아이스 스케이터가 팔을 잡아 당기고 회전하는 속도가 빨라지 든, 회전 속도를 제어하는 고양이 든 추락 중에 발에 착지하도록하기 위해 관성 모멘트의 개념은 회전 물리학에 매우 중요합니다. 운동.
회전 관성이라고도하는 관성 모멘트는 질량의 회전 아날로그입니다. 뉴턴의 운동 법칙 중 두 번째로, 물체가 각 가속도에 저항하는 경향을 설명합니다.
개념은 처음에는 너무 흥미로워 보이지 않을 수도 있지만 각도 보존 법칙과 결합하여 많은 매혹적인 물리적 현상을 설명하고 광범위한 움직임을 예측하는 데 사용할 수 있습니다. 상황.
관성 모멘트의 정의
물체의 관성 모멘트는 회전축 주위의 질량 분포를 설명하는 각 가속도에 대한 저항을 나타냅니다.
회전 시작, 중지 또는 이미 회전하는 개체의 속도 변경을 의미하는지 여부에 관계없이 개체의 회전 속도를 변경하는 것이 얼마나 어려운지를 본질적으로 수량화합니다.
때때로 회전 관성이라고 불리며, 뉴턴의 2 번째 법칙에서 질량의 유사체로 생각하는 것이 유용합니다.에프그물 = 엄마. 여기에서 물체의 질량은 종종 관성 질량이라고하며 (선형) 운동에 대한 물체의 저항을 나타냅니다. 회전 관성은 회전 운동에 대해 이와 같이 작동하며 수학적 정의에는 항상 질량이 포함됩니다.
회전 운동에 대한 두 번째 법칙에 해당하는 표현은 다음과 같습니다.토크 (τ, 힘의 회전 아날로그) 각 가속도에α관성 모멘트나는:
\ tau = I \ alpha
동일한 물체는 여러 관성 모멘트를 가질 수 있지만 정의의 대부분은 질량 분포에 관한 것이지만 회전축의 위치도 설명하기 때문입니다.
예를 들어, 중심을 중심으로 회전하는 막대의 관성 모멘트는나는 = ML2/ 12 (여기서미디엄질량이고엘막대의 길이), 한쪽 끝을 중심으로 회전하는 동일한 막대는 다음과 같은 관성 모멘트를가집니다.나는 = ML2/3.
관성 모멘트에 대한 방정식
따라서 몸의 관성 모멘트는 질량에 따라 달라집니다미디엄, 반경아르 자형그리고 그것의 회전축.
일부 경우에,아르 자형라고디, 회전축으로부터의 거리 및 다른 경우 (이전 섹션의 막대에서와 같이) 길이로 대체됩니다.엘. 상징물나는관성 모멘트에 사용되며 단위는 kg m입니다.2.
지금까지 배운 것을 바탕으로 예상 할 수 있듯이 관성 모멘트에 대한 다양한 방정식이 있으며 각각은 특정 모양과 특정 회전 축을 나타냅니다. 모든 관성의 순간에서씨2 모양이 다르면이 항 앞에 다른 분수가 있고 어떤 경우에는 여러 항이 합쳐질 수 있습니다.
그만큼씨2 성분은 거리에서 점 질량에 대한 관성 모멘트입니다.아르 자형특정 강체에 대한 방정식은 점 질량의 합으로 구성되거나 물체에 무한한 수의 작은 점 질량을 통합하여 구성됩니다.
어떤 경우에는 점 질량의 간단한 산술 합계 또는 다음과 같은 방법으로 물체의 관성 모멘트를 유도하는 것이 유용 할 수 있습니다. 통합, 실제로는 파생 할 필요없이 간단히 사용할 수있는 일반적인 모양과 회전 축에 대한 많은 결과가 있습니다. 먼저:
솔리드 실린더 (대칭 축) :
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
솔리드 원통 (중심 지름 축 또는 원통 중간에있는 원형 횡단면의 지름) :
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
솔리드 구 (중심 축) :
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
얇은 구형 쉘 (중앙 축) :
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
후프 (대칭 축, 즉 중앙을 통해 수직) :
나는 = MR ^ 2
후프 (직경 축, 즉 후프에 의해 형성된 원의 직경을 가로 지르는 축) :
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
로드 (중심 축, 로드 길이에 수직) :
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
로드 (끝을 기준으로 회전) :
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
회전 관성 및 회전 축
각 회전축에 대해 서로 다른 방정식이있는 이유를 이해하는 것은 관성 모멘트의 개념을 파악하기위한 핵심 단계입니다.
연필을 생각해보세요. 연필을 가운데, 끝으로 돌리거나 중심 축을 중심으로 비틀어 회전 할 수 있습니다. 물체의 회전 관성은 회전축을 중심으로 한 질량 분포에 따라 달라 지므로 이러한 상황은 각각 다르며이를 설명하기 위해 별도의 방정식이 필요합니다.
이 동일한 인수를 최대 30 피트 깃대까지 확장하면 관성 모멘트의 개념을 본능적으로 이해할 수 있습니다.
끝에서 끝까지 회전하는 것은 매우 어려울 것입니다.-만약 당신이 그것을 관리 할 수 있다면-반면에 중심 축을 중심으로 극을 돌리는 것은 훨씬 쉬울 것입니다. 이는 토크가 회전축으로부터의 거리와 30 피트 거리에 크게 의존하기 때문입니다. 깃대 예, 끝에서 끝까지 회전하는 것은 축에서 15 피트 떨어진 각 극단을 포함합니다. 회전.
그러나 중심 축을 중심으로 돌리면 모든 것이 축에 매우 가깝습니다. 상황은 무거운 물체를 팔 길이로 들고 다니는 것과 비슷합니다. 몸에 가깝게 잡거나 끝에서 레버를 조작하거나 지지점에 가깝습니다.
이것이 회전축에 따라 동일한 물체에 대한 관성 모멘트를 설명하기 위해 다른 방정식이 필요한 이유입니다. 선택한 축은 몸체의 질량이 동일하게 유지 되더라도 몸체의 일부가 회전축에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지에 영향을줍니다.
관성 모멘트에 대한 방정식 사용
강체의 관성 모멘트를 계산하는 열쇠는 적절한 방정식을 사용하고 적용하는 방법을 배우는 것입니다.
이전 섹션의 연필이 길이를 따라 중앙 지점을 중심으로 끝까지 회전하는 것을 고려하십시오. 그것은 아니지만완전한막대 (예를 들어 뾰족한 끝이이 모양을 깨뜨림)는 물체에 대한 관성 유도의 전체 모멘트를 거치지 않아도되도록 모델링 할 수 있습니다.
따라서 물체를 막대로 모델링하면 다음 방정식을 사용하여 연필의 총 질량 및 길이와 결합 된 관성 모멘트를 찾습니다.
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
더 큰 문제는 합성물에 대한 관성 모멘트를 찾는 것입니다.
예를 들어, 막대로 함께 연결된 두 개의 볼을 고려하십시오 (문제를 단순화하기 위해 질량이없는 것으로 취급합니다). 볼 1은 2kg이고 회전축에서 2m 떨어져 있으며, 볼 2는 질량이 5kg, 회전축에서 3m 떨어져 있습니다.
이 경우 각 볼을 포인트 질량으로 간주하고 다음과 같은 기본 정의에서 작업하여이 합성 물체의 관성 모멘트를 찾을 수 있습니다.
\ begin {aligned} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {aligned}
아래 첨자는 단순히 다른 개체 (예: 공 1과 공 2)를 구분합니다. 투볼 오브젝트는 다음을 갖습니다.
\ begin {정렬} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ end {정렬}
관성 모멘트 및 각운동량 보존
각운동량 (선형 운동량에 대한 회전 아날로그)은 회전 관성의 곱 (즉, 관성 모멘트,나는) 물체의 각속도ω),도 / 초 또는 rad / s로 측정됩니다.
의심 할 여지없이 선형 운동량 보존 법칙에 익숙 할 것이며 각 운동량도 같은 방식으로 보존됩니다. 각운동량 방정식엘)는 다음과 같습니다.
L = Iω
이것이 실제로 의미하는 바를 생각하면 (다른 힘이 없을 때) 물체의 회전 관성이 높을수록 각속도가 낮아지기 때문에 많은 물리적 현상을 설명합니다.
팔을 뻗은 상태에서 일정한 각속도로 회전하는 아이스 스케이터를 생각해 보면 팔을 뻗으면 반경이 증가한다는 점에 유의하십시오.아르 자형그의 질량이 분포되어 팔이 몸에 가까울 때보 다 관성 모멘트가 더 커집니다.
만약엘1 팔을 뻗은 채로 계산됩니다.엘2, 팔을 끌어 들인 후에는 (각운동량이 보존되기 때문에) 같은 값을 가져야합니다. 그가 팔을 끌어서 관성 모멘트를 줄이면 어떻게 될까요? 그의 각속도ω보상하기 위해 증가합니다.
고양이는 떨어질 때 발에 착지하는 데 도움이되는 유사한 움직임을 수행합니다.
다리와 꼬리를 펴서 관성 모멘트를 높이고 회전 속도를 줄입니다. 반대로 관성 모멘트를 줄이고 회전 속도를 높이기 위해 다리를 그릴 수 있습니다. 그들은이 두 가지 전략을“올바른 반사”의 다른 측면과 함께 사용하여 발이 착지하도록합니다. 먼저 고양이의 타임 랩스 사진에서 웅크 리고 펴는 뚜렷한 단계를 볼 수 있습니다. 착륙.
관성 모멘트 및 회전 운동 에너지
선형 운동과 회전 운동 사이의 평행선을 계속 유지하면서 물체는 선형 운동 에너지를 갖는 것과 같은 방식으로 회전 운동 에너지를 갖습니다.
중심 축을 중심으로 회전하고 선형 방식으로 전진하는지면을 가로 질러 구르는 공을 생각해보십시오. 공의 총 운동 에너지는 선형 운동 에너지의 합입니다.이자형케이 그리고 그것의 회전 운동 에너지이자형썩음. 이 두 에너지 사이의 유사점은 둘 다에 대한 방정식에 반영되어 물체의 관성 모멘트는 질량의 회전 아날로그이고 각속도는 선형의 회전 아날로그입니다. 속도V):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
두 방정식이 회전 운동 에너지 방정식을 적절한 회전 유사체로 대체하여 정확히 동일한 형태를 가지고 있음을 분명히 알 수 있습니다.
물론 회전 운동 에너지를 계산하려면 물체의 관성 모멘트에 대한 적절한 표현을 공간으로 대체해야합니다.나는. 공을 고려하고 물체를 단단한 구체로 모델링하면 방정식은 다음과 같습니다.
\ begin {aligned} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ end {aligned}
총 운동 에너지 (이자형더하다)는 이것과 공의 운동 에너지의 합이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\ begin {aligned} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { 정렬}
반경 0.3m, 각속도 2π rad / s의 선형 속도 2m / s로 움직이는 1kg 공의 경우 총 에너지는 다음과 같습니다.
\ begin {정렬} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {kg} × (0.3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0.71 \; \ text {J} \\ & = 2.71 \; \ text {J} \ end {정렬}
상황에 따라 물체는 선형 운동 에너지 만 가질 수 있습니다 (예: 스핀이 부여되지 않은 높이) 또는 회전 운동 에너지 만 (볼이 회전하지만 제자리에 머물러 있음).
기억하십시오합계보존 된 에너지. 공이 초기 회전없이 벽을 걷어차 고 더 낮은 속도로 다시 튕겨 나가지 만 스핀과 에너지가 부여 된 경우 접촉 할 때 소리와 열에 손실되고 초기 운동 에너지의 일부가 회전 운동 에너지로 전달되어캔트다시 튀기 전에했던 것처럼 빠르게 움직일 수 있습니다.