როგორ გამოვთვალოთ კომბინაციები და პერმუტაციები

დავუშვათ, რომ გაქვთ n ტიპის საქონელი და გსურთ აირჩიოთ r მათგანი. შეიძლება ეს ელემენტები გარკვეული თანმიმდევრობით მოვინდომოთ. ჩვენ ვუწოდებთ ამ ერთეულების პერმუტაციებს. თუ შეკვეთას მნიშვნელობა არ აქვს, კოლექციების ერთობლიობას კომბინაციებს ვუწოდებთ. ორივე კომბინაციისთვის და პერმუტაციისთვის შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ შემთხვევა, როდესაც n ტიპის ზოგიერთს აირჩევთ მეტი ერთხელ, რომელსაც ეწოდება "განმეორებით", ან შემთხვევა, როდესაც თითოეულ ტიპს აირჩევთ მხოლოდ ერთხელ, რომელსაც ეწოდება "არა გამეორება '. მიზანი არის მოცემულ სიტუაციაში შესაძლო კომბინაციების ან პერმუტაციების რაოდენობის დათვლა.

ფაქტორული ფუნქცია ხშირად გამოიყენება კომბინაციების და პერმუტაციების გაანგარიშებისას. ნ! ნიშნავს N × (N – 1) ×... × 2 × 1. მაგალითად, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. ერთეულების შეკვეთის გზების რაოდენობა ფაქტორიანია. მიიღეთ სამი ასო a, b და c. თქვენ გაქვთ სამი არჩევანი პირველი ასოსთვის, ორი მეორე და მეორე მხოლოდ მესამე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სულ 3 × 2 × 1 = 6 შეკვეთა. ზოგადად, არსებობს n! n ნივთის შეკვეთის გზები.

დავუშვათ, რომ გაქვთ სამი ოთახი, რომლის დახატვასაც აპირებთ და თითოეული ხატავს ხუთიდან ერთს: წითელი (r), მწვანე (g), blue (b), yellow (y) ან orange (o). თითოეული ფერის არჩევა შეგიძლიათ რამდენჯერაც გსურთ. ხუთი ოთახის არჩევა გაქვთ პირველი ოთახისთვის, ხუთი - მეორე და ხუთი - მესამე. ეს იძლევა ჯამში 5 × 5 × 5 = 125 შესაძლებლობას. ზოგადად, r პუნქტების ჯგუფის კონკრეტული თანმიმდევრობით შერჩევის გზების რაოდენობა n განმეორებადი არჩევნებიდან არის n ^ r.

ახლა ჩათვალეთ, რომ ყველა ოთახი განსხვავებული ფერის იქნება. თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ხუთი ფერის პირველი ოთახი, ოთხი მეორე და მხოლოდ სამი მესამე. ეს იძლევა 5 × 4 × 3 = 60, რაც, უბრალოდ, ხდება 5! / 2!. ზოგადად, n დამოუკიდებელი გზების რაოდენობის შერჩევა კონკრეტული თანმიმდევრობით n განმეორებადი ვარიანტიდან არის n! / (N – r) !.

შემდეგი, დაივიწყეთ რომელი ოთახი რომელი ფერია. უბრალოდ აირჩიეთ სამი დამოუკიდებელი ფერი ფერის სქემისთვის. წესრიგს აქ მნიშვნელობა არ აქვს, ამიტომ (წითელი, მწვანე, ლურჯი) იგივეა, რაც (წითელი, ლურჯი, მწვანე). სამი ფერის ნებისმიერი არჩევისთვის არსებობს 3! მათი შეკვეთის გზები. ასე რომ, თქვენ პერმუტაციების რაოდენობას 3-ით ამცირებთ! მიიღოს 5! / (2! × 3!) = 10. ზოგადად, შეგიძლიათ r პუნქტების ჯგუფი აირჩიოთ ნებისმიერი თანმიმდევრობით n განმეორებადი არჩევანის შერჩევით n! / [(N – r)! × r!] გზით.

დაბოლოს, თქვენ უნდა შექმნათ ფერის სქემა, რომელშიც შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფერი, რამდენჯერაც გსურთ. ბუღალტრული აღრიცხვის ჭკვიანი კოდი ეხმარება ამ თვლას. გამოიყენეთ სამი X, რომ წარმოადგინოთ ოთახები. თქვენი ფერების სია წარმოდგენილია 'rgbyo'. შეურიეთ X- ები თქვენს ფერთა სიაში და დააკავშირეთ თითოეული X მის პირველ მარცხენა ფერადთან. მაგალითად, rgXXbyXo ნიშნავს, რომ პირველი ოთახი არის მწვანე, მეორე არის მწვანე და მესამე არის ყვითელი. X– ს უნდა ჰქონდეს მინიმუმ ერთი ფერი მარცხნივ, ასე რომ, პირველი X– ის ხუთი ხელმისაწვდომი სლოტია. იმის გამო, რომ ამ ჩამონათვალში ახლა შედის X, ექვსი X სლოტი არსებობს მეორე X- ისთვის და შვიდი ხელმისაწვდომი სლოტი მესამე X- ისთვის. საერთო ჯამში, არსებობს 5 × 6 7 = 7! / 4! კოდის დაწერის გზები. ამასთან, ოთახების თანმიმდევრობა თვითნებურია, ამიტომ სინამდვილეში მხოლოდ 7! / (4! × 3!) უნიკალური მოწყობა არსებობს. ზოგადად, r ელემენტების არჩევა შეგიძლიათ ნებისმიერი თანმიმდევრობით n განმეორებადი არჩევანიდან (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!] გზით.