Risolvere le disuguaglianze di valore assoluto è molto simile a risolvere le equazioni di valore assoluto, ma ci sono un paio di dettagli extra da tenere a mente. Aiuta essere già a proprio agio nel risolvere equazioni di valore assoluto, ma va bene se le stai imparando anche insieme!
Definizione di disuguaglianza in valore assoluto
Prima di tutto, andisuguaglianza di valore assolutoè una disuguaglianza che implica un'espressione di valore assoluto. Per esempio,
| 5 + x | - 10 > 6
è una disuguaglianza di valore assoluto perché ha un segno di disuguaglianza, >, e un'espressione di valore assoluto, | 5 +X |.
Come risolvere una disuguaglianza di valore assoluto
Ilpassi per risolvere una disuguaglianza di valore assolutosono molto simili ai passaggi per risolvere un'equazione di valore assoluto:
Passo 1:Isolare l'espressione del valore assoluto su un lato della disuguaglianza.
Passo 2:Risolvi la "versione" positiva della disuguaglianza.
Passaggio 3:Risolvi la "versione" negativa della disuguaglianza moltiplicando la quantità dall'altra parte della disuguaglianza per -1 e invertendo il segno della disuguaglianza.
È molto da capire tutto in una volta, quindi ecco un esempio che ti guiderà attraverso i passaggi.
Risolvi la disuguaglianza perX:
| 5 + 5x | - 3 > 2
Per fare ciò, ottieni | 5 + 5X| da solo sul lato sinistro della disuguaglianza. Tutto quello che devi fare è aggiungere 3 per ogni lato:
| 5 + 5x | - 3 + 3 > 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Ora ci sono due "versioni" della disuguaglianza che dobbiamo risolvere: la "versione" positiva e la "versione" negativa.
Per questo passaggio, assumeremo che le cose siano come appaiono: che 5 + 5X > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x > 5
Questa è una semplice disuguaglianza; devi solo risolvereXcome di solito. Sottrai 5 da entrambi i lati, quindi dividi entrambi i lati per 5.
\begin{allineato} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x - 5 > 5 - 5 \quad \text{(sottrarre cinque da entrambi i lati)} \\ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(dividi entrambi i lati per cinque)} \\ &x > 0 \end{allineato}
Non male! Quindi una possibile soluzione alla nostra disuguaglianza è cheX> 0. Ora, poiché sono coinvolti valori assoluti, è tempo di considerare un'altra possibilità.
Per capire questo bit successivo, è utile ricordare cosa significa valore assoluto.Valore assolutomisura la distanza di un numero da zero. La distanza è sempre positiva, quindi 9 è a nove unità di distanza da zero, ma -9 è anche a nove unità di distanza da zero.
Quindi | 9 | = 9, ma | −9 | = anche 9.
Ora torniamo al problema di cui sopra. Il lavoro sopra ha mostrato che | 5 + 5X| > 5; in altre parole, il valore assoluto di "qualcosa" è maggiore di cinque. Ora, qualsiasi numero positivo maggiore di cinque sarà più lontano da zero di cinque. Quindi la prima opzione era quel "qualcosa", 5 + 5X, è maggiore di 5.
Questo è:
5 + 5x > 5
Questo è lo scenario affrontato sopra, nel passaggio 2.
Ora pensa un po' oltre. Cos'altro dista cinque unità da zero? Bene, il cinque negativo lo è. E qualsiasi cosa più avanti lungo la linea dei numeri da meno cinque sarà ancora più lontana dallo zero. Quindi il nostro "qualcosa" potrebbe essere un numero negativo che è più lontano da zero che da cinque. Ciò significa che sarebbe un numero dal suono più grande, ma tecnicamentemeno dicinque negativo perché si sta muovendo nella direzione negativa sulla linea dei numeri.
Quindi il nostro "qualcosa", 5 + 5x, potrebbe essere inferiore a -5.
5 + 5x < -5
Il modo rapido per farlo algebricamente è moltiplicare la quantità dall'altra parte della disuguaglianza, 5, per uno negativo, quindi capovolgere il segno di disuguaglianza:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x < - 5
Poi risolvi come al solito.
\begin{allineato} &5 + 5x < -5 \\ &5 + 5x - 5 < -5 - 5 \quad \text{(sottrarre 5 da entrambi i lati)} \\ &5x < -10 \\ &5x (÷ 5) < -10 (÷ 5) \\ &x < - 2 \end{allineato}
Quindi le due possibili soluzioni della disuguaglianza sonoX> 0 oX< −2. Verifica te stesso inserendo alcune possibili soluzioni per assicurarti che la disuguaglianza sia ancora vera.
Disuguaglianze di valore assoluto senza soluzione
C'è uno scenario in cui ci sarebbenessuna soluzione per una disuguaglianza di valore assoluto. Poiché i valori assoluti sono sempre positivi, non possono essere uguali o inferiori a numeri negativi.
Quindi |X| < -2 hanessuna soluzioneperché l'esito di un'espressione di valore assoluto deve essere positivo.
Notazione dell'intervallo
Per scrivere la soluzione al nostro esempio principale innotazione intervallo interval, pensa a come appare la soluzione sulla linea dei numeri. La nostra soluzione eraX> 0 oX< −2. Su una linea numerica, questo è un punto aperto a 0, con una linea che si estende all'infinito positivo e un punto aperto a -2, con una linea che si estende all'infinito negativo. Queste soluzioni puntano lontano l'una dall'altra, non l'una verso l'altra, quindi prendi ogni pezzo separatamente.
Per x > 0 su una linea numerica, c'è un punto aperto a zero e poi una linea che si estende all'infinito. Nella notazione dell'intervallo, un punto aperto è illustrato con parentesi, ( ), e un punto chiuso, o disuguaglianze con ≥ o ≤, userebbe parentesi, [ ]. Così perX> 0, scrivi (0, ∞).
L'altra metà,X< -2, su una linea dei numeri c'è un punto aperto in -2 e quindi una freccia che si estende fino a -∞. Nella notazione dell'intervallo, questo è (−∞, −2).
"O" nella notazione dell'intervallo è il segno di unione, .
Quindi la soluzione nella notazione dell'intervallo è
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)