전자기학의 미스터리를 해결하는 것은 현재까지 물리학의 가장 위대한 업적 중 하나였으며 배운 교훈은 Maxwell의 방정식에 완전히 요약되어 있습니다.
James Clerk Maxwell은이 4 가지 우아한 방정식에 자신의 이름을 부여했지만, 이것은 많은 물리학 자들이 수십 년 동안 작업 한 결과입니다. Michael Faraday, Andre-Marie Ampere 및 Carl Friedrich Gauss를 포함하여 네 가지 방정식 중 세 가지에 이름을 부여합니다. 기타. Maxwell 자신은 네 가지 방정식 중 하나에 만 용어를 추가했지만 주제에 대해 수행 된 최고의 작업을 수집하여 여전히 사용하는 방식으로 제시합니다. 오늘 물리학 자들.
수년 동안 물리학 자들은 전기와 자기가 별개의 힘과 별개의 현상이라고 믿었습니다. 그러나 패러데이와 같은 사람들의 실험적인 작업을 통해 그들이 실제로 두 가지 측면이라는 것이 점점 분명해졌습니다. 맥스웰의 방정식은 19 세기와 마찬가지로 오늘날에도 여전히 유효한이 통합 그림을 제시합니다. 세기. 더 높은 수준에서 물리학을 공부하려면 Maxwell의 방정식과 사용 방법을 반드시 알아야합니다.
Maxwell의 방정식
Maxwell의 방정식은 미분 형식과 적분 형식 모두 다음과 같습니다. (여기서 미분 방정식에 대한 지식은 도움이되지만 개념적 이해는 그것 없이도 가능합니다.)
전기에 대한 가우스의 법칙
차동 형식 :
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
완전한 형태 :
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
단극 법칙 없음 / 자기에 대한 가우스 법칙
차동 형식 :
\ bm {∇ ∙ B} = 0
완전한 형태 :
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
패러데이의 귀납 법칙
차동 형식 :
\ bm {∇ × E} = − \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
완전한 형태 :
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = − \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
암페어-맥스웰 법칙 / 암페어 법칙
차동 형식 :
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
완전한 형태 :
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Maxwell 방정식에 사용되는 기호
Maxwell의 방정식은 엄청나게 많은 기호를 사용하므로 적용하는 방법을 배우려면 이러한 기호가 무엇을 의미하는지 이해하는 것이 중요합니다. 사용 된 기호의 의미에 대한 요약은 다음과 같습니다.
비= 자기장
이자형= 전기장
ρ= 전하 밀도
ε0= 자유 공간의 유전율 = 8.854 × 10-12 미디엄-3 킬로그램-1 에스4 ㅏ2
큐= 총 전기 요금 (양전하와 음전하의 순 합계)
𝜙비 = 자속
제이= 전류 밀도
나는= 전류
씨= 빛의 속도 = 2.998 × 108 m / s
μ0 = 자유 공간의 투자율 = 4π × 10−7 해당 사항 없음2
또한 ∇이 두 수량 사이의 점인 del 연산자 (엑스 ∙ 와이)는 스칼라 곱을 보여 주며, 두 수량 사이의 굵은 곱셈 기호는 벡터 곱 (엑스 × 와이), 점이있는 del 연산자를 "divergence"라고합니다 (예: ∇ ∙ 엑스= 발산엑스= div엑스) 스칼라 곱이있는 del 연산자를 curl (예: ∇× 와이= 컬와이= 컬와이). 마지막으로ㅏd에서ㅏ계산하려는 닫힌 표면의 표면적을 의미합니다 (때로는 d에스), 그리고에스d에서에스계산하려는 열린 표면 경계의 아주 작은 부분입니다 (때로는 d엘, 극히 작은 선 구성 요소 참조).
방정식의 유도
Maxwell 방정식의 첫 번째 방정식은 Gauss의 법칙이며 닫힌 표면은 형상 내부에 포함 된 총 전하를 자유의 유전율로 나눈 값과 같습니다. 우주. 이 법칙은 쿨롱의 법칙을 전기장과 테스트 전하에 미치는 영향으로 표현하는 중요한 단계를 취한 후 파생 될 수 있습니다.
맥스웰 방정식의 두 번째는 본질적으로 "자기 모노폴이 없다"는 진술과 동일합니다. 그것은 말한다 자기장은 항상 a의 결과이기 때문에 닫힌 표면을 통과하는 순 자속은 항상 0입니다. 쌍극자. 이 법칙은 전류 요소에 의해 생성되는 자기장을 설명하는 Biot-Savart 법칙에서 파생 될 수 있습니다.
세 번째 방정식 인 패러데이의 유도 법칙은 변화하는 자기장이 와이어 또는 도체의 루프에서 전압을 생성하는 방법을 설명합니다. 원래 실험에서 파생되었습니다. 그러나 변화하는 자속이 기전력 (EMF 또는 전압)을 유도하고 이에 따라 전류가 와이어 루프와 EMF가 회로 주변의 전기장의 선 적분으로 정의된다는 사실은 법칙을 쉽게 넣을 수 있습니다. 함께.
네 번째이자 마지막 방정식 인 Ampere의 법칙 (또는 Ampere-Maxwell 법칙)은 기여) 이동 전하 또는 변화하는 전기에 의해 자기장이 어떻게 생성되는지 설명합니다. 들. 법칙은 실험의 결과입니다 (모든 Maxwell의 방정식과 마찬가지로 전통적인 의미에서 실제로 "유도"되지 않았습니다).스톡스 정리기본 결과를 오늘날 사용되는 형태로 가져 오는 중요한 단계입니다.
Maxwell 방정식의 예: 가우스 법칙
솔직히 말해서, 특히 벡터 미적분에 대해 정확히 알지 못하는 경우 Maxwell의 방정식은 모두 비교적 간결함에도 불구하고 상당히 어렵게 보입니다. 이를 실제로 이해하는 가장 좋은 방법은 실제로 사용하는 몇 가지 예를 살펴 보는 것이며 Gauss의 법칙이 시작하기에 가장 좋은 곳입니다. Gauss의 법칙은 본질적으로 Coulomb의 법칙의 역할을하는보다 근본적인 방정식입니다. 점에 의해 생성되는 전기장을 고려하면 쿨롱의 법칙을 쉽게 유도 할 수 있습니다. 요금.
요금 요청큐, Gauss의 법칙을 적용하는 핵심 포인트는 전기 플럭스를 조사하기 위해 올바른 "표면"을 선택하는 것입니다. 이 경우 표면적이있는 구가 잘 작동합니다.ㅏ = 4π아르 자형2, 점 전하에 구의 중심을 맞출 수 있기 때문입니다. 이렇게하면 표면 전체에 다양한 필드를 통합 할 필요가 없기 때문에 이와 같은 문제를 해결하는 데 큰 이점이 있습니다. 필드는 점 전하를 중심으로 대칭이되므로 구 표면에서 일정합니다. 따라서 적분 형식 :
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
다음과 같이 표현할 수 있습니다.
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
참고이자형점 전하의 장이 소스에서 모든 방향으로 균등하게 퍼지기 때문에 전기장은 단순한 크기로 대체되었습니다. 이제 구의 표면적으로 나누면 다음이 제공됩니다.
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
힘은 전기장과 관련이 있기 때문에이자형 = 에프/큐, 어디큐테스트 요금입니다.에프 = qE, 등 :
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
두 요금을 구분하기 위해 아래 첨자가 추가 된 곳. 이것은 표준 형식으로 명시된 쿨롱의 법칙이며 가우스 법칙의 단순한 결과로 나타납니다.
Maxwell 방정식의 예: 패러데이의 법칙
패러데이의 법칙을 사용하면 변화하는 자기장으로 인해 와이어 루프의 기전력을 계산할 수 있습니다. 간단한 예는 반지름이있는 와이어 루프입니다.아르 자형= 20cm, 크기가 증가하는 자기장에서비나는 = 1 T ~비에프 = ∆의 공간에서 10 T티= 5 초 –이 경우 유도 된 EMF는 무엇입니까? 법칙의 통합 형태는 유동을 포함합니다.
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = − \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
다음과 같이 정의됩니다.
ϕ = BA \ cos (θ)
여기서 문제의 핵심 부분은 플럭스 변화율을 찾는 것입니다. 그러나 문제는 매우 간단하기 때문에 편미분을 각 수량의 간단한 "변화"로 대체 할 수 있습니다. 그리고 적분은 실제로 기전력을 의미하므로 패러데이의 귀납 법칙을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
\ text {EMF} = − \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
와이어 루프의 법선이 자기장과 정렬되어 있다고 가정하면θ= 0 ° 그래서 cos (θ) = 1. 이것은 떠난다 :
\ text {EMF} = − \ frac {∆BA} {∆t}
이 문제는 다음과 같이 초기 및 최종 자기장과 루프 영역 간의 차이를 찾아서 해결할 수 있습니다.
\ begin {aligned} \ text {EMF} & = − \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = − \ frac {(B_f-B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = − \ frac {(10 \ text {T}-1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = − 0.23 \ text {V } \ end {정렬}
이것은 작은 전압 일 뿐이지 만 Faraday의 법칙은 상관없이 동일한 방식으로 적용됩니다.
Maxwell 방정식의 예: Ampere-Maxwell 법칙
Ampere-Maxwell 법칙은 정기적으로 적용해야하는 Maxwell 방정식의 마지막 법칙입니다. 이 방정식은 변화하는 전기장이 없을 때 암페어의 법칙으로 되돌아가므로 이것이 고려하기 가장 쉬운 예입니다. 전류를 전달하는 직선 와이어에서 발생하는 자기장에 대한 방정식을 유도하는 데 사용할 수 있습니다.나는,이 기본 예는 방정식이 어떻게 사용되는지 보여주기에 충분합니다. 전체 법은 다음과 같습니다.
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
그러나 변화하는 전기장이 없으면 다음과 같이 감소합니다.
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
이제 가우스의 법칙과 마찬가지로 와이어의 고리를 중심으로하는 표면에 원을 선택하면 직관은 결과적인 자기장이 대칭이 될 것이므로 루프의 둘레와 자기장 강도의 간단한 곱으로 적분을 대체 할 수 있습니다. 퇴거:
B × 2πr = μ_0 I
2π로 나누기아르 자형제공합니다 :
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
먼 거리의 자기장에 대해 허용되는 표현은 무엇입니까?아르 자형전류를 전달하는 직선의 결과입니다.
전자파
Maxwell이 일련의 방정식을 조합했을 때 그는 다양한 방정식을 설명하는 데 도움이되는 솔루션을 찾기 시작했습니다. 현실 세계의 현상과 그것이 빛에 준 통찰력은 그가 가장 중요한 결과 중 하나입니다. 획득.
변화하는 전기장은 암페어 법칙에 따라 자기장을 생성하고 변화하는 자기장은 전기장 (패러데이 법칙에 따라), Maxwell은 자기 전파 전자기파가 가능한. 그는 그의 방정식을 사용하여 그러한 파동을 설명 할 파동 방정식을 찾고 그것이 빛의 속도로 이동할 것이라고 결정했습니다. 이것은 일종의“유레카”순간이었습니다. 그는 빛이 전자기 복사의 한 형태라는 것을 깨달았고, 그가 상상 한 필드처럼 작동합니다!
전자기파는 서로 직각으로 정렬 된 앞뒤로 진동하는 전기장 파와 자기장 파로 구성됩니다. 파동의 전기 부분의 진동은 자기장을 생성하고, 이 부분의 진동은 공간을 통과하면서 다시 전기장을 생성합니다.
다른 파동과 마찬가지로 전자기파는 주파수와 파장을 가지며 이들의 곱은 항상 다음과 같습니다.씨, 빛의 속도. 전자기파는 우리 주변에 있으며 가시 광선뿐만 아니라 다른 파장은 일반적으로 전파, 마이크로파, 적외선, 자외선, X- 선 및 감마선이라고합니다. 이러한 모든 형태의 전자기 복사는 Maxwell의 방정식에서 설명하는 것과 동일한 기본 형태를 갖지만 그 에너지는 주파수에 따라 다릅니다 (즉, 더 높은 주파수는 더 높은 에너지를 의미 함).
그래서 물리학 자에게“빛이 있으라!”라고 말한 사람은 맥스웰이었습니다.