ელექტრომაგნეტიზმის საიდუმლოებების ამოხსნა ფიზიკის ერთ-ერთი უდიდესი მიღწევაა დღემდე და მიღებული გაკვეთილები სრულად არის შედგენილი მაქსველის განტოლებებში.
ჯეიმს კლერკი მაქსველი ამ ოთხ ელეგანტურ განტოლებას უწოდებს თავის სახელს, მაგრამ ისინი მრავალი ფიზიკოსის ათწლეულების მუშაობის კულმინაციაა, მათ შორის მაიკლ ფარადეი, ანდრე-მარი ამპერი და კარლ ფრიდრიხ გაუსი - რომლებიც თავიანთ სახელებს ოთხივე განტოლებიდან სამს აძლევენ - და მრავალი სხვები მიუხედავად იმისა, რომ თვითონ მაქსველმა მხოლოდ ოთხი განტოლებიდან ერთი დაამატა ტერმინი, მას ჰქონდა წინასწარხედვა და გაგება შეაგროვეთ ამ თემაზე შესრულებული საუკეთესო ნამუშევრები და წარმოადგინეთ მათ მიერ გამოყენებული ფორმით ფიზიკოსები დღეს.
მრავალი, მრავალი წლის განმავლობაში, ფიზიკოსებს სჯეროდათ, რომ ელექტროენერგია და მაგნეტიზმი იყო ცალკეული ძალები და განსხვავებული მოვლენები. ფარადეის მსგავსი ადამიანების ექსპერიმენტული მუშაობით, სულ უფრო ნათელი გახდა, რომ ისინი სინამდვილეში ორი მხარეა იგივე ფენომენი და მაქსველის განტოლებები წარმოადგენენ ამ ერთიან სურათს, რომელიც დღესაც ისეთივე ძალაშია, როგორც მე -19 საუკუნე თუ თქვენ აპირებთ ფიზიკის შესწავლას უფრო მაღალ დონეზე, თქვენ აბსოლუტურად უნდა იცოდეთ მაქსველის განტოლებები და მათი გამოყენება.
მაქსველის განტოლებები
მაქსველის განტოლებები შემდეგია, როგორც დიფერენციალური ფორმით, ასევე ინტეგრალური ფორმით. (გაითვალისწინეთ, რომ აქ დიფერენციალური განტოლებების ცოდნა გამოსადეგია, კონცეპტუალური გაგება მის გარეშეც შესაძლებელია.)
გაუსის კანონი ელექტროენერგიის შესახებ
დიფერენციალური ფორმა:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
ინტეგრალური ფორმა:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
არავითარი მონოპოლური კანონი / გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის
დიფერენციალური ფორმა:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
ინტეგრალური ფორმა:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
ფარადეის ინდუქციური კანონი
დიფერენციალური ფორმა:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
ინტეგრალური ფორმა:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
ამპერ-მაქსველის კანონი / Ampere's Law
დიფერენციალური ფორმა:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
ინტეგრალური ფორმა:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
მაქსველის განტოლებებში გამოყენებული სიმბოლოები
მაქსველის განტოლებები იყენებს სიმბოლოების საკმაოდ დიდ არჩევანს და მნიშვნელოვანია გესმოდეთ, რას ნიშნავს ეს, თუ თქვენ ისწავლით მათი გამოყენებას. აქ მოცემულია გამოყენებული სიმბოლოების მნიშვნელობების შემცირება:
ბ= მაგნიტური ველი
ე= ელექტრული ველი
ρ= ელექტრული მუხტის სიმკვრივე
ε0= თავისუფალი სივრცის ნებადართულობა = 8,854 × 10-12 მ-3 კგ-1 ს4 ა2
q= მთლიანი ელექტრო მუხტი (დადებითი მუხტებისა და უარყოფითი მუხტების წმინდა ჯამი)
𝜙ბ = მაგნიტური ნაკადი
ჯ= მიმდინარე სიმკვრივე
მე= ელექტროენერგია
გ= სინათლის სიჩქარე = 2.998 108 ქალბატონი
μ0 = თავისუფალი სივრცის გამტარიანობა = 4π × 10−7 N / A2
გარდა ამისა, მნიშვნელოვანია იცოდეთ, რომ ∇ არის ოპერატორი, წერტილი ორ რაოდენობას შორის (X ∙ ი) აჩვენებს სკალარულ პროდუქტს, ორ სიდიდეს შორის თამამი გამრავლების სიმბოლო არის ვექტორული პროდუქტი (X × ი), რომ del ოპერატორს წერტილით ეწოდება "დივერგენცია" (მაგალითად, ∇ ∙ X= განსხვავებაX= divX) და დელ ოპერატორს სკალარული პროდუქტით უწოდებენ ხვევს (მაგ., ∇)× ი= curl ofი= კოხტაი). დაბოლოს,ად-შიანიშნავს დახურული ზედაპირის ზედაპირს, რომელსაც თქვენ გამოთვლით (ზოგჯერ იწერება როგორც დს), დასდ-შისარის ღია ზედაპირის საზღვრის ძალიან მცირე ნაწილი, რომელსაც თქვენ გამოთვლით (თუმცა ეს ზოგჯერ დლ, გულისხმობს უსასრულოდ მცირე ხაზის კომპონენტს).
განტოლებების დერივაცია
მაქსველის განტოლების პირველი განტოლება არის გაუსის კანონი და მასში ნათქვამია, რომ ქსელის ელექტრული ნაკადი ა დახურული ზედაპირი ტოლია მთლიანი მუხტისა, რომელიც შეიცავს ფორმაში დაყოფილია ნებადართულობის თავისუფალზე სივრცე ეს კანონი შეიძლება გამომდინარეობდეს კულონის კანონიდან, ელექტრონული ველის თვალსაზრისით კულონის კანონის გამოხატვის მნიშვნელოვანი ნაბიჯის გადადგმისა და ტესტის მუხტის ეფექტის შესახებ.
მაქსველის განტოლებებიდან მეორე არსებითად ექვივალენტურია განცხადებისა, რომ ”მაგნიტური მონოპოლები არ არსებობს”. მასში ნათქვამია რომ წმინდა მაგნიტური ნაკადი დახურულ ზედაპირზე ყოველთვის იქნება 0, რადგან მაგნიტური ველები ყოველთვის ა დიპოლური. კანონი შეიძლება გამომდინარეობდეს ბიოტ-სავარტის კანონიდან, რომელიც აღწერს მაგნიტური ველის წარმოებას ამჟამინდელი ელემენტისგან.
მესამე განტოლება - ფარადეის ინდუქციური კანონი - აღწერს, თუ როგორ ცვლის მაგნიტური ველი ძაბვას მავთულის ან გამტარის მარყუჟში. იგი თავდაპირველად ექსპერიმენტიდან იყო მიღებული. ამასთან, იმ შედეგის გათვალისწინებით, რომ ცვალებადი მაგნიტური ნაკადი იწვევს ელექტროძრავის ძალას (EMF ან ძაბვა) და ამით ელექტროენერგიას მავთულის მარყუჟი და ის ფაქტი, რომ EMF განისაზღვრება, როგორც ელექტრული ველის განუყოფელი ნაწილი წრეზე, კანონის დადგენა მარტივია ერთად.
მეოთხე და უკანასკნელი განტოლება, ამპერეს კანონი (ან ამპერ-მაქსველის კანონი, რომელიც მას მიანიჭებს მის დამსახურებას) წვლილი) აღწერს, თუ როგორ წარმოიქმნება მაგნიტური ველი მოძრავი მუხტით ან ცვალებადი ელექტროით ველი კანონი არის ექსპერიმენტის შედეგი (და მაქსველის ყველა განტოლების მსგავსად - ტრადიციული გაგებით ნამდვილად არ იყო "მიღებული"),სტოქსის თეორემამნიშვნელოვანი ნაბიჯია ძირითადი შედეგის მისაღწევად დღეს გამოყენებული ფორმა.
მაქსველის განტოლებების მაგალითები: გაუსის კანონი
სიმართლე გითხრათ, განსაკუთრებით მაშინ, თუ ზუსტად არ ხართ ჩართული თქვენს ვექტორულ გამოთვლაზე, მაქსველის განტოლებები საკმაოდ საშიში ჩანს, მიუხედავად იმისა, თუ რამდენად შედარებით კომპაქტურია ისინი. მათი გასაგებად საუკეთესო გზა მათი პრაქტიკაში გამოყენების რამდენიმე მაგალითის გადალახვაა და გაუსის კანონი საუკეთესო ადგილია დასაწყებად. გაუსის კანონი არსებითად უფრო ფუნდამენტური განტოლებაა, რომელიც კულონის კანონის საქმეს ასრულებს და ისიც კულონის კანონის მიღება საკმაოდ მარტივია მასში წერტილის მიერ წარმოებული ელექტრული ველის გათვალისწინებით მუხტი.
დარეკვის ბრალდებაq, გაუსის კანონის გამოყენების მთავარი პუნქტი არის სწორი "ზედაპირის" არჩევა ელექტრული ნაკადის შესასწავლად. ამ შემთხვევაში, სფერო კარგად მუშაობს, რომელსაც აქვს ზედაპირის ფართობია = 4πრ2, რადგან სფეროს კონცენტრირება შეგიძლიათ წერტილოვან მუხტზე. ეს უდიდესი სარგებელია მსგავსი პრობლემების გადასაჭრელად, რადგან თქვენ არ გჭირდებათ სხვადასხვა დარგის ინტეგრირება მთელს ზედაპირზე; ველი სიმეტრიული იქნება წერტილოვანი მუხტის გარშემო და ასე რომ, ის მუდმივი იქნება სფეროს ზედაპირზე. ასე რომ, განუყოფელი ფორმა:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
შეიძლება გამოიხატოს, როგორც:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
გაითვალისწინეთ, რომერადგან ელექტრული ველი შეიცვალა მარტივი სიდიდით, რადგან ველიდან მუხტის მუხტი თანაბრად გავრცელდება წყაროდან ყველა მიმართულებით. ახლა, სფეროს ზედაპირის გაყოფა იძლევა:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
ვინაიდან ძალა უკავშირდება ელექტრულ ველსე = ვ/qსადqარის ტესტის მუხტი,ვ = qE, ამიტომაც:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
სადაც ხელმოწერები დაემატა ორი ბრალდების განასხვავებლად. ეს არის კულონის კანონი, რომელიც ნათქვამია სტანდარტული ფორმით, ნაჩვენებია როგორც გაუსის კანონის მარტივი შედეგი.
მაქსველის განტოლებების მაგალითები: ფარადეის კანონი
ფარადეის კანონი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ელექტროძრავის ძალა მავთულის მარყუჟში, რომელიც იცვლება მაგნიტური ველის შედეგად. მარტივი მაგალითია მავთულის მარყუჟი, რადიუსითრ= 20 სმ, მაგნიტურ ველში, რომელიც სიდიდით იზრდებაბმე = 1 ტ-მდებვ = 10 T ∆ –ის სივრცეშიტ= 5 წმ - რა არის ამ შემთხვევაში გამოწვეული EMF? კანონის განუყოფელი ფორმა მოიცავს ნაკადს:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
რომელიც განისაზღვრება, როგორც:
ϕ = BA \ cos (θ)
აქ პრობლემის ძირითადი ნაწილია ნაკადის ცვლილების სიჩქარის პოვნა, მაგრამ რადგან პრობლემა საკმაოდ მარტივია, შეგიძლიათ შეცვალოთ ნაწილობრივი წარმოებული თითოეული რაოდენობის მარტივი "ცვლილებით". და ინტეგრალი ნამდვილად ნიშნავს ელექტროძრავას, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გადაწეროთ ფარადეის ინდუქციური კანონი, როგორც:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
თუ ჩავთვლით, რომ მავთულის მარყუჟს აქვს მისი ნორმალური თანხვედრა მაგნიტურ ველთან,θ= 0 ° და ა.შ. cos (θ) = 1. ეს ტოვებს:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
ამის შემდეგ პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს საწყის და საბოლოო მაგნიტურ ველსა და მარყუჟის არეალს შორის სხვაობის მოძიებით, შემდეგნაირად:
\ დაწყება {გასწორება} \ ტექსტი {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0.23 \ text {V } \ end {გასწორებული}
ეს მხოლოდ მცირე ძაბვაა, მაგრამ ფარადეის კანონი ისევე გამოიყენება, მიუხედავად ამისა.
მაქსველის განტოლებების მაგალითები: ამპერ-მაქსველის კანონი
ამპერ-მაქსველის კანონი მაქსველის განტოლებებიდან საბოლოოა, რომლის რეგულარული გამოყენებაც დაგჭირდებათ. განტოლება უბრუნდება ამპერეს კანონს ცვალებადი ელექტრული ველის არარსებობის შემთხვევაში, ამიტომ ეს განვიხილოთ უმარტივესი მაგალითი. შეგიძლიათ გამოიყენოთ მაგნიტური ველის განტოლების გამოსაყვანად, რომელიც წარმოიქმნება სწორი მავთულისგან, რომელიც ახდენს დენის მიწოდებასმე, და ეს ძირითადი მაგალითი საკმარისია იმის საჩვენებლად, თუ როგორ გამოიყენება განტოლება. სრული კანონია:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
ელექტრული ველის შეცვლის გარეშე იგი ამცირებს შემდეგს:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
ახლა, ისევე როგორც გაუსის კანონის თანახმად, თუ ზედაპირისთვის წრეს აირჩევთ, რომელიც მავთულის მარყუჟზეა ორიენტირებული, ინტუიცია ვარაუდობს, რომ შედეგად მაგნიტური ველი იქნება სიმეტრიული და ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ინტეგრალი მარყუჟის გარშემოწერილობის მარტივი პროდუქტით და მაგნიტური ველის სიძლიერით, წასვლა:
B × 2πr = μ_0 I
გაყოფა 2πრიძლევა:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
რომელია მიღებული გამოხატვა მაგნიტური ველის მანძილზერსწორი მავთულის შედეგად, რომელიც ახდენს მიმდინარეობას.
ელექტრომაგნიტური ტალღები
როდესაც მაქსველმა შეიკრიბა განტოლებათა მთელი რიგი, მან დაიწყო მათი გადაჭრის გზების ძიება, რაც სხვადასხვა სახის ახსნაში დაეხმარება მოვლენები რეალურ სამყაროში და მის მიერ ნათელმა შთაგონებამ ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი შედეგია მიღებული.
რადგან ცვალებადი ელექტრული ველი წარმოქმნის მაგნიტურ ველს (ამპერის კანონის მიხედვით) და ცვალებადი მაგნიტური ველი ელექტრული ველი (ფარადეის კანონის თანახმად), მაქსველმა შეიმუშავა, რომ თვითგამრავლებადი ელექტრომაგნიტური ტალღა შეიძლება იყოს შესაძლებელია მან გამოიყენა თავისი განტოლებები ტალღის განტოლების მოსაძებნად, რომელიც აღწერდა ასეთ ტალღას და განსაზღვრა, რომ ის იმოძრავებდა სინათლის სიჩქარით. ეს იყო ”ევრიკის” ერთგვარი მომენტი; მან გააცნობიერა, რომ სინათლე არის ელექტრომაგნიტური გამოსხივების ფორმა, რომელიც მუშაობს ისევე, როგორც ის ველი, რომელიც მან წარმოიდგინა!
ელექტრომაგნიტური ტალღა შედგება ელექტრული ველის ტალღისა და მაგნიტური ველის ტალღისაგან, რომლებიც მოძრაობენ წინ და უკან, ერთმანეთთან გასწორებული. ტალღის ელექტრული ნაწილის რხევა წარმოქმნის მაგნიტურ ველს და ამ ნაწილის რხევა თავის მხრივ წარმოქმნის ელექტრულ ველს, ისევ და ისევ, სივრცეში გადაადგილებისას.
ნებისმიერი სხვა ტალღის მსგავსად, ელექტრომაგნიტურ ტალღას აქვს სიხშირე და ტალღის სიგრძე და ამის პროდუქტი ყოველთვის ტოლიაგ, სინათლის სიჩქარე. ელექტრომაგნიტური ტალღები ჩვენს ირგვლივ გვხვდება, ისევე როგორც ხილულ სინათლეს, სხვა ტალღის სიგრძეებს რადიოტალღები, მიკროტალღური ღუმელები, ინფრაწითელი, ულტრაიისფერი, რენტგენი და გამა სხივები ეწოდება. ელექტრომაგნიტური გამოსხივების ყველა ამ ფორმას აქვს იგივე ძირითადი ფორმა, რაც აიხსნება მაქსველის განტოლებებით, მაგრამ მათი ენერგია იცვლება სიხშირის მიხედვით (ანუ, უფრო მაღალი სიხშირე ნიშნავს უფრო მაღალ ენერგიას).
ფიზიკოსისთვის სწორედ მაქსველმა თქვა: ”იყოს ნათელი!”