Quando inizi con tre equazioni e tre incognite (variabili), potresti pensare di avere abbastanza informazioni per risolvere tutte le variabili. Tuttavia, quando risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di eliminazione, potresti scoprire che il sistema non è sufficientemente determinato per trovare un'unica risposta, e invece un numero infinito di soluzioni è possibile. Ciò si verifica quando le informazioni in una delle equazioni del sistema sono ridondanti rispetto alle informazioni contenute nelle altre equazioni.
Un esempio 2x2
3x+2y=5 6x+4y=10 Questo sistema di equazioni è chiaramente ridondante. Puoi creare un'equazione dall'altra semplicemente moltiplicando per una costante. In altre parole, trasmettono le stesse informazioni. Nonostante ci siano due equazioni per le due incognite, x e y, la soluzione di questo sistema non può essere ridotta a un valore per x e un valore per y. (x, y)=(1,1) e (5/3,0) lo risolvono entrambi, così come molte altre soluzioni. Questo è il tipo di "problema", questa insufficienza di informazioni, che porta a un numero infinito di soluzioni anche in sistemi di equazioni più grandi.
Un esempio 3x3
x+y+z=10 x-y+z=0 x_+_z=5 [I trattini bassi sono usati semplicemente per mantenere la spaziatura.] Con il metodo di eliminazione, eliminare x dalla seconda riga sottraendo la seconda riga dalla prima, dando x+y+z=10 _2y=10 x_+z=5 Elimina x dalla terza riga sottraendo la terza riga dalla prima. x+y+z=10 _2y=10 sì=5 Chiaramente le ultime due equazioni sono equivalenti. y è uguale a 5 e la prima equazione può essere semplificata eliminando y. x+5+z=10 y__=5 o x+z=5 y=5 Nota che il metodo di eliminazione non produrrà una bella forma triangolare qui, come fa quando c'è una soluzione unica. Invece, l'ultima equazione (se non di più) sarà essa stessa assorbita nelle altre equazioni. Il sistema è ora di tre incognite e solo due equazioni. Il sistema è chiamato "sottodeterminato", perché non ci sono abbastanza equazioni per determinare il valore di tutte le variabili. Sono possibili infinite soluzioni.
Come scrivere la soluzione infinita
La soluzione infinita per il sistema precedente può essere scritta in termini di una variabile. Un modo per scriverlo è (x, y, z)=(x, 5,5-x). Poiché x può assumere un numero infinito di valori, la soluzione può assumere un numero infinito di valori.