ორი სკალარული სიდიდის პროდუქტი არის სკალარი, ხოლო სკალარის პროდუქტი ვექტორით, მაგრამ რა შეიძლება ითქვას ორი ვექტორის პროდუქტზე? სკალარია, თუ სხვა ვექტორი? პასუხი არის, ეს შეიძლება იყოს რომელიმე!
ვექტორების ერთად გამრავლების ორი გზა არსებობს. ერთია მათი წერტილოვანი პროდუქტის მიღებით, რომელიც იძლევა სკალარს, და მეორე მათი ჯვარედინი პროდუქტის მიღებით, რომელიც იძლევა სხვა ვექტორს. რომელი პროდუქტის გამოყენება დამოკიდებულია კონკრეტულ სცენარზე და რა რაოდენობის მოძიებას ცდილობთ.
წერტილოვანი პროდუქტიზოგჯერ მოიხსენიება როგორცსკალარული პროდუქტიანშინაგანი პროდუქტი. გეომეტრიულად, შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ წერტილოვანი პროდუქტი ორ ვექტორს შორის, როგორც ვექტორული მნიშვნელობების გამრავლების მეთოდი, რომელიც ითვლის მხოლოდ ერთი და იგივე მიმართულების წვლილს.
- შენიშვნა: წერტილოვანი პროდუქტები შეიძლება იყოს უარყოფითი ან პოზიტიური, მაგრამ ეს ნიშანი არ არის მითითების მიმართულება. მიუხედავად იმისა, რომ ერთ განზომილებაში, ვექტორის მიმართულება ხშირად აღინიშნება ნიშნით, სკალარული რაოდენობით შეიძლება ასევე ასოცირებული იყოს ნიშნები, რომლებიც არ არის მიმართულების ინდიკატორი. სესხი ამის მრავალი მაგალითიდან მხოლოდ ერთია.
წერტილოვანი პროდუქტის განმარტება
ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტია = (აx, აy)დაბ = (ბx, ბy)სტანდარტულ კარტესიანულ კოორდინატთა სისტემაში განისაზღვრება შემდეგნაირად:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
როდესაც ვექტორის წერტილოვან პროდუქტს თავისთან იღებთ, საინტერესო ურთიერთობა წარმოიქმნება:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ სქელი {a} | ^ 2
სად |ა| არის სიდიდე (სიგრძე)აპითაგორას თეორემის მიერ.
წერტილოვანი პროდუქტის კიდევ ერთი ფორმულის მიღება შესაძლებელია კოსინუსების კანონის გამოყენებით. ეს ხდება შემდეგნაირად:
განვიხილოთ არა ნულოვანი ვექტორებიადაბმათი განსხვავების ვექტორთან ერთადა - ბ. მოაწყვეთ სამი ვექტორი სამკუთხედის შესაქმნელად.
ტრიგონომეტრიიდან კოსინუსის კანონი გვეუბნება, რომ:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
და წერტილოვანი პროდუქტის განსაზღვრის გამოყენებით ვიღებთ:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ სქელი {a} | ^ 2 + | \ სქელი {b} | ^ 2 - 2 \ სქელი {a \ cdot b}
ორივე გამოხატვის ტოლობის დაყენება და შემდეგ გამარტივება, მივიღებთ:
\ გააუქმოს {| \ სქელი {a} | ^ 2} + \ გააუქმოს {| \ სქელი {ბ} | ^ 2} - 2 \ სქელი {a \ cdot b} = \ გააუქმოს {| \ სქელი {a} | ^ 2 } + \ გააუქმოს {| \ სქელი {b} | ^ 2} - 2 | \ სქელი {ა} || \ სქელი {ბ} | \ cos (\ თეტა) \\\ ტექსტი {} \\\ გულისხმობს \ ყუთში {\ სქელი {ა \ cdot b} = | \ სქელი {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
ეს ფორმულირება საშუალებას აძლევს ჩვენს გეომეტრიულ ინტუიციას შემოვიდეს თამაში. რაოდენობა |ა| cos (θ) არის ვექტორის პროექციის სიდიდეავექტორზებ.
ასე რომ, შეგვიძლია წერტილოვანი პროდუქტი ვიფიქროთ, როგორც ერთი ვექტორის პროექცია მეორეზე, შემდეგ კი მათი მნიშვნელობების პროდუქტი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ერთი ვექტორის პროდუქტი, მეორე ვექტორის რაოდენობით იმავე მიმართულებით.
წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები
ქვემოთ მოცემულია წერტილოვანი პროდუქტის რამდენიმე თვისება, რომელიც შეიძლება თქვენთვის სასარგებლო აღმოჩნდეს:
\ # \ ტექსტი {1. თუ} \ theta = 0 \ text {, მაშინ} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
ეს იმიტომ ხდება, რომ cos (0) = 1.
\ # \ ტექსტი {2. თუ} \ theta = 180 \ text {, მაშინ} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
ეს იმიტომ ხდება, რომ cos (180) = -1.
\ # \ ტექსტი {3. თუ} \ theta = 90 \ text {, მაშინ} \ bold {a \ cdot b} = 0
ეს იმიტომ ხდება, რომ cos (90) = 0.
- შენიშვნა: 0-ისთვის <
θ
<90, წერტილოვანი პროდუქტი დადებითი იქნება, ხოლო 90 – ისთვის <
θ
<180, წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითი იქნება.
\ # \ ტექსტი {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
ეს გამომდინარეობს კომუტაციური კანონის გამოყენებიდან წერტილის პროდუქტის განსაზღვრებამდე.
\ # \ ტექსტი {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
მტკიცებულება:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ სქელი {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ ტექსტი {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
მტკიცებულება:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ თამამი {b}
როგორ მოვძებნოთ წერტილოვანი პროდუქტი
მაგალითი 1:ფიზიკაში, ძალების მიერ შესრულებული სამუშაოვობიექტზე, რადგან ის განიცდის გადაადგილებასდ, განისაზღვრება, როგორც:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
სადაც θ არის კუთხე ძალის ვექტორსა და გადაადგილების ვექტორს შორის.
ძალების მიერ შესრულებული სამუშაოს მოცულობა იმის მაჩვენებელია, თუ რამდენად შეუწყო ხელი ამ ძალამ გადაადგილებას. თუ ძალა იმავე მიმართულებით არის, როგორც გადაადგილება (cos (θ) = 0), მას თავისი მაქსიმალური წვლილი შეაქვს. თუ იგი გადაადგილების პერპენდიკულარულია (cos (Ѳ) = 90), მას არანაირი წვლილი არ აქვს. და თუ ის გადაადგილების საპირისპიროა, (cos (θ) = 180), ეს უარყოფით წვლილს შეიტანს.
დავუშვათ, რომ ბავშვი სათამაშოების მატარებელს ბილიკის გასწვრივ უბიძგებს 5 N ძალის გამოყენებით 25 გრადუსიანი კუთხით, ტრასის ხაზთან მიმართებაში. რამდენს ასრულებს ბავშვი მატარებელში, როდესაც ის 0,5 მ გადაადგილდება?
გამოსავალი:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0,5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ ხარისხი \\
სამუშაო პროდუქტის წერტილის განსაზღვრის და მნიშვნელობების ჩართვის შემდეგ მივიღებთ:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ ჯერ 0,5 \ ჯერ \ cos (25) = \ ყუთში {2,27 \ ტექსტი {J}}
ამ კონკრეტული მაგალითიდან კიდევ უფრო გასაგები უნდა იყოს, რომ გადაადგილების მიმართულებით პერპენდიკულარული ძალის გამოყენება არ მუშაობს. თუ ბავშვი მატარებელს ბილიკიდან მართი კუთხით უბიძგებს, მატარებელი არ მოძრაობს არც ბილიკის წინ და არც უკან. ინტუიციურია ისიც, რომ ბავშვის მიერ მატარებელში შესრულებული სამუშაო გაიზრდება, რადგან კუთხე იკლებს და ძალა და გადაადგილება უფრო სწორდება გასწორებასთან.
მაგალითი 2:სიმძლავრე არის ფიზიკური სიდიდის კიდევ ერთი მაგალითი, რომლის გაანგარიშება შესაძლებელია წერტილოვანი პროდუქტის გამოყენებით. ფიზიკაში, ძალა ტოლია სამუშაოზე გაყოფილი დროზე, მაგრამ ის ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც ძალის და სიჩქარის წერტილოვანი პროდუქტი, როგორც ნაჩვენებია:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
სადვარის სიჩქარე.
გაითვალისწინეთ ბავშვის მატარებლის თამაშის წინა მაგალითი. თუ ამის ნაცვლად გვეუბნებიან, რომ იგივე ძალაა მატარებლის 2 მ / წმ სიჩქარით მოძრაობა, მაშინ წერტილის პროდუქტი შეგვიძლია გამოვიყენოთ ენერგიის საპოვნელად:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ ჯერ 2 \ ჯერ \ cos (25) = 9.06 \ text {Watts}
მაგალითი 3:კიდევ ერთი მაგალითი, სადაც ფიზიკაში გამოიყენება წერტილოვანი პროდუქტები, არის მაგნიტური ნაკადის შემთხვევაში. მაგნიტური ნაკადი არის მაგნიტური ველის რაოდენობა, რომელიც გადის მოცემულ არეალში. ის გვხვდება როგორც მაგნიტური ველის წერტილოვანი პროდუქტიბტერიტორიითა. (არეალის ვექტორის მიმართულებაანორმალური, ან პერპენდიკულარულად, ზედაპირის ზედაპირზე.)
\ Phi = \ სქელი {B \ cdot A}
დავუშვათ, რომ ტესლას 0,02 ველი გადის 10 სმ რადიუსის მავთულის მარყუჟში და ქმნის ნორმასთან 30 გრადუსის კუთხეს. რა არის ნაკადი?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0.02 \ ჯერ (\ pi \ times0.1 ^ 2) \ ჯერ \ cos (30) = 0.000544 \ text {Wb}
როდესაც ეს ნაკადი შეიცვლება, ან ველის მნიშვნელობის შეცვლით, მარყუჟის არეალის შეცვლით ან კუთხე მარყუჟის ან ველის წყაროს ბრუნვით, მიმდინარეობა გამოიწვევს მარყუჟს, წარმოქმნის ელექტროობა!
კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ, რამდენად მნიშვნელოვანია კუთხე ინტუიციური გზით. თუ კუთხე 90 გრადუსი იქნებოდა, ეს ნიშნავდა, რომ ველი იმავე სიბრტყის გასწვრივ მდებარეობდა, როგორც ფართობი და ველის ხაზები არ გაივლიდა მარყუჟში, რის შედეგადაც ნაკადის არ გაჩნდა. ნაკადის რაოდენობა შემდეგ იზრდება, რაც უფრო მჭიდროა კუთხე ველსა და ნორმას შორის 0-მდე. წერტილოვანი პროდუქტი საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ, თუ რა დონის ველია ზედაპირის ნორმალური მიმართულებით და, შესაბამისად, იგი ხელს უწყობს ნაკადს.
ვექტორული პროექცია და წერტილოვანი პროდუქტი
ადრინდელ განყოფილებებში აღინიშნა, რომ წერტილოვანი პროდუქტი შეიძლება განვიხილოთ, როგორც ერთი ვექტორი სხვაზე პროექციის და შემდეგ მათი სიდიდის გამრავლების მეთოდი. როგორც ასეთი, გასაკვირი არ უნდა იყოს, რომ ვექტორული პროექციის ფორმულა შეიძლება წარმოიშვას წერტილოვანი პროდუქტისგან.
ვექტორის პროექტირების მიზნითავექტორზებ, ჩვენ ვიღებთ წერტილოვან პროდუქტსაერთადერთეულის ვექტორიმიმართულებითბ, შემდეგ კი ამ სკალარული შედეგი გავამრავლოთ იმავე ერთეულის ვექტორზე.
ერთეულის ვექტორი არის 1 სიგრძის ვექტორი, რომელიც მდგომარეობს კონკრეტული მიმართულებით. ერთეულის ვექტორი ვექტორის მიმართულებითბუბრალოდ ვექტორიაბდაყოფილია მისი სიდიდით:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
ეს პროექცია შემდეგშია:
\ text {} პროექტირება \ bold {a} \ text {on}} bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ დიდი) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ დიდი) \ სქელი {b}
წერტილოვანი პროდუქტი უფრო მაღალი განზომილებით
როგორც ვექტორები უფრო მაღალ განზომილებაში არსებობს, ასევე არსებობს წერტილოვანი პროდუქტიც. წარმოიდგინეთ, მაგალითად, ბავშვი ისევ მატარებელს უბიძგებს. დავუშვათ, რომ იგი ბიძგის გვერდით და კუთხით უბიძგებს. სტანდარტულ კოორდინატთა სისტემაში ძალა და გადაადგილების ვექტორები უნდა იყოს წარმოდგენილი სამგანზომილებიანი.
შიგნითნზომები, წერტილოვანი პროდუქტი განისაზღვრება შემდეგნაირად:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
ყველა წინა ერთი და იგივე წერტილის პროდუქტის თვისებები კვლავ მოქმედებს და კოსინუსის კანონი კიდევ ერთხელ გვაძლევს ურთიერთობას:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
სადაც თითოეული ვექტორის სიდიდე გვხვდება შემდეგის საშუალებით, ისევ შეესაბამება პითაგორას თეორემას:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
როგორ მოვძებნოთ წერტილოვანი პროდუქტი სამ განზომილებაში
მაგალითი 1:წერტილოვანი პროდუქტი განსაკუთრებით სასარგებლოა, როდესაც საჭიროა ორ ვექტორს შორის კუთხის პოვნა. მაგალითად, დავუშვათ, რომ გვსურს განვსაზღვროთ კუთხეა= (2, 3, 2) დაბ= (1, 4, 0). მაშინაც კი, თუ ამ ორ ვექტორს ესკიზებთ 3-სივრცეში, შეიძლება ძალიან რთული იყოს თქვენი თავის მოხვევა გეომეტრიის გარშემო. მაგრამ მათემატიკა საკმაოდ მარტივია და იყენებს იმ ფაქტს, რომ:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ გულისხმობს \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ სქელი {a \ cdot b}} {| \ სქელი {a} || \ სქელი {b} |} \ დიდი)
შემდეგ გამოთვალეთ წერტილოვანი პროდუქტიადაბ:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ ჯერ 1 + 3 \ ჯერ 4 + 2 \ ჯერ 0 = 14
და თითოეული ვექტორის სიდიდის გამოთვლა:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
და ბოლოს, ყველაფერი ჩართეთ, მივიღებთ:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ დიდი (\ frac {14} {4.12 \ ჯერ 4.12} \ დიდი) = \ ყუთში {34.4 \ გრადუსი}
მაგალითი 2:პოზიტიური მუხტი ზის სამგანზომილებიან სივრცეში კოორდინატთა წერტილში (3, 5, 4). ხაზის გასწვრივ რომელ წერტილში მიუთითებს ვექტორის მიმართულებითა= (6, 9, 5) არის ყველაზე დიდი ელექტრული ველი?
გამოსავალი: ჩვენი ცოდნის შესახებ, თუ როგორ უკავშირდება ელექტრული ველის სიძლიერე მანძილს, ჩვენ ვიცით, რომ წერტილი ხაზთან, რომელიც ყველაზე ახლოს არის პოზიტიურ მუხტთან, არის ის ადგილი, სადაც ველი იქნება ყველაზე ძლიერი. წერტილოვანი პროდუქტების შესახებ ჩვენი ცოდნის საფუძველზე შეიძლება ვიფიქროთ, რომ პროექტორის ფორმულის გამოყენებას აქ აზრი აქვს. ამ ფორმულამ უნდა მოგვცეს ვექტორი, რომლის წვერიც ზუსტად იმ წერტილშია, რომელსაც ვეძებთ.
ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ:
\ text {} (3, 5, 4) პროექტორის \ ტექსტის {გადატანა} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ დიდი) \ სქელი {a}
ამისათვის, პირველ რიგში, მოდით ვიპოვოთ |ა|2:
| \ სქელი {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
შემდეგ წერტილოვანი პროდუქტი:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ ჯერ 6 + 5 \ ჯერ 9 + 4 \ ჯერ 5 = 83
ამის გაყოფა |ა|2 იძლევა 83/142 = 0.585. შემდეგ ამ სკალარის გამრავლებააიძლევა:
0,585 \ სქელი {a} = 0,585 \ ჯერ (6,9,5) = (3.51,5.27,2.93)
აქედან არის წერტილი ხაზის გასწვრივ, სადაც ველი ყველაზე ძლიერია (3.51, 5.27, 2.93).
