Ti sei mai chiesto quanta acqua o caffè può entrare in uno di quegli apparentemente innumerevoli bicchieri d'acqua usa e getta di plastica, del tipo che è più stretto alla base che nella parte superiore? In altre parole, quasi tutti i bicchieri di carta, plastica o altro usa e getta che hai mai visto o usato? (Ad essere onesti, alcune tazze non hanno i lati inclinati e sono quindi cilindriche, ma questo sembra valere solo per permanente tazze.)
Il tipo di forma sopra descritto si basa su a cono, che è il risultato di una linea che attraversa lo spazio e traccia un percorso curvo come un cerchio (nel caso più semplice) o un'ellisse. Una tazza di solito non è appuntita (alcune che contengono dolcetti congelati lo sono), ma è ancora un "pezzo" di un cono, geometricamente parlando. Ciò rende facile, con pazienza, trovare il volume.
Il volume di un cono
La formula per il volume di un cono regolare o retto (cioè a base circolare) è )
V=\frac{1}{3}πr^2h
Dove r è il raggio della base e h è l'altezza del cono. Inoltre, poiché di lato, un cono retto sembra due triangoli rettangoli messi insieme, la lunghezza
s=\sqrt{r^2 + h^2}
Il volume di una tazza affusolata: prima parte
Supponi di avere una tazza larga 8 centimetri (cm) alla base, larga 10 cm nella parte superiore e alta 15 cm. Quanto liquido può contenere in cm3, chiamati anche millilitri (mL)?
Un modo per affrontare questo problema è disegnare una sezione trasversale della tazza, cioè come appare di lato dopo essere stata tagliata esattamente a metà perpendicolare al tuo campo visivo. Se si disegnano linee verticali verso l'alto dai due punti in cui la base incontra i lati verso l'alto di la coppa, ora hai diviso la sezione trasversale in due triangoli rettangoli uguali e riflessi e a rettangolo. I triangoli hanno "gambe" lunghe di 15 cm e "gambe" corte di 1 cm (dividendo la differenza tra la larghezza della base e la larghezza della sommità).
Il volume di una tazza affusolata: seconda parte
Nota cosa succede se estendi i lati della tazza nel diagramma fino a un punto sotto la base. Estendi anche una linea dal centro della parte superiore verso il punto in cui queste linee convergono. (Potresti non avere spazio per far incontrare i lati e formare un triangolo chiuso, ma avvicinati il più possibile)
Per il principio dei triangoli simili, sai che il rapporto tra il cateto lungo dei triangoli dall'alto (15 cm) e quello del cateto piccolo (1 cm) o 15 a 1, deve essere uguale al rapporto tra la gamba piccola e la gamba lunga di uno dei triangoli appena creati tra la base della "coppa" e il punto. Poiché la gamba piccola ha un valore di 4 cm, la gamba lunga deve essere 15 volte questa, ovvero 60 cm.
Si tratta quindi della sezione trasversale di un cono con un'altezza totale di 15 + 60 = 75 cm e una larghezza di 10 cm, cioè un raggio di 5 cm. Il volume di questo cono meno il volume del cono che si estende fino alla base della tazza, che ha un'altezza di 60 cm e una larghezza di 8 cm (r = 4 cm) dà il risultato desiderato:
\begin{allineato} \frac{1}{3}×π×5^2×75 = 1963,5 \text{ ml} \\ \frac{1}{3}×π×4^2×60 = 1005.3 \text { ml} \\ 1963,5 - 1005.3 = 958,2 \text{ ml} \end{allineato}
Quindi la tua tazza contiene molto vicino a 1 L (1.000 ml) di liquido.
Calcolatore del volume del cono e della tazza
Vedere le risorse per un elenco di calcolatori che coinvolgono i coni date diverse combinazioni iniziali di informazioni. In alternativa, puoi utilizzare un approccio come quello sopra e dividere la tazza in forme diverse, quindi utilizzare formule più semplici (come la formula per il volume di un cubo) in combinazioni appropriate per trovare il totale volume.