ㅏ벡터크기와 방향이 모두 연관된 수량입니다. 이것은 a와 다릅니다스칼라수량에 해당합니다. 속도는 벡터 양의 예입니다. 그것은 크기 (물건이 얼마나 빨리 가는가)와 방향 (이동하는 방향)을 모두 가지고 있습니다.
벡터는 종종 화살표로 그려집니다. 화살표의 길이는 벡터의 크기에 해당하고 화살표의 점은 방향을 나타냅니다.
벡터 덧셈과 뺄셈을 사용하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 첫 번째는 벡터 자체의 화살표 다이어그램을 조작하는 것입니다. 두 번째는 수학적으로 정확한 결과를 제공합니다.
1 차원에서 그래픽 벡터 덧셈과 뺄셈
두 벡터를 추가 할 때 벡터 방향을 유지하면서 두 번째 벡터의 꼬리를 첫 번째 벡터의 끝에 배치합니다. 그만큼결과 벡터첫 번째 벡터의 꼬리에서 시작하여 두 번째 벡터의 끝을 직선으로 가리키는 벡터입니다.
예를 들어, 벡터 추가를 고려하십시오.ㅏ과비선을 따라 같은 방향을 가리 킵니다. "tip to tail"과 결과 벡터를 배치합니다.씨, 같은 방향을 가리키며 길이의 합이ㅏ과비.
한 차원에서 벡터를 빼는 것은 두 번째 벡터를 "뒤집는"것을 제외하고는 기본적으로 더하는 것과 동일합니다. 이는 빼기가 음수를 더하는 것과 동일하다는 사실에서 직접적으로 발생합니다.
1 차원에서 수학적 벡터 덧셈과 뺄셈
한 차원에서 작업 할 때 벡터의 방향은 기호로 표시 할 수 있습니다. 한 방향을 양의 방향으로 선택하고 (일반적으로 "위쪽"또는 "오른쪽"이 양수로 선택됨) 해당 방향을 가리키는 벡터를 양의 양으로 할당합니다. 음의 방향을 가리키는 벡터는 음의 양입니다. 벡터를 더하거나 뺄 때 적절한 기호를 첨부하여 크기를 더하거나 뺍니다.
이전 섹션에서 벡터ㅏ크기가 3이고 벡터가비크기가 5였습니다. 그런 다음 결과 벡터C = A + B =8, 양의 방향을 가리키는 크기 8의 벡터 및 결과 벡터디 = A-B =-2, 음의 방향을 가리키는 크기 2의 벡터. 이것은 이전의 그래픽 결과와 일치합니다.
팁: 속도 + 속도, 힘 + 힘 등 같은 유형의 벡터 만 추가하도록주의하세요. 물리학의 모든 수학과 마찬가지로 단위가 일치해야합니다!
2 차원에서 그래픽 벡터 덧셈과 뺄셈
첫 번째 벡터와 두 번째 벡터가 데카르트 공간에서 동일한 선을 따라 있지 않으면 동일한 "끝에서 꼬리까지"방법을 사용하여 더하거나 뺄 수 있습니다. 두 벡터를 추가하려면 그림과 같이 방향을 유지하면서 두 번째 벡터를 들어 올리고 첫 번째 벡터의 끝 부분에 꼬리를 배치한다고 상상해보십시오. 결과 벡터는 첫 번째 벡터의 꼬리에서 시작하여 두 번째 벡터의 끝에서 끝나는 화살표입니다.
한 차원에서와 마찬가지로 다른 벡터에서 한 벡터를 빼는 것은 뒤집고 더하는 것과 같습니다. 그래픽으로 보면 다음과 같습니다.
•••다나 첸 | 과학
참고: 때때로 벡터 덧셈은 두 덧셈 벡터의 꼬리를 합치고 평행 사변형을 생성하여 그래픽으로 표시됩니다. 결과 벡터는이 평행 사변형의 대각선이됩니다.
2 차원에서 수학적 벡터 덧셈과 뺄셈
수학적으로 2 차원 벡터를 더하고 빼려면 다음 단계를 따르세요.
각 벡터를엑스-수평 구성 요소라고도하는 구성 요소 및와이-삼각법을 사용하는 수직 구성 요소라고도하는 구성 요소. (요소가 벡터가 가리키는 방향에 따라 음수 또는 양수일 수 있습니다.)
추가엑스-두 벡터의 구성 요소를 함께 추가 한 다음와이-함께 두 벡터의 구성 요소. 이 결과는엑스과와이결과 벡터의 구성 요소.
결과 벡터의 크기는 피타고라스 정리를 사용하여 찾을 수 있습니다.
결과 벡터의 방향은 역 탄젠트 함수를 사용하는 삼각법을 통해 찾을 수 있습니다. 이 방향은 일반적으로 양수에 대한 각도로 제공됩니다.엑스-중심선.
벡터 덧셈의 삼각법
삼각법에서 직각 삼각형의 변과 각도 사이의 관계를 상기하십시오.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ 세타) = \ frac {b} {a}
피타고라스의 정리:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
발사체 운동은 벡터를 분해하고 벡터의 최종 크기와 방향을 결정하기 위해 이러한 관계를 어떻게 사용할 수 있는지에 대한 고전적인 예를 제공합니다.
캐치를하는 두 사람을 생각해보십시오. 공이 수평으로 50도 각도로 16m / s의 속도로 1.3m의 높이에서 던졌다 고 가정합니다. 이 문제 분석을 시작하려면이 초기 속도 벡터를 다음으로 분해해야합니다.엑스과와이구성 요소 :
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ times \ cos (50) = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ times \ sin (50) = 12.3 \ text {m / s}
포수가 공을 놓치고지면에 닿으면 최종 속도는 얼마입니까?
운동학 방정식을 사용하여 공 속도의 최종 구성 요소가 다음과 같은지 확인할 수 있습니다.
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} =-13.3 \ text {m / s}
피타고라스 정리를 사용하면 크기를 찾을 수 있습니다.
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
삼각법을 사용하면 각도를 결정할 수 있습니다.
\ theta = \ tan ^ {-1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) =-52.2 \ degree
벡터 더하기 및 빼기 예제
코너를 돌고있는 자동차를 생각해보십시오. 가정V나는차에 대한엑스-크기가 10m / s 인 방향 및V에프양수와 45도 각도로엑스-축 크기 10m / s. 이러한 움직임의 변화가 3 초 내에 발생한다면 자동차가 회전 할 때 가속도의 크기와 방향은 얼마입니까?
가속도를 상기하십시오ㅏ다음과 같이 정의 된 벡터 수량입니다.
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
어디V에프과V나는각각 최종 및 초기 속도입니다 (따라서 벡터 수량이기도합니다).
벡터 차이를 계산하려면V에프 - V나는,먼저 초기 및 최종 속도 벡터를 분해해야합니다.
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ text {m / s}
그런 다음 최종 값을 뺍니다.엑스과와이초기의 구성 요소엑스과와이구성 요소를 가져올 구성 요소V에프 - V나는:
그런 다음 우리는엑스과와이구성 요소 :
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7.07 \ text {m / s}
그런 다음 각각을 시간으로 나누어 가속도 벡터의 구성 요소를 구합니다.
a_x = \ frac {-2.93} {3} =-0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
가속도 벡터의 크기를 찾으려면 피타고라스 정리를 사용하십시오.
a = \ sqrt {(-0.977) ^ 2 + (2.36) ^ 2} = 2.55 \ text {m / s} ^ 2
마지막으로 삼각법을 사용하여 가속 벡터의 방향을 찾습니다.
\ theta = \ tan ^ {-1} \ Big (\ frac {2.36} {-0.977} \ Big) = 113 \ degree