ავექტორიარის სიდიდე, რომელსაც აქვს როგორც სიდიდე, ასევე მიმართულება. ეს განსხვავდება ასკალარულირაოდენობა, რომელიც მხოლოდ სიდიდეს შეესაბამება. სიჩქარე არის ვექტორული სიდიდის მაგალითი. მას აქვს ორივე სიდიდე (რამდენად სწრაფად მიდის რაღაც) და მიმართულება (ის მიმართულება, რომლის მიხედვითაც ხდება).
ვექტორებს ხშირად ისრებით ადგენენ. ისრის სიგრძე შეესაბამება ვექტორის სიდიდეს, ხოლო ისრის წერტილი მიუთითებს მიმართულებაზე.
არსებობს ვექტორის შეკრებასა და გამოკლებასთან მუშაობის ორი გზა. პირველი გრაფიკულად, თვით ვექტორების ისრის დიაგრამების მანიპულირებით. მეორე მათემატიკურია, რაც ზუსტ შედეგებს იძლევა.
გრაფიკული ვექტორების დამატება და გამოკლება ერთ განზომილებაში
ორი ვექტორის დამატებისას მეორე ვექტორის კუდს ათავსებთ პირველი ვექტორის წვერზე, ხოლო ვექტორული ორიენტაცია შენარჩუნებულია.შედეგიანი ვექტორიარის ვექტორი, რომელიც იწყება პირველი ვექტორის კუდიდან და სწორხაზოვნად მიუთითებს მეორე ვექტორის წვერზე.
მაგალითად, განიხილეთ ვექტორების დამატებაადაბრომლებიც ხაზის გასწვრივ იმავე მიმართულებით მიდიან. ჩვენ ვათავსებთ მათ "წვერი კუდამდე" და შედეგად მიღებული ვექტორი,
გ, მიუთითებს იმავე მიმართულებით და აქვს სიგრძე, რომელიც არის სიგრძის ჯამიადაბ.ვექტორების გამოკლება ერთ განზომილებაში არსებითად იგივეა, რაც დაამატოთ მეორე ვექტორის "გადაფურცვლა". ეს პირდაპირ გამომდინარეობს იქიდან, რომ გამოკლება იგივეა, რაც ნეგატივის დამატება.
მათემატიკური ვექტორის შეკრება და გამოკლება ერთ განზომილებაში
ერთ განზომილებაში მუშაობისას, ვექტორის მიმართულება შეიძლება მიეთითოს ნიშნით. ჩვენ ვირჩევთ ერთ მიმართულებას, რომ იყოს პოზიტიური მიმართულება (როგორც წესი, ”ზემოთ” ან ”მარჯვნივ” არჩეულია პოზიტიურად) და ამ მიმართულებით მითითებულ ნებისმიერ ვექტორს მივანიჭებთ როგორც პოზიტიურ რაოდენობას. უარყოფითი მიმართულებით მითითებული ნებისმიერი ვექტორი არის უარყოფითი სიდიდე. ვექტორების დამატების ან გამოკლებისას დაამატეთ ან გამოაკელით მათი სიდიდე შესაბამისი ნიშნებით.
დავუშვათ წინა განყოფილებაში, ვექტორიაჰქონდა 3 სიდიდის და ვექტორისბჰქონდა 5 ბალიანი. შემდეგ შედეგიანი ვექტორიC = A + B =8, 8 სიდიდის ვექტორი, რომელიც მიმართულია პოზიტიური მიმართულებით, და შედეგად მიღებული ვექტორიდ = ა - ბ =-2, 2 სიდიდის ვექტორი, რომელიც მიმართულია უარყოფითი მიმართულებით. გაითვალისწინეთ, რომ ეს შეესაბამება წინა გრაფიკულ შედეგებს.
რჩევა: ფრთხილად უნდა დაამატოთ მხოლოდ ერთი და იგივე ტიპის ვექტორები: სიჩქარე + სიჩქარე, ძალა + ძალა და ა.შ. როგორც ფიზიკის ყველა მათემატიკაში, ერთეულები უნდა ემთხვეოდეს ერთმანეთს!
გრაფიკული ვექტორის დამატება და გამოკლება ორ განზომილებაში
თუ პირველი ვექტორი და მეორე ვექტორი ერთნაირი ხაზის გასწვრივ არ არიან კარტესიანულ სივრცეში, მათი დამატება ან გამოკლება შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე "წვერი კუდიდან". ორი ვექტორის დასამატებლად, უბრალოდ წარმოიდგინეთ, რომ ასწიეთ მეორე და დააყენეთ მისი კუდი პირველის წვერზე, ხოლო ორიენტაცია შეინარჩუნეთ, როგორც ეს ნაჩვენებია. შედეგად მიღებული ვექტორი არის ისარი, რომელიც იწყება პირველი ვექტორის კუდიდან და მთავრდება მეორე ვექტორის წვერზე:
ისევე, როგორც ერთ განზომილებაში, ერთი ვექტორის მეორეს გამოკლება ტოტალიზატორისა და დამატების ტოლფასია. გრაფიკულად, ეს შემდეგნაირად გამოიყურება:
•••დანა ჩენი | მეცნიერება
შენიშვნა: ზოგჯერ ვექტორული დამატება ნაჩვენებია გრაფიკულად ორი დანამატის ვექტორის კუდების აწყობით და პარალელოგრამის შექმნით. შედეგად მიღებული ვექტორი არის ამ პარალელოგრამის დიაგონალი.
მათემატიკური ვექტორის შეკრება და გამოკლება ორ განზომილებაში
ვექტორების ორ განზომილებაში დამატება და გამოკლება მათემატიკურად, მიჰყევით შემდეგ ნაბიჯებს:
თითოეული ვექტორის დაშლა ანx-კომპონენტი, რომელსაც ზოგჯერ ჰორიზონტალურ კომპონენტს უწოდებენ და აy- კომპონენტი, რომელსაც ზოგჯერ ვერტიკალურ კომპონენტს უწოდებენ, ტრიგონომეტრიის გამოყენებით. (გაითვალისწინეთ, რომ კომპონენტები შეიძლება იყოს უარყოფითი ან დადებითი, იმისდა მიხედვით, თუ რომელი მიმართულებით არის მითითებული ვექტორი)
დაამატეx-ორივე ვექტორის კომპონენტები ერთად, შემდეგ კი დაამატეy-ორივე ვექტორის კომპონენტები ერთად. ეს შედეგი გაძლევთxდაyშედეგიანი ვექტორის კომპონენტები.
მიღებული ვექტორის სიდიდე შეგიძლიათ იპოვოთ პითაგორას თეორემის გამოყენებით.
შედეგად მიღებული ვექტორის მიმართულება შეგიძლიათ იხილოთ ტრიგონომეტრიის საშუალებით, შებრუნებული სატანკო ფუნქციის გამოყენებით. ეს მიმართულება, როგორც წესი, მოცემულია როგორც კუთხე პოზიტივის მიმართx-აქსი.
ტრიგონომეტრია ვექტორული დამატებაში
გავიხსენოთ სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის დამოკიდებულებები ტრიგონომეტრიიდან.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ ტექსტი {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ ტექსტი {} \\ \ tan (\ თეტა) = \ frac {b} {a}
Პითაგორას თეორემა:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
საპროექტო მოძრაობა გვთავაზობს კლასიკურ მაგალითებს, თუ როგორ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ეს ურთიერთობები ვექტორის დაშლასა და ვექტორის საბოლოო სიდიდისა და მიმართულების დასადგენად.
განვიხილოთ ორი ადამიანი. დავუშვათ, რომ გითხარით, ბურთი 1,3 მეტრის სიმაღლიდან ესროლა, 16 მ / წმ სიჩქარით, ჰორიზონტალურთან 50 გრადუსიანი კუთხით. იმისათვის, რომ ამ პრობლემის ანალიზი დაიწყოთ, თქვენ უნდა გახსნათ ეს საწყისი სიჩქარის ვექტორიxდაyკომპონენტები, როგორც ნაჩვენებია:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ ჯერ \ cos (50) = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ ჯერ \ sin (50) = 12,3 \ ტექსტი {მ / წ}
თუ დამჭერი დააკლდა ბურთს და ის მიწას დაარტყა, რა საბოლოო სიჩქარით დააჭერს იგი?
კინემატიკური განტოლებების გამოყენებით შეგვიძლია დავადგინოთ, რომ ბურთის სიჩქარის საბოლოო კომპონენტებია:
v_ {xf} = 10.3 \ text {მ / წ} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ ტექსტი {მ / წ}
პითაგორას თეორემა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ სიდიდე:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {მ / წ}
და ტრიგონომეტრია საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ კუთხე:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52.2 \ ხარისხი
ვექტორული შეკრებისა და გამოკლების მაგალითი
განვიხილოთ მანქანა, რომელიც მრგვალდება კუთხეში. დავუშვათვმერადგან მანქანა არისx-მიმართულება 10 მ / წმ სიდიდით, დავვდადებითთან 45 გრადუსიანი კუთხითააx-აქსი სიდიდით 10 მ / წმ. თუ მოძრაობის ეს ცვლილება 3 წამში ხდება, რა არის მანქანის აჩქარების სიდიდე და მიმართულება, როდესაც ის ბრუნდება?
გავიხსენოთ ეს აჩქარებააარის ვექტორული სიდიდე, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
სადვვდავმეშესაბამისად, საბოლოო და საწყისი სიჩქარეებია (და, შესაბამისად, ასევე ვექტორული სიდიდეებია).
ვექტორული სხვაობის გამოთვლის მიზნითვვ - ვმე,ჩვენ ჯერ უნდა დავშალოთ საწყისი და საბოლოო სიჩქარის ვექტორები:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ ტექსტი {მ / წმ}
შემდეგ გამოვაკლებთ ფინალსxდაyკომპონენტები საწყისიxდაyკომპონენტებივვ - ვმე:
შემდეგ გამოვაკლებთxდაyკომპონენტები:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7.07 \ ტექსტი {მ / წ}
შემდეგ თითოეულზე გაყოფა დროზე, რომ მივიღოთ აჩქარების ვექტორის კომპონენტები:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ ტექსტი {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {მ / წ} ^ 2
გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა აჩქარების ვექტორის სიდიდის დასადგენად:
a = \ sqrt {(- 0.977) ^ 2 + (2.36) ^ 2} = 2.55 \ ტექსტი {მ / წ} ^ 2
დაბოლოს, გამოიყენეთ ტრიგონომეტრია, რომ იპოვოთ აჩქარების ვექტორის მიმართულება:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ ხარისხი