Poche cose spaventano lo studente di algebra principiante come vedere gli esponenti - espressioni comesì2, X3 o anche l'orribilesìX– compare nelle equazioni. Per risolvere l'equazione, devi in qualche modo far sparire quegli esponenti. Ma in verità, quel processo non è così difficile una volta che impari una serie di semplici strategie, la maggior parte delle quali sono radicate nelle operazioni aritmetiche di base che usi da anni.
Semplifica e combina i termini simili
A volte, se sei fortunato, potresti avere termini di esponente in un'equazione che si annullano a vicenda. Si consideri ad esempio la seguente equazione:
y + 2x^2 - 5 = 2(x^2 + 2)
Con un occhio attento e un po' di pratica, potresti notare che i termini dell'esponente in realtà si annullano a vicenda, quindi:
Una volta semplificato il lato destro dell'equazione di esempio, vedrai che hai termini di esponente identici su entrambi i lati del segno di uguale:
y + 2x^2 - 5 = 2x^2 + 4
Sottrai 2X2 da entrambi i lati dell'equazione. Poiché hai eseguito la stessa operazione su entrambi i lati dell'equazione, non ne hai modificato il valore. Ma hai effettivamente rimosso l'esponente, lasciandoti con:
y - 5 = 4
Se lo desideri, puoi finire di risolvere l'equazione persìaggiungendo 5 a entrambi i lati dell'equazione, ottenendo:
y = 9
Spesso i problemi non saranno così semplici, ma è comunque un'opportunità che vale la pena cercare.
Cerca opportunità per fattorizzare
Con il tempo, la pratica e un sacco di lezioni di matematica, raccoglierai formule per scomporre in fattori determinati tipi di polinomi. È un po' come collezionare strumenti che tieni in una cassetta degli attrezzi finché non ne hai bisogno. Il trucco sta nell'imparare a identificare quali polinomi possono essere facilmente scomposti. Ecco alcune delle formule più comuni che potresti utilizzare, con esempi di come applicarle:
Se la tua equazione contiene due numeri al quadrato con un segno meno tra di loro, ad esempio,X2 − 42 – puoi fattorizzarli usando la formulaun2 − b2 = (a + b)(a - b). Se applichi la formula all'esempio, il polinomioX2 − 42 fattori a (X + 4)(X − 4).
Il trucco qui è imparare a riconoscere i numeri al quadrato anche se non sono scritti come esponenti. Ad esempio, l'esempio diX2 − 42 è più probabile che venga scritto comeX2 − 16.
Se la tua equazione contiene due numeri al cubo che vengono sommati, puoi fattorizzarli usando la formula
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Consideriamo l'esempio disì3 + 23, che è più probabile che tu veda scritto comesì3 + 8. Quando sostituiscisìe 2 nella formula perunebrispettivamente hai:
(y + 2)(y^2 - 2y + 2^2)
Ovviamente l'esponente non è sparito del tutto, ma a volte questo tipo di formula è un utile passo intermedio per sbarazzarsene. Ad esempio, scomporre in questo modo il numeratore di una frazione potrebbe creare termini che è possibile annullare con i termini del denominatore.
Se la tua equazione contiene due numeri al cubo con unosottrattodall'altro, puoi fattorizzarli utilizzando una formula molto simile a quella mostrata nell'esempio precedente. In effetti, la posizione del segno meno è l'unica differenza tra loro, poiché la formula per la differenza dei cubi è:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Consideriamo l'esempio diX3 − 53, che sarebbe più probabilmente scritto comeX3 − 125. sostituzioneXperune 5 perb, ottieni:
(x - 5)(x^2 + 5x + 5^2)
Come prima, sebbene ciò non elimini completamente l'esponente, può essere un utile passaggio intermedio lungo il percorso.
Isolare e applicare un radicale
Se nessuno dei trucchi precedenti funziona e hai un solo termine contenente un esponente, puoi utilizzare il metodo più comune per "eliminare of" dell'esponente: isolare il termine dell'esponente su un lato dell'equazione, quindi applicare il radicale appropriato a entrambi i lati dell'equazione equazione. Consideriamo l'esempio di
z^3 - 25 = 2
Isolare il termine esponente aggiungendo 25 a entrambi i lati dell'equazione. Questo ti dà:
z^3 = 27
L'indice della radice che applichi, ovvero il piccolo numero in apice prima del segno del radicale, dovrebbe essere lo stesso dell'esponente che stai cercando di rimuovere. Quindi, poiché il termine esponente nell'esempio è un cubo o una terza potenza, è necessario applicare una radice cubica o una terza radice per rimuoverlo. Questo ti dà:
\sqrt[3]{z^3} = \sqrt[3]{27}
Che a sua volta si semplifica in:
z = 3