각각에 대해 FOIL 방법을 거꾸로 수행하면 다음과 같은 요인이 발생합니다.
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
첫 번째 다항식 및 인수
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
두 번째 다항식에 대해.
예:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
예:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} \ bigg)
다항식 분수를 분해 할 때 취해야 할 단계
위에서 다항식 분수는 분자의 다항식을 분모의 다항식으로 나눈 값을 포함합니다. 따라서 다항식 분수를 평가하려면 먼저 분자 다항식을 인수 분해 한 다음 분모 다항식을 인수 분해해야합니다. 분자와 분모 사이의 최대 공약수 (GCF)를 찾는 데 도움이됩니다. 분자와 분모 모두의 GCF를 찾으면 상쇄되어 궁극적으로 전체 방정식을 단순화 된 항으로 줄입니다. 위의 원래 다항식 분수 예제를 고려하십시오.
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
GCF를 찾기 위해 분자 및 분모 다항식을 인수 분해하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
GCF는 (엑스 + 2).
분자와 분모의 GCF는 서로를 상쇄하여 (엑스 + 5) ÷ (엑스 + 9).
예:
\ begin {정렬} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ cancel {(x + 2)} (x + 5)} {\ cancel {( x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ end {aligned}
부분 분수 분해를 통한 방정식 평가
인수 분해를 포함하는 부분 분수 분해는 복잡한 다항식 분수 방정식을 더 간단한 형식으로 다시 작성하는 방법입니다. 위의 예를 다시 방문
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x-2}
분모 단순화
분모를 단순화하면 다음을 얻을 수 있습니다.
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x-2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x-1)}
분자 재 배열
다음으로, 분모에 GCF가 나타나도록 분자를 재정렬하여 다음을 얻습니다.
\ begin {정렬} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x-1)} & = \ frac {3x + 5x-3 + 10} {(x + 2) (x-1)} \ \ & = \ frac {3x-3} {(x + 2) (x-1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x-1)} \\ \ end {aligned}
왼쪽 추가의 경우 GCF는 (엑스 -1), 오른쪽 추가의 경우 GCF는 (엑스 + 2), 다음과 같이 분자와 분모에서 취소됩니다.
\ frac {3x-3} {(x + 2) (x-1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x-1)} = \ frac {3 \ cancel {(x- 1)}} {(x + 2) \ cancel {(x-1)}} + \ frac {5 \ cancel {(x + 2)}} {\ cancel {(x + 2)} (x-1) }
따라서 GCF가 취소 될 때 최종 단순화 답변은 다음과 같습니다.
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x-1}
부분 분수 분해의 솔루션으로.