"Seno" è una scorciatoia matematica per il rapporto tra due lati di un triangolo rettangolo, espresso come frazione: il lato opposto qualunque angolo tu stia misurando è il numeratore della frazione e l'ipotenusa del triangolo rettangolo è il denominatore. Una volta padroneggiato questo concetto, diventa un elemento costitutivo per una formula nota come legge dei seni, che può essere utilizzata per trovare angoli e lati mancanti per un triangolo purché si conoscano almeno due dei suoi angoli e un lato, o due lati e uno angolo.
Ricapitolando la legge dei seni
La legge dei seni ti dice che il rapporto tra un angolo in un triangolo e il lato opposto sarà lo stesso per tutti e tre gli angoli di un triangolo. Oppure, per dirla in altro modo:
peccato (A)/un = peccato (B)/b = peccato (C)/c, dove A, B e C sono gli angoli del triangolo, e a, b e c sono le lunghezze dei lati opposti a tali angoli.
Questo modulo è il più utile per trovare gli angoli mancanti. Se stai usando la legge dei seni per trovare la lunghezza mancante di un lato del triangolo, puoi anche scriverla con i seni al denominatore:
un/peccato (A) = b/peccato (B) = c/sin(C)
Trovare un angolo mancante con la legge dei seni
Immagina di avere un triangolo con un angolo noto, diciamo che l'angolo A misura 30 gradi. Conosci anche la misura di due lati del triangolo: lato un, che è l'angolo opposto A, misura 4 unità e lato b misura 6 unità.
Attenzione al caso ambiguo della legge dei seni, che può sorgere se si è, come in questo problema, data la lunghezza di due lati e un angolo che non è tra loro. Il caso ambiguo è semplicemente un avvertimento che in questo specifico insieme di circostanze potrebbero esserci due possibili risposte tra cui scegliere. Hai già trovato una possibile risposta. Per analizzare un'altra possibile risposta, sottrai l'angolo appena trovato da 180 gradi. Aggiungi il risultato al primo angolo noto che avevi. Se il risultato è inferiore a 180 gradi, quel "risultato" che hai appena aggiunto al primo angolo noto è una seconda possibile soluzione.
Inserisci tutte le informazioni note nella prima forma della legge dei seni, che è la migliore per trovare gli angoli mancanti:
peccato (30)/4 = peccato (B)/6 = peccato (C)/c
Quindi, scegli un obiettivo; in questo caso, trova la misura dell'angolo B.
Impostare il problema è semplice come impostare la prima e la seconda espressione di questa equazione uguali tra loro. Non c'è bisogno di preoccuparsi per il terzo mandato in questo momento. Quindi, hai:
peccato (30)/4 = peccato (B)/6
Usa una calcolatrice o un grafico per trovare il seno dell'angolo noto. In questo caso, sin (30) = 0,5, quindi hai:
(0,5)/4 = sin (B)/6, che si semplifica in:
0,125 = peccato (B)/6
Moltiplica ciascun lato dell'equazione per 6 per isolare la misura del seno dell'angolo sconosciuto. Questo ti dà:
0,75 = peccato (B)
Trova il seno o l'arcoseno inverso dell'angolo sconosciuto, usando la calcolatrice o una tabella. In questo caso, il seno inverso di 0,75 è di circa 48,6 gradi.
Avvertenze
Trovare un lato con la legge dei seni
Immagina di avere un triangolo con angoli noti di 15 e 30 gradi (chiamiamolo rispettivamente A e B) e la lunghezza del lato un, che è l'angolo opposto A, è lungo 3 unità.
Come accennato in precedenza, i tre angoli di un triangolo si sommano sempre fino a 180 gradi. Quindi, se conosci già due angoli, puoi trovare la misura del terzo angolo sottraendo gli angoli noti da 180:
180 - 15 - 30 = 135 gradi
Quindi l'angolo mancante è 135 gradi.
Inserisci le informazioni che già conosci nella formula della legge dei seni, utilizzando la seconda forma (che è più semplice quando si calcola un lato mancante):
3/peccato (15) = b/peccato (30) = c/sin(135)
Scegli il lato mancante di cui vuoi trovare la lunghezza. In questo caso, per comodità, trova la lunghezza del lato b.
Per impostare il problema, sceglierai due delle relazioni seno indicate nella legge dei seni: quella che contiene il tuo obiettivo (lato b) e quello di cui conosci già tutte le informazioni (questo è il lato un e angolo A). Imposta queste due relazioni seno uguali tra loro:
3/peccato (15) = b/sin(30)
Ora risolvi per b. Inizia usando la calcolatrice o una tabella per trovare i valori di sin (15) e sin (30) e riempili nella tua equazione (per il bene di questo esempio, usa la frazione 1/2 invece di 0,5), che dà voi:
3/0.2588 = b/(1/2)
Nota che il tuo insegnante ti dirà fino a che punto (e se) arrotondare i valori del seno. Potrebbero anche chiederti di usare il valore esatto della funzione seno, che nel caso di sin (15) è molto disordinato (√6 – √2)/4.
Quindi, semplifica entrambi i lati dell'equazione, ricordando che dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo inverso:
11.5920 = 2_b_
Cambia i lati dell'equazione per comodità, poiché le variabili sono solitamente elencate a sinistra:
2_b_ = 11.5920
E infine, finisci di risolvere per b. In questo caso, tutto ciò che devi fare è dividere entrambi i lati dell'equazione per 2, che ti dà:
b = 5.7960
Quindi il lato mancante del tuo triangolo è lungo 5.7960 unità. Potresti facilmente usare la stessa procedura per risolvere per lato c, ponendo il suo termine nella legge dei seni uguale al termine per lato un, poiché conosci già le informazioni complete di quel lato.
