총알의 궤적을 계산하는 것은 고전 물리학의 몇 가지 핵심 개념에 대한 유용한 소개 역할을하지만 더 복잡한 요소를 포함 할 수있는 많은 범위를 가지고 있습니다. 가장 기본적인 수준에서 총알의 궤적은 다른 발사체의 궤적처럼 작동합니다. 핵심은 속도의 구성 요소를 (x) 및 (y) 축으로 분리하고 중력으로 인한 일정한 가속을 사용하여 총알이 땅에 닿기 전에 얼마나 멀리 날아갈 수 있는지 알아내는 것입니다. 그러나 더 정확한 답을 원한다면 드래그 및 기타 요소를 통합 할 수도 있습니다.
간단한 공식을 사용하여 총알이 이동 한 거리를 계산하려면 바람 저항을 무시하십시오.
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
어디 (v0x)는 시작 속도, (h)는 발사 높이, (g)는 중력으로 인한 가속도입니다.
이 공식은 드래그를 통합합니다.
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
여기서 (C)는 총알의 항력 계수, (ρ)는 공기 밀도, (A)는 총알의 면적, (t)는 비행 시간, (m)은 총알의 질량입니다.
배경: 속도의 (x) 및 (y) 구성 요소
궤적을 계산할 때 이해해야하는 요점은 속도, 힘 또는 다른 "벡터"(방향과 강도를 가짐)가 "구성 요소"로 분할됩니다. 무언가가 수평으로 45도 각도로 움직이고 있다면, 수평으로 일정한 속도로, 수직으로 일정한 속도로 움직이는 것으로 생각하십시오. 속도. 이 두 속도를 결합하고 서로 다른 방향을 고려하면 속도와 결과 방향을 모두 포함하여 물체의 속도를 얻을 수 있습니다.
cos 및 sin 함수를 사용하여 힘 또는 속도를 구성 요소로 분리합니다. 무언가가 수평에 대해 30도 각도로 초당 10 미터의 속도로 움직이는 경우 속도의 x 구성 요소는 다음과 같습니다.
v_x = v \ cos {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ cos {30} = 8.66 \ text {m / s}
여기서 (v)는 속도 (즉, 초당 10 미터)이며 문제에 맞게 (θ) 대신 모든 각도를 넣을 수 있습니다. (y) 구성 요소는 비슷한 식으로 제공됩니다.
v_y = v \ sin {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ sin {30} = 5 \ text {m / s}
이 두 구성 요소가 원래 속도를 구성합니다.
일정 가속 방정식을 사용한 기본 궤적
궤적과 관련된 대부분의 문제의 핵심은 발사체가 바닥에 닿으면 앞으로 움직이지 않는다는 것입니다. 총알이 공중에서 1m에서 발사되면 중력에 의한 가속이 1m 아래로 떨어지면 더 이상 이동할 수 없습니다. 이것은 y- 성분이 가장 중요한 고려 사항이라는 것을 의미합니다.
y 성분 변위에 대한 방정식은 다음과 같습니다.
y = v_ {0y} t- \ frac {1} {2} gt ^ 2
"0"아래 첨자는 (y) 방향의 시작 속도를 의미하고, (t)는 시간을 의미하고, (g)는 중력으로 인한 가속도를 의미하며, 이는 9.8m / s입니다.2. 총알이 수평으로 완벽하게 발사되어 (y) 방향으로 속도가 없으면 이것을 단순화 할 수 있습니다. 이것은 떠난다 :
y =-\ frac {1} {2} gt ^ 2
이 방정식에서 (y)는 시작 위치로부터의 변위를 의미하며 총알이 시작 높이 (h)에서 떨어지는 데 걸리는 시간을 알고 싶습니다. 즉, 우리는
y = -h =-\ frac {1} {2} gt ^ 2
재조정 :
t = \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
총알이 날아가는 시간입니다. 전진 속도는 이동 거리를 결정하며 다음과 같이 지정됩니다.
x = v_ {0x} t
속도는 총을 떠나는 속도입니다. 이것은 수학을 단순화하기 위해 드래그의 효과를 무시합니다. 조금 전에 찾은 (t) 방정식을 사용하여 이동 한 거리는 다음과 같습니다.
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
400m / s로 발사되고 1m 높이에서 발사되는 총알의 경우 다음과 같은 이점이 있습니다.
x = (400 \ text {m / s}) \ sqrt {\ frac {2 (1 \ text {m})} {9.8 \ text {m / s} ^ 2}} = 180.8 \ text {m}
그래서 총알은 땅에 떨어지기 전에 약 181 미터를 이동합니다.
드래그 통합
보다 현실적인 답을 얻으려면 위의 방정식에 드래그를 작성하십시오. 이것은 상황을 조금 복잡하게 만들지 만 총알과 총알이 발사되는 온도와 압력에 대해 필요한 정보를 찾으면 쉽게 계산할 수 있습니다. 항력으로 인한 힘의 방정식은 다음과 같습니다.
F_ {drag} = \ frac {-C \ rho Av ^ 2} {2}
여기서 (C)는 총알의 항력 계수를 나타냅니다 (특정 총알에 대해 알아 내거나 일반적인 그림으로 C = 0.295를 사용할 수 있음), ρ는 공기 밀도 (약 상압 및 온도에서 1.2kg / 입방 미터), (A)는 총알의 단면적입니다 (특정 총알에 대해이 작업을 수행하거나 A = 4.8 × 10−5 미디엄2, .308 구경의 값) 및 (v)는 총알의 속도입니다. 마지막으로 총알의 질량을 사용하여이 힘을 가속도로 변환하여 방정식에 사용할 수 있습니다. 특정 총알을 염두에 두지 않는 한 m = 0.016 kg으로 간주 할 수 있습니다.
이것은 (x) 방향으로 이동 한 거리에 대해 더 복잡한 표현을 제공합니다.
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
이것은 기술적으로는 드래그가 속도를 감소시켜 결국 드래그를 감소시키기 때문에 복잡합니다.하지만 400m / s의 초기 속도를 기준으로 드래그를 계산하여 간단하게 할 수 있습니다. 0.452 초의 비행 시간 (이전과 동일)을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.
x = (400 \ text {m / s}) (0.452 \ text {s})-\ frac {(0.295) (1.2 \ text {kg / m} ^ 3) (4.8 \ times10 ^ {-5} \ text {m} ^ 2) (400 \ text {m / s}) ^ 2 (0.452 \ text { s}) ^ 2} {2 (0.016 \ text {kg})} \\ = 180.8 \ text {m}-\ frac {0.555 \ text {kgm}} {0.032 \ text {kg}} \\ = 180.8 \ 텍스트 {m} -17.3 \ text {m} \\ = 163.5 \ text { 미디엄}
따라서 항력을 추가하면 추정치가 약 17 미터 변경됩니다.