슈퍼 볼이 곧 다가옴에 따라 전 세계의 운동 선수와 팬들은 큰 경기에 집중하고 있습니다. 그러나 _math_letes의 경우, 큰 경기는 축구 경기에서 가능한 점수와 관련된 약간의 문제를 떠 올릴 수 있습니다. 득점 할 수있는 점수에 대한 옵션이 제한되어있어 일부 합계에 도달 할 수 없지만 가장 높은 점수는 얼마입니까? 동전, 축구, 맥도날드 치킨 너겟을 연결하는 것이 무엇인지 알고 싶다면 이것은 문제입니다.
슈퍼 볼 수학 문제
문제는 Los Angeles Rams 또는 New England Patriots가 일요일에 달성 할 수있는 가능한 점수와 관련이 있습니다. 없이 안전 또는 2 점 전환. 즉, 점수를 올리는 허용 가능한 방법은 3 점 필드 골과 7 점 터치 다운입니다. 따라서 안전이 없으면 3과 7을 조합 한 게임에서 2 점을 얻을 수 없습니다. 마찬가지로 4 점도 얻을 수 없으며 5 점도 얻을 수 없습니다.
질문은 ~이야: 가장 높은 점수는? 캔트 3 점 필드 골과 7 점 터치 다운만으로 달성 할 수 있습니까?
물론 전환이없는 터치 다운은 6의 가치가 있지만 어쨌든 두 개의 필드 골로이를 달성 할 수 있기 때문에 문제가되지 않습니다. 또한 여기서는 수학을 다루기 때문에 특정 팀의 전술이나 점수 획득 능력에 대한 제한에 대해 걱정할 필요가 없습니다.
계속 진행하기 전에이 문제를 직접 해결하십시오!
해결책 찾기 (느린 방법)
이 문제에는 몇 가지 복잡한 수학적 솔루션이 있지만 (자세한 내용은 참고 자료를 참조하십시오. 그러나 주요 결과는 아래에 소개 될 것입니다.) 이것이 어떻게되지 않는지에 대한 좋은 예입니다. 필요한 답을 찾을 수 있습니다.
무차별 대입 솔루션을 찾기 위해해야 할 일은 단순히 각 점수를 차례로 시도하는 것입니다. 따라서 3 점 미만이기 때문에 1 점 또는 2 점을받을 수 없다는 것을 알고 있습니다. 4와 5는 불가능하지만 6은 2 개의 필드 골로 가능하다는 것을 이미 확인했습니다. 7 점 이후 (가능한) 8 점을받을 수 있습니까? 아니. 3 개의 필드 골은 9, 필드 골과 전환 된 터치 다운은 10입니다. 하지만 11을 얻을 수 없습니다.
이 시점부터 약간의 작업을 통해 다음을 확인할 수 있습니다.
\ begin {정렬} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ end {aligned}
사실, 원하는만큼 계속 이렇게 할 수 있습니다. 답은 11 인 것 같습니다. 하지만 그렇습니까?
대수 솔루션
수학자들은 이러한 문제를“Frobenius 동전 문제”라고 부릅니다. 다음과 같은 동전과 관련된 원래 형식: 가치가있는 동전 만 보유한 경우 4 센트와 11 센트 (실제 동전은 아니지만 다시 말하지만 그것은 수학 문제입니다.) 생기게 하다.
대수 측면에서 해결책은 하나의 점수가 피 포인트 및 1 점 가치 큐 얻을 수없는 최고 점수 (엔)는 다음과 같이 지정됩니다.
N = pq \; – \; (p + q)
따라서 슈퍼 볼 문제의 값을 연결하면 다음이 제공됩니다.
\ begin {정렬} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ 끝 {정렬}
우리가 느리게 얻은 답입니다. 전환이없는 터치 다운 (6 점)과 1 점 전환이있는 터치 다운 (7 점) 만 득점 할 수 있다면 어떨까요? 계속 읽기 전에 공식을 사용하여 계산할 수 있는지 확인하십시오.
이 경우 공식은 다음과 같습니다.
\ begin {정렬} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ 끝 {정렬}
치킨 맥 너겟 문제
그래서 게임이 끝났고 우승 한 팀에게 맥도날드로의 여행을 보상하고 싶습니다. 그러나 그들은 맥 너겟을 9 개 또는 20 개 상자로만 판매합니다. 그래서 너겟의 가장 많은 수는 캔트 이 (오래된) 상자 번호로 구입 하시겠습니까? 계속 읽기 전에 공식을 사용하여 답을 찾으십시오.
이후
N = pq \; – \; (p + q)
그리고 피 = 9 및 큐 = 20:
\ begin {정렬} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ 끝 {정렬}
따라서 151 개 이상의 너겟을 구입했다면 – 우승팀은 아마도 꽤 배가 고플 것입니다. 상자 조합으로 원하는만큼 너겟을 구입할 수 있습니다.
이 문제의 두 가지 버전 만 다루는 이유가 궁금 할 것입니다. 금고를 통합했거나 맥도날드가 세 가지 크기의 너겟 상자를 판매했다면 어떨까요? 있다 명확한 공식이 없다 이 경우 대부분의 버전이 해결 될 수 있지만 질문의 일부 측면은 완전히 해결되지 않았습니다.
따라서 게임을 보거나 한입 크기의 치킨을 먹을 때 수학에서 열린 문제를 풀려고한다고 주장 할 수 있습니다. 집안일에서 벗어나려고 노력할 가치가 있습니다!