Se ti piacciono le stranezze matematiche, adorerai il triangolo di Pascal. Prende il nome dal matematico francese del XVII secolo Blaise Pascal e noto ai cinesi per molti secoli prima di Pascal come triangolo Yanghui, in realtà è più di una stranezza. È una disposizione specifica di numeri che è incredibilmente utile nell'algebra e nella teoria della probabilità. Alcune delle sue caratteristiche sono più sconcertanti e interessanti che utili. Aiutano a illustrare la misteriosa armonia del mondo descritta dai numeri e dalla matematica.
La regola per costruire il triangolo di Pascal non potrebbe essere più semplice. Inizia con il numero uno all'apice e forma la seconda riga sotto di esso con un paio di quelli. Per costruire la terza e tutte le righe successive, inizia mettendone una all'inizio e alla fine. Ricava ogni cifra tra questa coppia di unità sommando le due cifre immediatamente sopra di essa. La terza riga è quindi 1, 2, 1, la quarta riga è 1, 3, 3, 1, la quinta riga è 1, 4, 6, 4, 1 e così via. Se ogni cifra occupa una casella delle stesse dimensioni di tutte le altre caselle, la disposizione forma un perfetto triangolo equilatero delimitato su due lati da uno e con base uguale in lunghezza al numero della riga. Le righe sono simmetriche in quanto leggono lo stesso avanti e indietro.
Pascal scoprì il triangolo, che era noto da secoli ai filosofi persiani e cinesi, quando studiava l'espansione algebrica dell'espressione (x + y)n. Quando espandi questa espressione all'ennesima potenza, i coefficienti dei termini nell'espansione corrispondono ai numeri nell'ennesima riga del triangolo. Ad esempio, (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e così via. Per questo motivo, a volte i matematici chiamano la disposizione il triangolo dei coefficienti binomiali. Per grandi numeri di n, è ovviamente più facile leggere i coefficienti di espansione dal triangolo che calcolarli.
Supponiamo di lanciare una moneta un certo numero di volte. Quante combinazioni di testa e croce riesci a ottenere? Puoi scoprirlo guardando la riga nel triangolo di Pascal che corrisponde al numero di volte in cui lanci la moneta e sommando tutti i numeri in quella riga. Ad esempio, se lanci la moneta 3 volte, ci sono 1 + 3 + 3 + 1 = 8 possibilità. La probabilità di ottenere lo stesso risultato per tre volte di seguito è quindi 1/8.
Allo stesso modo, puoi usare il triangolo di Pascal per scoprire in quanti modi puoi combinare oggetti o scelte da un dato insieme. Supponi di avere 5 palline e di voler sapere in quanti modi puoi sceglierne due. Vai alla quinta riga e guarda la seconda voce per trovare la risposta, che è 5.