슈뢰딩거 방정식은 양자 역학에서 가장 기본적인 방정식이며, 그것을 사용하는 방법과 그것이 의미하는 바를 배우는 것은 모든 신진 물리학 자에게 필수적입니다. 이 방정식은 양자 물리학에 기여한 공로로 1933 년 Paul Dirac과 함께 노벨상을 수상한 Erwin Schrödinger의 이름을 따서 명명되었습니다.
슈뢰딩거의 방정식은 양자 기계 시스템의 파동 함수를 설명합니다. 입자의 위치 및 기타 관찰 가능한 양에 대한 확률 적 정보 기세. 방정식에 대해 배운 후 양자 역학에 대해 깨닫게 될 가장 중요한 것은 양자 영역의 법칙이매우 다르다고전 역학에서.
파동 기능
파동 함수는 모든 입자가 파동 함수로 표현되기 때문에 양자 역학에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 일반적으로 그리스 문자 psi (Ψ), 위치와 시간에 따라 다릅니다. 입자의 파동 함수에 대한 표현이 있으면 알 수있는 모든 것을 알려줍니다. 연산자를 적용하여 관찰 가능한 양에 대한 다른 값을 얻을 수 있습니다. 그것.
파동 함수 모듈러스의 제곱은 특정 위치에서 입자를 찾을 확률을 알려줍니다.엑스주어진 시간에티. 이는 함수가 "정규화"된 경우에만 해당됩니다. 즉, 가능한 모든 위치에 대한 제곱 모듈러스의 합이 1이어야합니다. 즉, 입자가어떤위치하는어딘가에.
파동 함수는 확률 적 정보 만 제공하므로 한 번의 관찰 결과를 예측할 수 없습니다.할 수있다많은 측정에서 평균을 결정합니다.
웨이브 함수를 사용하여"기대치"시간에 입자의 위치티, 기대 값은 평균값입니다.엑스측정을 여러 번 반복하면 얻을 수 있습니다.
다시 말하지만 이것은 특정 측정에 대해 아무것도 알려주지 않습니다. 사실 파동 함수는 구체적이고 신뢰할 수있는 어떤 것보다 단일 입자에 대한 확률 분포에 가깝습니다. 적절한 연산자를 사용하여 운동량, 에너지 및 기타 관찰 가능한 수량에 대한 기대 값을 얻을 수도 있습니다.
슈뢰딩거 방정식
Schrodinger 방정식은 a의 진화를 설명하는 선형 편미분 방정식입니다. 뉴턴의 법칙 (특히 제 2 법칙)과 유사한 방식으로 양자 상태 역학.
그러나 슈뢰딩거 방정식은 해당 입자의 파동 함수에 대한 파동 방정식이므로 방정식을 사용하여 미래 상태를 예측합니다. 시스템의 "파동 역학"이라고도합니다. 방정식 자체는 에너지 보존에서 파생되며 해밀턴.
기록 할 수있는 가장 간단한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같습니다.
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
여기서 ℏ은 감소 된 플랑크 상수 (즉, 상수를 2π로 나눈 값)이고H양자 시스템의 위치 에너지와 운동 에너지 (총 에너지)의 합에 해당하는 해밀턴 연산자입니다. Hamiltonian은 그 자체로 상당히 긴 표현이므로 전체 방정식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
− \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
때때로 (명시 적으로 3 차원 문제의 경우) 1 차 편미분은 라플라시안 연산자 ∇로 작성됩니다.2. 본질적으로 Hamiltonian은 파동 함수에 작용하여 공간과 시간의 진화를 설명합니다. 하지만 시간과 무관 한 방정식의 경우 (즉, 시스템이티), Hamiltonian은 시스템의 에너지를 제공합니다.
슈뢰딩거 방정식을 푸는 것은양자 역학 함수특정 상황에 대해 만족합니다.
시간 종속 슈뢰딩거 방정식
시간 의존적 슈뢰딩거 방정식은 이전 섹션의 버전이며 시간과 공간에서 입자에 대한 파동 함수의 진화를 설명합니다. 고려할 간단한 경우는 자유 입자입니다.V= 0이고 해는 평면파의 형태를 취합니다. 이러한 솔루션의 형식은 다음과 같습니다.
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
어디케이 = 2π / λ, λ파장이고ω = 이자형 / ℏ.
다른 상황에서 원래 방정식의 위치 에너지 부분은 파동 함수의 공간적 부분이며 종종 시간 진화 함수와 시간 독립적 방정식.
시간 독립적 인 슈뢰딩거 방정식
정재파를 형성하는 정적 인 상황 또는 솔루션 (예: 전위 우물, "상자 속의 입자"스타일 솔루션)의 경우 파동 함수를 시간 및 공간 부분으로 분리 할 수 있습니다.
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
이 과정을 완전히 거치면 시간 부분이 취소되어 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식의 형태가 남습니다.뿐입자의 위치에 따라 다릅니다. 시간 독립적 파동 함수는 다음과 같이 제공됩니다.
H Ψ (x) = E Ψ (x)
여기이자형양자 역학 시스템의 에너지이고H해밀턴 연산자입니다. 이 방정식의 형식은 파동 함수와 함께 고유 값 방정식의 정확한 형태를 취합니다. 고유 함수이고 에너지는 Hamiltonian 연산자가 적용될 때 고유 값입니다. 그것에. Hamiltonian을보다 명시적인 형식으로 확장하면 다음과 같이 완전하게 작성할 수 있습니다.
− \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
방정식의 시간 부분은 함수에 포함됩니다.
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
시간 독립적 인 슈뢰딩거 방정식에 대한 솔루션
시간과 무관 한 슈뢰딩거 방정식은 방정식의 전체 형태를 줄여주기 때문에 상당히 간단한 해법에 적합합니다. 이것의 완벽한 예는 입자가 한 차원에서 무한 제곱 전위 우물에 있다고 가정하는 솔루션의 "상자 속의 입자"그룹이므로 전위가 0입니다 (즉,V= 0) 전체에 걸쳐 입자가 우물 외부에서 발견 될 가능성이 없습니다.
또한 유한 정사각형 우물이 있습니다. 우물의 "벽"에서 전위가 무한하지 않고 입자의 에너지보다 높더라도약간양자 터널링으로 인해 외부에서 입자를 찾을 수 있습니다. 무한 잠재력 우물의 경우 솔루션은 다음과 같은 형식을 취합니다.
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
어디엘우물의 길이입니다.
델타 함수 전위는 너비를 제외하고 전위 우물과 매우 유사한 개념입니다.엘0이되고 (즉, 단일 지점 주변에서 극소값이 됨) 우물의 깊이가 무한대가되는 반면 두 개의 곱 (유0)는 일정하게 유지됩니다. 이 매우 이상적인 상황에서는 다음과 같이 바운드 상태가 하나뿐입니다.
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {-\ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
에너지로 :
E =-\ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
슈뢰딩거 방정식에 대한 수소 원자 솔루션
마지막으로, 수소 원자 솔루션은 실제 물리학에 분명하게 적용되지만 실제로는 상황이 수소 원자핵 주위의 전자는 전위 우물과 매우 유사하다고 볼 수 있습니다. 문제. 그러나 상황은 3 차원 적이며 구형 좌표로 가장 잘 설명됩니다.아르 자형, θ, ϕ. 이 경우 솔루션은 다음과 같이 제공됩니다.
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
어디피르장 드르 다항식,아르 자형특정 방사형 솔루션이며엔파동 함수가 정규화되어야한다는 사실을 사용하여 수정하는 상수입니다. 방정식은 다음과 같은 에너지 수준을 산출합니다.
E =-\ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
어디지여기에 원자 번호가 있습니다.지= 수소 원자의 경우 1),이자형이 경우 전자의 전하 (상수보다는이자형 = 2.7182818...), ϵ0 자유 공간의 유전율,μ수소 원자에서 양성자와 전자의 질량에 기초한 감소 된 질량입니다. 이 표현은 수소와 같은 원자에 적합합니다. 즉, 하나의 전자가 중심핵을 공전하는 상황 (이온 포함)을 의미합니다.