암시 적 미분은 y = f (x) 형식의 함수 미분을 결정하는 데 사용되는 기술입니다.
암시 적 미분을 사용하는 방법을 배우기 위해 간단한 예제에서 방법을 사용한 다음 더 복잡한 경우를 탐색 할 수 있습니다.
암시 적 미분은 미분 일뿐
더 복잡하게 들리지만 암시 적 미분은 기본 미분과 동일한 수학과 기술을 모두 사용합니다. 그러나 주목해야 할 중요한 점은 종속 변수가 이제 함수 자체에 표시된다는 것입니다.
xy = 1과 같은 간단한 방정식을 사용합니다. 도함수를 찾는 방법에는 두 가지가 있습니다. 와이 에 관하여 엑스, 또는 dy / dx. 첫째, 간단히 해결할 수 있습니다. 와이 방정식에서 도함수에 대한 거듭 제곱 규칙을 사용합니다. 이렇게하면 y = 1 / x가됩니다. 따라서 거듭 제곱 규칙을 적용하면 dy / dx = -1 / x가됩니다.2.
암시 적 미분을 사용하여이 문제를 해결할 수도 있습니다. 운 좋게도 우리는 이미 답을 알고 있으므로 (어떻게 계산하든 동일해야 함) 작업을 확인할 수 있습니다!
시작하려면 방정식 xy = 1의 양변에 미분을 적용합니다. 그러면 d / dx (xy) = d / dx (1); 분명히 오른쪽은 이제 0과 같지만 왼쪽에는 체인 규칙이 필요합니다. 이것은 우리가 함수의 미분을 취하기 때문입니다. 와이, 다른 요소에 곱하는 동안 엑스. 이것을 계산하려면: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. 우리는 소수 표기법을 사용하여 엑스.
방정식을 다시 쓰면 y + xy '= 0이됩니다. 해결할 시간입니다. 와이' 우리 방정식에서! 분명히, y '= -y / x. 그러나 원래 정보를 사용하여 y = 1 / x라는 것을 알고 있으므로이를 다시 대체 할 수 있습니다. 이렇게하면 y '= -1 / x가됩니다.2, 이전에 찾은 것과 같습니다.
sin (xy)의 미분을 결정하기위한 암시 적 미분
y = sin (xy)의 미분을 결정하기 위해 (d / dx) y = y '를 기억하여 암시 적 미분을 사용합니다.
먼저 방정식의 양변에 미분을 적용합니다. d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). 방정식의 왼쪽은 분명히
와이', 우리가 해결해야 할 문제이지만 오른쪽에는 약간의 작업이 필요합니다. 특히 체인 규칙과 제품 규칙입니다. 먼저, 체인 규칙을 sin (xy)에 적용한 다음 인수에 대한 곱 규칙을 적용해야합니다. xy. 다행히 우리는 이미이 제품 규칙을 계산했습니다.다음으로 이것을 단순화하면 y '= cos (xy) (y + xy')가됩니다.
분명히이 방정식은 와이' 방법을 결정하기 위해 와이' ~와 연관되어있는 엑스 과 와이.
모든 용어를 다음으로 분리 와이' 한쪽: y '-xy'cos (xy) = ycos (xy).
그런 다음 와이' 얻으려면: y '(1-xcos (xy)) = ycos (xy).
이제 y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy))가 표시됩니다.
추가 단순화가 필요하지만 함수가 재귀 적으로 정의되기 때문에 y = sin (xy)를 연결하면 만족스러운 솔루션을 얻을 수 없습니다. 이 경우 이러한 방정식을 그리는 데 더 많은 정보 또는 더 정교한 방법이 유용 할 수 있습니다.
암시 적 미분을위한 일반적인 단계
첫째, 암시 적 미분은 변수 중 하나가 다른 변수의 함수에 의존한다는 것을 기억하십시오. 일반적으로 함수를 y = f (x)로 보지만 함수 x = f (y)를 작성할 수 있습니다. 이러한 문제에 접근 할 때 어떤 변수가 다른 변수에 종속되어 있는지 확인하려면주의하십시오.
다음으로, 파생 규칙을주의 깊게 적용해야합니다. 암시 적 미분에는 연쇄 규칙과 곱 규칙 및 몫 규칙이 매우 자주 필요합니다. 이러한 방법을 올바르게 적용하는 것은 최종 답을 결정하는 데 필수적입니다.
마지막으로 원하는 도함수를 분리하고 가능한 한 식을 단순화하여 해결합니다.