ბრუნვითი კინეტიკური ენერგიააღწერს მოძრაობის ენერგიას ობიექტის ბრუნვის ან წრიული მოძრაობის შედეგად. გავიხსენოთ რომხაზოვანი კინეტიკური ენერგიამასისმსიჩქარით მოძრაობსვმოცემულია 1/2 მვ-ით2. ეს არის პირდაპირი გაანგარიშება ნებისმიერი ობიექტისთვის, რომელიც სწორხაზოვან ბილიკზე მოძრაობს. იგი ეხება ობიექტის მასის ცენტრს, რაც საშუალებას აძლევს ობიექტს მიახლოებულ იქნას როგორც წერტილოვანი მასა.
ახლა, თუ გვინდა აღვწეროთ გაფართოებული ობიექტის კინეტიკური ენერგია, რომელიც განიცდის უფრო რთულ მოძრაობას, გაანგარიშება რთულია.
ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ თანმიმდევრული მიახლოება გაფართოებული ობიექტის პატარა ნატეხებად დაყოფით, რომელთაგან თითოეული შეიძლება მიახლოვდეს როგორც ა წერტილოვანი მასა და შემდეგ გამოთვალეთ ხაზოვანი კინეტიკური ენერგია თითოეული წერტილოვანი მასისთვის ცალკე და დაამატეთ ისინი ყველა, რომ იპოვოთ ჯამი ობიექტი. რაც უფრო მცირე ზომის ობიექტს ვშლით, მით უკეთესი მიახლოებაა. იმ ზღვარს, სადაც ნაჭრები ხდება უსასრულოდ მცირე, ეს შეიძლება გაკეთდეს დაანგარიშებით.
მაგრამ ჩვენ იღბლიანები ვართ! რაც შეეხება ბრუნვის მოძრაობას, ხდება გამარტივება. მბრუნავი ობიექტისთვის, თუ ჩვენ აღწერს მის მასობრივ განაწილებას ბრუნვის ღერძზე, ინერციის მომენტის მიხედვით,
მეამის შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მარტივი მბრუნავი კინეტიკური ენერგიის განტოლება, რომელიც განხილულ იქნა ამ სტატიაში.Ინერციის მომენტი
Ინერციის მომენტიარის ღონისძიება იმისა, თუ რამდენად რთულია ობიექტის შეცვლა ბრუნვითი მოძრაობის მიმართ კონკრეტული ღერძის გარშემო. მბრუნავი ობიექტის ინერციის მომენტი დამოკიდებულია არა მხოლოდ ობიექტის მასაზე, არამედ იმაზე, თუ როგორ ნაწილდება ეს მასა ბრუნვის ღერძის გარშემო. რაც უფრო შორს არის ღერძისგან მასის განაწილება, მით უფრო რთულია მისი ბრუნვითი მოძრაობის შეცვლა და, შესაბამისად, უფრო დიდია ინერციის მომენტი.
ინერციის მომენტისთვის SI ერთეულია კგმ2 (რაც შეესაბამება ჩვენს მოსაზრებას, რომ ეს დამოკიდებულია მასაზე და მბრუნავი ღერძიდან მანძილზე). ინერციის მომენტები სხვადასხვა ობიექტისთვის შეგიძლიათ იხილოთ ცხრილში ან გამოთვლიდან.
Რჩევები
ინერციის მომენტი ნებისმიერი ობიექტისთვის გვხვდება წერტილის მასის ინერციის მომენტის გამოთვლისა და ფორმულის გამოყენებით.
ბრუნვითი კინეტიკური ენერგიის განტოლება
ბრუნვითი კინეტიკური ენერგიის ფორმულა მოცემულია შემდეგით:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
სადმეარის ობიექტის ინერციის მომენტი დაωარის ობიექტის კუთხოვანი სიჩქარე რადიანში წამში (rad / s). როტაციული კინეტიკური ენერგიის SI ერთეული არის ჯოული (J).
ბრუნვითი კინეტიკური ენერგიის ფორმულის ფორმა ტრანსლაციური კინეტიკური ენერგიის განტოლების ანალოგია; ინერციის მომენტი მასის როლს ასრულებს და კუთხოვანი სიჩქარე ანაცვლებს სწორხაზოვან სიჩქარეს. გაითვალისწინეთ, რომ ბრუნვითი კინეტიკური ენერგიის განტოლება წერტილოვანი მასისთვის იგივე შედეგს იძლევა, რასაც წრფივი განტოლება აკეთებს.
თუ წარმოვიდგენთ წერტილოვან მასასმრადიუსის წრეში მოძრაობსრსიჩქარითვ, მაშინ მისი კუთხის სიჩქარეა ω = v / r და ინერციის მომენტი არის mr2. ორივე კინეტიკური ენერგიის განტოლებები ერთსა და იმავე შედეგს იძლევა, როგორც მოსალოდნელი იყო:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ გააუქმოს {r ^ 2} v ^ 2} {\ გააუქმოს {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
თუ ობიექტი ბრუნავს და მისი მასის ცენტრი მოძრაობს სწორი ხაზის გასწვრივ (როგორც ეს ხდება მაგალითად მოძრავი საბურავის დროს), მაშინსაერთო კინეტიკური ენერგიაარის მბრუნავი კინეტიკური ენერგიისა და ტრანსლაციური კინეტიკური ენერგიების ჯამი:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
მაგალითები როტაციული კინეტიკური ენერგიის ფორმულის გამოყენებით
ბრუნვითი კინეტიკური ენერგიის ფორმულას მრავალი პროგრამა აქვს. ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას დაწნული ობიექტის მარტივი კინეტიკური ენერგიის გამოსათვლელად, კინეტიკური ენერგიის გამოსათვლელად მოძრავი ობიექტი (ობიექტი, რომელსაც განიცდის როგორც მბრუნავი, ასევე ტრანსლაციური მოძრაობა) და სხვათა გადასაჭრელად უცნობი. განვიხილოთ შემდეგი სამი მაგალითი:
მაგალითი 1:დედამიწა ღერძის გარშემო ტრიალებს დაახლოებით 24 საათში ერთხელ. თუ ჩავთვლით, რომ მას აქვს ერთგვაროვანი სიმკვრივე, რა არის მისი ბრუნვითი კინეტიკური ენერგია? (დედამიწის რადიუსია 6,37 × 106 მ, ხოლო მისი მასა 5,97 × 1024 კგ.)
როტაციული კინეტიკური ენერგიის მოსაძებნად ჯერ უნდა მოვიძიოთ ინერციის მომენტი. დედამიწის, როგორც მყარი სფეროს მიახლოებით, მივიღებთ:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ ჯერ 10 ^ {24} \ ტექსტი {კგ}) (6.37 \ ჯერ 10 ^ 6 \ ტექსტი {მ}) ^ 2 = 9,69 \ ჯერ 10 ^ {37} \ ტექსტი {კგმ} ^ 2
კუთხის სიჩქარეა 2π რადიანი / დღეში. მისი რადი / ს-ზე გადაკეთება იძლევა:
1 {-5} \ ტექსტი {rad / s}
ასე რომ, დედამიწის ბრუნვითი კინეტიკური ენერგია არის:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9.69 \ ჯერ 10 ^ {37} \ ტექსტი {kgm} ^ 2) (7.27 \ ჯერ 10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2.56 \ ჯერ 10 ^ {29} \ ტექსტი {J}
მხიარული ფაქტი: ეს არის 10 – ჯერ მეტი ენერგია, რომელიც მზეს გამოაქვს წუთში!
მაგალითი 2:ერთიანი ცილინდრი მასით 0,75 კგ და რადიუსით 0,1 მ მოძრაობს იატაკზე მუდმივი სიჩქარით 4 მ / წმ. რა არის მისი კინეტიკური ენერგია?
მთლიანი კინეტიკური ენერგია მოცემულია შემდეგით:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
ამ შემთხვევაში, I = 1/2 მრ2 არის ინერციის მომენტი მყარი ცილინდრისთვის დაωუკავშირდება წრფივ სიჩქარეს ω = v / r– ით.
მთლიანი კინეტიკური ენერგიის გამოხატვის გამარტივება და მნიშვნელობების ჩართვა იძლევა:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0.75 \ ტექსტი {კგ}) (4 \ ტექსტი {მ / წ}) = 2.25 \ ტექსტი {J}
გაითვალისწინეთ, რომ რადიუსის გამოყენება არც კი დაგვჭირვებია! იგი გაუქმდა ბრუნვის სიჩქარესა და წრფივ სიჩქარეს შორის პირდაპირი კავშირის გამო.
მაგალითი 3:ველოსიპედის სტუდენტი გორაზე ჩამოდის დასვენებისგან. თუ გორაკის ვერტიკალური სიმაღლე 30 მეტრია, რამდენად სწრაფად მიდის სტუდენტი გორაკის ძირას? დავუშვათ, რომ ველოსიპედის წონაა 8 კგ, მოტოციკლეტის წონა 50 კგ, თითოეული ბორბლის წონა 2.2 კგ (შედის ველოსიპედის წონაში) და თითოეული ბორბლის დიამეტრი 0.7 მ. ბორბლების მიახლოება, როგორც ჰოოპ და მიაჩნია, რომ ხახუნი უმნიშვნელოა.
აქ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ენერგიის მექანიკური დაზოგვა საბოლოო სიჩქარის დასადგენად. პოტენციური ენერგია გორაკის მწვერვალზე ქვედა ნაწილში კინეტიკურ ენერგიად გადაიქცევა. ეს კინეტიკური ენერგია არის მთლიანი ადამიანის გადასატანი კინეტიკური ენერგიის ჯამი + ველოსიპედის სისტემა და საბურავების მბრუნავი კინეტიკური ენერგიები.
სისტემის სრული ენერგია:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ ტექსტი {კგ} + 8 \ ტექსტი {კგ}) (9.8 \ ტექსტი {მ / წ} ^ 2) (30 \ ტექსტი {მ}) = 17 052 \ ტექსტი {J}
მთლიანი ენერგიის ფორმულა გორაკის ძირას კინეტიკური ენერგიების მიხედვით არის:
E_ {tot} = KE_ {ქვედა} = \ frac {1} {2} I_ {საბურავი} \ ომეგა ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ ჯერ m_ {საბურავი} \ ჯერ) r_ {tire} ^ 2) (v / r_ {tire}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {tire} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {საბურავი} +) \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
მოგვარებავიძლევა:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
დაბოლოს, ციფრების ჩართვაში მივიღებთ ჩვენს პასუხს:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23.4 \ text {m / s}