Niente scombina un'equazione come i logaritmi. Sono ingombranti, difficili da manipolare e un po' misteriosi per alcune persone. Fortunatamente, c'è un modo semplice per liberare la tua equazione da queste fastidiose espressioni matematiche. Tutto quello che devi fare è ricordare che un logaritmo è l'inverso di un esponente. Sebbene la base di un logaritmo possa essere qualsiasi numero, le basi più comuni utilizzate nella scienza sono 10 ed e, che è un numero irrazionale noto come numero di Eulero. Per distinguerli, i matematici usano "log" quando la base è 10 e "ln" quando la base è e.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Per eliminare un'equazione di logaritmi, eleva entrambi i membri allo stesso esponente della base dei logaritmi. Nelle equazioni con termini misti, raccogli tutti i logaritmi da un lato e semplifica prima.
Che cos'è un logaritmo?
Il concetto di logaritmo è semplice, ma è un po' difficile da esprimere a parole. Un logaritmo è il numero di volte in cui devi moltiplicare un numero per se stesso per ottenere un altro numero. Un altro modo per dirlo è che un logaritmo è la potenza alla quale un certo numero – chiamato base – deve essere elevato per ottenere un altro numero. La potenza si chiama argomento del logaritmo.
Ad esempio, log82 = 64 significa semplicemente che elevando 8 alla potenza di 2 si ottiene 64. Nel registro dell'equazione X = 100, la base è intesa come 10 e puoi facilmente risolvere per l'argomento, X perché risponde alla domanda "10 elevato a quale potenza è uguale a 100?" La risposta è 2.
Un logaritmo è l'inverso di un esponente. Il registro delle equazioni X = 100 è un altro modo di scrivere 10_X_ = 100. Questa relazione rende possibile rimuovere i logaritmi da un'equazione elevando entrambi i membri allo stesso esponente della base del logaritmo. Se l'equazione contiene più di un logaritmo, devono avere la stessa base affinché funzioni.
Esempi
Nel caso più semplice, il logaritmo di un numero sconosciuto è uguale a un altro numero:
\log x = y
Alza entrambi i membri agli esponenti di 10 e ottieni
10^ {\log x} = 10^y
Dal 10(log x) è semplicemente X, l'equazione diventa
x = 10^y
Quando tutti i termini dell'equazione sono logaritmi, elevare entrambi i membri a un esponente produce un'espressione algebrica standard. Ad esempio, alza
\log (x^2 - 1) = \log (x + 1)
a una potenza di 10 e ottieni:
x^2 - 1 = x + 1
che semplifica a
x^2 - x - 2 = 0.
Le soluzioni sono X = −2; X = 1.
Nelle equazioni che contengono una combinazione di logaritmi e altri termini algebrici, è importante raccogliere tutti i logaritmi su un lato dell'equazione. È quindi possibile aggiungere o sottrarre termini. Per la legge dei logaritmi vale quanto segue:
\log x + \log y = \log (xy) \\ \,\\ \log x - \log y = \log \bigg(\frac{x}{y}\bigg)
Ecco una procedura per risolvere un'equazione con termini misti:
Inizia con l'equazione: ad esempio
\log x = \log (x - 2) + 3
Riordina i termini:
\log x - \log (x - 2) = 3
Applica la legge dei logaritmi:
\log \bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 3
Eleva entrambi i membri a una potenza di 10:
\bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 10^3
Risolvere per X:
\bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 10^3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \frac{2000}{999}=2.002