ორი სკალარული სიდიდის პროდუქტი არის სკალა, ხოლო სკალერის პროდუქტი ვექტორით, მაგრამ რა შეიძლება ითქვას ორი ვექტორის პროდუქტზე? სკალარია, თუ სხვა ვექტორი? პასუხი არის, ეს შეიძლება იყოს რომელიმე!
ვექტორული პროდუქტის მიღების ორი გზა არსებობს. ერთი არის მათი წერტილოვანი პროდუქტის მიღებით, რომელიც იძლევა სკალარს, და მეორე მათი ჯვარედინი პროდუქტის მიღებით, რომელიც იძლევა სხვა ვექტორს. რომელი პროდუქტის გამოყენება დამოკიდებულია კონკრეტულ სცენარზე და რა რაოდენობის პოვნას ცდილობთ.
ორი ვექტორის ჯვარედინი პროდუქტი იძლევა მესამე ვექტორს, რომელიც მიუთითებს პერპენდიკულარული მიმართულებით სიბრტყეზე გაშლილი ორი ვექტორი და რომელთა სიდიდე დამოკიდებულია ორივეს ფარდობით პერპენდიკულურობაზე ვექტორები.
ვექტორების ჯვრის პროდუქტის განმარტება
ჩვენ ჯერ განვსაზღვრავთ ერთეული ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტსმე, კდაკ(1 სიდიდის ვექტორები, წერტილშიx-, y-დაზსტანდარტული კარტესიანული საკოორდინატო სისტემის კომპონენტული მიმართულებები) შემდეგნაირად:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ ჯერ i} = \ სქელი {j \ ჯერ j} = \ სქელი {კ \ ჯერ კ} = 0
გაითვალისწინეთ, რომ ეს ურთიერთობები ანტიკომუტაციურია.
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული განმარტებები ორი სამგანზომილებიანი ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტის ფორმულის მისაღებად. პირველი, დაწერეთ ვექტორებიადაბშემდეგნაირად:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
ორი ვექტორის გამრავლებით მივიღებთ:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ სქელი {k}) \\ = a_xb_x \ სქელი {i \ ჯერ i} + a_xb_y \ სქელი {i \ ჯერ j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ ჯერ i} + a_zb_y \ bold {k \ ჯერ j} + a_zb_z \ bold {k \ ჯერ k}
შემდეგ, ზემოთ მოცემული ერთეული ვექტორული ურთიერთობების გამოყენებით, ეს გამარტივდება:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(გაითვალისწინეთ, რომ ტერმინები, რომელთა ჯვარი პროდუქტი იყო 0, არის ტერმინები, რომლებიც ქმნიან წერტილოვან პროდუქტს (ასევე სკალარული პროდუქტი).ეს დამთხვევა არ არის.)
Სხვა სიტყვებით:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {სადაც} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
ჯვრის პროდუქტის სიდიდის პოვნა შესაძლებელია პითაგორას თეორემის გამოყენებით.
ჯვარედინი პროდუქტის ფორმულა ასევე შეიძლება გამოიხატოს, როგორც შემდეგი მატრიცის განმსაზღვრელი:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ start {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ დასრულება {მატრიცა} \ ბიგი | \\ = \ დიდი | \ დაწყება {matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ start {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ დაიწყოს {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {სადაც განმსაზღვრელი} \ დიდი | \ იწყება {მატრიცა} a & b \\ c & d \ დასრულება {მატრიცა} \ დიდი | = რეკლამა - ძვ
ჯვარედინი პროდუქტის კიდევ ერთი, ხშირად ძალიან მოსახერხებელი ფორმულირებაა (იხილეთ ამ სტატიის ბოლოს წარმოებისთვის):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ სქელი {ბ} | \ sin (θ) \ სქელი {n}
სად:
- |ა| არის ვექტორის სიდიდე (სიგრძე)ა
- |ბ| არის ვექტორის სიდიდე (სიგრძე)ბ
- θ არის კუთხე შორის ადა ბ
- ნარის ერთეული ვექტორი, რომლის პერპენდიკულარია სიბრტყეზე ადაბ
პერპენდიკულარული ვექტორები და მარჯვენა წესი
ჯვარედინი პროდუქტის აღწერილობაში ნათქვამია, რომ ჯვრის პროდუქტის მიმართულება არის პერპენდიკულარული ვექტორით განლაგებული სიბრტყეზე.ადა ვექტორიბ. მაგრამ ეს ორ შესაძლებლობას ტოვებს: შეიძლება აღნიშნოსგარეთთვითმფრინავი ანშევიდათვითმფრინავი იმ ვექტორებით. რეალობა ისაა, რომ რეალურად შეგვიძლია ავირჩიოთ, სანამ თანმიმდევრულები ვიქნებით. მათემატიკოსებისა და მეცნიერების მიერ არჩეულ სასურველ მიმართულებას განსაზღვრავს რაღაც ე.წ.მარჯვენა წესი.
ვექტორის ჯვარედინი პროდუქტის მიმართულების დასადგენად მარჯვენა წესის გამოყენებით, მიუთითეთ თქვენი მარჯვენა ხელის საჩვენებელი თითი ვექტორის მიმართულებითადა თქვენი შუა თითი ვექტორის მიმართულებითბ. თქვენი thumb შემდეგ მიუთითებს ჯვარედინი პროდუქტის ვექტორის მიმართულებით.
ზოგჯერ ეს მიმართულებები ძნელად ხასიათდება ფურცელზე, ამიტომ ხშირად ტარდება შემდეგი კონვენციები:
ვექტორის მითითებით, რომელიც გვერდზე მიდის, ჩვენ ვხატავთ წრეს, რომელშიც X არის (ვფიქრობ, რომ ის წარმოადგენს კუდის ბუმბულს ისრის ბოლოს, რადგან უკნიდან უყურებ მას). ვექტორის მითითებით, რომელიც გვერდის საპირისპირო მიმართულებით მიდის, ჩვენ ვხატავთ წრეს წვერით (ვფიქრობთ, ეს არის ისრის წვერი, რომელიც გვერდზე მითითებულია).
•••ნა
ჯვრის პროდუქტის თვისებები
ქვემოთ მოცემულია ვექტორული ჯვარედინი პროდუქტის რამდენიმე თვისება:
\ # \ ტექსტი {1. თუ} \ bold {a} \ text {და} \ bold {b} \ text {პარალელურია, მაშინ} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ ტექსტი {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ ჯერ a}
\ # \ ტექსტი {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ ტექსტი {4. } (c \ bold {a) \ ჯერ b} = c (\ bold {a \ ჯერ b})
\ # \ ტექსტი {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ დაიწყოს {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ ბიგი |
ჯვრის პროდუქტის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია
როდესაც ვექტორული ჯვარედინი პროდუქტი ფორმულირდება ცოდვის (θ) თვალსაზრისით, მისი სიდიდე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წარმოადგენს პარალელოგრამის არეალს, რომელიც განლაგებულია ორი ვექტორის მიერ. ეს იმიტომ ხდება რომა × ბ, |ბ| sin (θ) = პარალელოგრამის სიმაღლე, როგორც ნაჩვენებია და |ა| საფუძველია.
•••დანა ჩენი | მეცნიერება
ვექტორული სამმაგი პროდუქტის სიდიდეa (b × c) თავის მხრივ შეიძლება ინტერპრეტირებული იყოს როგორც ვექტორებით მოცული პარალელეპიპედის მოცულობაა, ბდაგ. ეს იმიტომ(ბ × გ) იძლევა ვექტორს, რომლის სიდიდე არის ვექტორით გადაფარებული ფართობიბდა ვექტორიგ, და რომლის მიმართულება არის პერპენდიკულარული ამ არეზე. ვექტორის წერტილოვანი პროდუქტის მიღებააამ შედეგით, არსებითად მრავლდება ბაზის ფართობი სიმაღლეზე.
მაგალითები
მაგალითი 1:ძალა მუხტის ნაწილაკზეqმოძრაობს სიჩქარითვმაგნიტურ ველშიბმოცემულია:
\ bold {F} = q \ bold {v \ ჯერ B}
დავუშვათ, რომ ელექტრონი გადის 0.005 T მაგნიტურ ველში 2 × 10 სიჩქარით7 ქალბატონი. თუ ის პერპენდიკულარულად გაივლის ველში, მაშინ ის ძალა, რომელსაც იგრძნობთ, არის:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1.602 \ ჯერ 10 ^ {19}) (2 \ ჯერ 10 ^ 7) (0.005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1.602 \ ჯერ 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
ამასთან, თუ ელექტრონი მოძრაობს ველის პარალელურად, მაშინ θ = 0 და ცოდვა (0) = 0, რაც ძალას ქმნის 0.
გაითვალისწინეთ, რომ ელექტრონისთვის, რომელიც პერპენდიკულარულად გადის ველში, ეს ძალა იწვევს მის წრიულ ბილიკზე გადაადგილებას. ამ წრიული გზის რადიუსის პოვნა შესაძლებელია მაგნიტური ძალის ტოლი ცენტრიდანული ძალის ტოლი და რადიუსის ამოხსნითრ:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ გულისხმობს r = \ frac {mv} {qB}
ზემოთ მოყვანილი მაგალითისთვის, ციფრების ჩართვა იძლევა რადიუსს დაახლოებით 0,0227 მ.
მაგალითი 2:ფიზიკური რაოდენობის ბრუნვა ასევე გამოითვლება ვექტორული ჯვარედინი პროდუქტის გამოყენებით. თუ ძალავგამოიყენება ობიექტზე პოზიციაზერმთავარი წერტილიდან, ბრუნვაτმთავარი წერტილის შესახებ მოცემულია:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ ჯერ F}
განვიხილოთ სიტუაცია, რომელშიც 7 N ძალის გამოყენება ხორციელდება 0.75 ჯოხის ბოლოს კუთხესთან, რომლის მეორე ბოლოც მიმაგრებულია ღერძზე. კუთხე შორისრდავარის 70 გრადუსი, ამიტომ ბრუნვის გამოთვლა შესაძლებელია:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ ჯერ F} = rF \ sin (\ theta) = (0.75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4.93 \ text {Nm} \ bold { n}
ბრუნვის მიმართულება,ნ, ნაპოვნია მარჯვენა ხელის წესით. თუ ზემოთ მოცემულ სურათზე ვრცელდება, ეს იძლევა მიმართულებით, რომელიც გამოდის გვერდიდან ან ეკრანზე. ზოგადად, ობიექტზე გამოყენებული ბრუნვა სურს გამოიწვიოს ობიექტის როტაცია. ბრუნვის ვექტორი ყოველთვის იმავე მიმართულებით იქნება, როგორც როტაციის ღერძი.
სინამდვილეში, ამ სიტუაციაში შეიძლება გამოყენებული იქნას გამარტივებული მარჯვენა წესი: გამოიყენეთ თქვენი მარჯვენა ხელი როტაციის ღერძის „დასაჭერად“ ისე, რომ თითები შემოტრიალდეს იმ მიმართულებით, რომლითაც დაკავშირებული ბრუნვა მოისურვებს ობიექტის ბრუნვას. თქვენი ცერა თითი მიუთითებს ბრუნვის ვექტორის მიმართულებით.
ჯვრის პროდუქტის ფორმულის წარმოება
\ text {აქ ჩვენ ვაჩვენებთ როგორ ხდება ჯვარედინი პროდუქტის ფორმულა} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ სქელი {ბ} | \ sin (θ) \ სქელი {n} \ ტექსტი {შეიძლება იყოს მიღებული.}
განვიხილოთ ორი ვექტორიადაბკუთხითθმათ შორის. მართკუთხა სამკუთხედი შეიძლება ჩამოყალიბდეს ვექტორის წვერიდან წრფის დახაზვითავექტორზე პერპენდიკულარული კონტაქტის წერტილამდებ.
პითაგორას თეორემის გამოყენებით მივიღებთ შემდეგ ურთიერთობას:
\ დიდი | \ დიდი (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ სქელი {a} | ^ 2
\ text {Where} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {არის ვექტორის პროექცია} \ bold {a} \ text {ვექტორზე} \ bold {b}.
ცოტათი გავამარტივებთ გამონათქვამს, მივიღებთ შემდეგს:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { ა} | ^ 2
შემდეგ, განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ | -ზებ|2 და გადააადგილეთ პირველი ტერმინი მარჯვნივ და მიიღეთ:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
მარჯვენა მხარესთან მუშაობა, გაამრავლეთ ყველაფერი და შემდეგ გაამარტივეთ:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ]] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_zb_z - 2 + a_ + - (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ სქელი {ა \ ჯერ ბ} | ^ 2
წინა ტოლობის მარცხენა მხარის ტოლი შედეგის დაყენებით, მივიღებთ შემდეგ დამოკიდებულებას:
| \ bold {a \ ჯერ b} | = | \ სქელი {ა} || \ სქელი {ბ} || \ ცოდვა (\ თეტა) |
ეს გვაჩვენებს, რომ ფორმულაში სიდიდეები იგივეა, ამიტომ ფორმულის დასამტკიცებლად უკანასკნელი რისი გაკეთებაც არის იმის ჩვენება, რომ მიმართულებებიც იგივეა. ეს შეიძლება გაკეთდეს უბრალოდ წერტილოვანი პროდუქტების მიღებითათანა × ბდაბთანა × ბდა აჩვენებს, რომ ისინი 0-ია, რაც გულისხმობს, რომ მიმართულებააა × ბ პერპენდიკულარულია ორივეზე.