회전 운동 에너지물체의 회전 또는 원형 운동으로 인한 운동 에너지를 설명합니다. 기억하세요선형 운동 에너지질량의미디엄속도로 이동V1 / 2mv로 주어집니다.2. 이것은 직선 경로로 움직이는 모든 물체에 대한 간단한 계산입니다. 이는 오브젝트의 질량 중심에 적용되어 오브젝트를 점 질량으로 근사 할 수 있습니다.
이제 더 복잡한 움직임을 겪고있는 확장 된 물체의 운동 에너지를 설명하려면 계산이 더 까다로워집니다.
우리는 확장 된 물체를 작은 조각으로 나눠서 연속적인 근사치를 만들 수 있습니다. 점 질량, 그런 다음 각 점 질량에 대한 선형 운동 에너지를 개별적으로 계산하고 모두 더하여 목적. 물체를 작게 나눌수록 근사치가 더 좋아집니다. 조각이 극소화되는 한계에서 이것은 미적분으로 할 수 있습니다.
그러나 우리는 운이 좋다! 회전 운동에 관해서는 단순화가 있습니다. 회전하는 물체의 경우 관성 모멘트로 회전축에 대한 질량 분포를 설명하면나는, 우리는이 기사의 뒷부분에서 논의되는 간단한 회전 운동 에너지 방정식을 사용할 수 있습니다.
관성 모멘트
관성 모멘트개체가 특정 축에 대한 회전 동작을 변경하도록하는 것이 얼마나 어려운지 측정합니다. 회전하는 물체의 관성 모멘트는 물체의 질량뿐만 아니라 그 질량이 회전축을 중심으로 분산되는 방식에 따라 달라집니다. 질량이 분포하는 축에서 멀어 질수록 회전 운동을 변경하기가 더 어려워 져 관성 모멘트가 커집니다.
관성 모멘트의 SI 단위는 kgm입니다.2 (이것은 질량과 회전축으로부터의 거리에 따라 달라진다는 우리의 개념과 일치합니다). 다른 물체에 대한 관성 모멘트는 테이블이나 미적분에서 찾을 수 있습니다.
팁
모든 물체의 관성 모멘트는 미적분과 점 질량의 관성 모멘트 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.
회전 운동 에너지 방정식
회전 운동 에너지의 공식은 다음과 같습니다.
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
어디나는물체의 관성 모멘트이고ω객체의 각속도 (rad / s)입니다. 회전 운동 에너지의 SI 단위는 줄 (J)입니다.
회전 운동 에너지 공식의 형태는 병진 운동 에너지 방정식과 유사합니다. 관성 모멘트는 질량의 역할을하고 각속도는 선형 속도를 대체합니다. 회전 운동 에너지 방정식은 점 질량에 대해 선형 방정식과 동일한 결과를 제공합니다.
포인트 질량을 상상한다면미디엄반경의 원으로 이동아르 자형속도로V, 각속도는 ω = v / r이고 관성 모멘트는 mr입니다.2. 두 운동 에너지 방정식 모두 예상대로 동일한 결과를 제공합니다.
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ 취소 {r ^ 2} v ^ 2} {\ 취소 {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
물체가 회전하고 질량 중심이 직선 경로를 따라 이동하는 경우 (예: 롤링 타이어에서 발생)총 운동 에너지회전 운동 에너지와 병진 운동 에너지의 합입니다.
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
회전 운동 에너지 공식을 사용한 예
회전 운동 에너지 공식은 많은 응용 분야가 있습니다. 회전하는 물체의 단순 운동 에너지를 계산하고 운동 에너지를 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 롤링 오브젝트 (회전 및 병진 운동을 모두 겪는 오브젝트) 및 기타 알려지지 않은. 다음 세 가지 예를 고려하십시오.
예 1 :지구는 대략 24 시간에 한 번씩 축을 중심으로 회전합니다. 밀도가 균일하다고 가정하면 회전 운동 에너지는 얼마입니까? (지구의 반경은 6.37 × 106 m이고 질량은 5.97 × 10입니다.24 킬로그램.)
회전 운동 에너지를 찾으려면 먼저 관성 모멘트를 찾아야합니다. 지구를 단단한 구체로 근사하면 다음을 얻을 수 있습니다.
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6.37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2
각속도는 2π 라디안 / 일입니다. 이것을 rad / s로 변환하면 다음이 제공됩니다.
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {초}} = 7.27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
따라서 지구의 회전 운동 에너지는 다음과 같습니다.
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7.27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2.56 \ times 10 ^ {29} \ text {J}
재미있는 사실: 이것은 태양이 분당 방출하는 총 에너지의 10 배 이상입니다!
예 2 :무게 0.75kg 및 반경 0.1m의 균일 한 실린더가 4m / s의 일정한 속도로 바닥을 굴러갑니다. 그 운동 에너지는 무엇입니까?
총 운동 에너지는 다음과 같이 제공됩니다.
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
이 경우 I = 1/2 mr2 솔리드 실린더의 관성 모멘트ωω = v / r을 통해 선형 속도와 관련이 있습니다..
총 운동 에너지에 대한 표현을 단순화하고 값을 연결하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0.75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2.25 \ text {J}
반경을 사용할 필요조차 없었습니다! 회전 속도와 선형 속도 사이의 직접적인 관계 때문에 취소되었습니다.
예 3 :자전거를 탄 학생이 휴식에서 언덕 아래로 내려갑니다. 언덕의 수직 높이가 30m 인 경우 학생이 언덕 아래로 얼마나 빨리 가나 요? 자전거의 무게는 8kg, 라이더의 무게는 50kg, 각 바퀴의 무게는 2.2kg (자전거 무게에 포함)이며 각 바퀴의 직경은 0.7m라고 가정합니다. 바퀴를 후프와 비슷하게하고 마찰이 미미하다고 가정합니다.
여기서 우리는 기계적 에너지 절약을 사용하여 최종 속도를 찾을 수 있습니다. 언덕 꼭대기의 위치 에너지는 바닥에서 운동 에너지로 바뀝니다. 그 운동 에너지는 전체 사람 + 자전거 시스템의 병진 운동 에너지와 타이어의 회전 운동 에너지의 합입니다.
시스템의 총 에너지 :
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9.8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17,052 \ 텍스트 {J}
언덕 바닥의 운동 에너지 측면에서 총 에너지의 공식은 다음과 같습니다.
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {tires} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ times m_ {tire} \ times r_ {tire} ^ 2) (v / r_ {tire}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {tire} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {타이어} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
해결V제공합니다 :
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
마지막으로 숫자를 연결하면 답을 얻을 수 있습니다.
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23.4 \ text {m / s}
