Come volano gli aeroplani? Perché una palla curva segue un percorso così strano? E perché devi salire a bordo delal di fuoridelle tue finestre durante un temporale? Le risposte a tutte queste domande sono le stesse: sono il risultato del principio di Bernoulli.
Il principio di Bernoulli, a volte chiamato anche effetto Bernoulli, è uno dei risultati più importanti nello studio della fluidodinamica, mettendo in relazione la velocità del flusso del fluido alla pressione del fluido. Questo potrebbe non sembrare particolarmente importante, ma come mostra la vasta gamma di fenomeni che aiuta a spiegare, la semplice regola può rivelare molto sul comportamento di un sistema. La fluidodinamica è lo studio del fluido in movimento, quindi ha senso che il principio e la sua equazione di accompagnamento (l'equazione di Bernoulli) emergano abbastanza regolarmente nel campo.
Conoscere il principio, l'equazione che lo descrive e alcuni esempi del principio di Bernoulli in azione ti prepara a molti problemi che incontrerai nella fluidodinamica.
Principio di Bernoullilli
Il principio di Bernoulli prende il nome da Daniel Bernoulli, il fisico e matematico svizzero che lo sviluppò. Il principio mette in relazione la pressione del fluido con la sua velocità ed elevazione, e può essere spiegato attraverso la conservazione dell'energia. In breve, afferma che se la velocità di un fluido aumenta, allora o la sua pressione statica deve diminuire per compensare, oppure la sua energia potenziale deve diminuire.
La relazione con la conservazione dell'energia è chiara da ciò: o la velocità aggiuntiva deriva dal potenziale energia (cioè l'energia che possiede a causa della sua posizione) o dall'energia interna che crea la pressione del fluido.
Il principio di Bernoulli spiega quindi le ragioni principali del flusso dei fluidi che i fisici devono considerare nella fluidodinamica. O il fluido scorre a causa dell'elevazione (quindi la sua energia potenziale cambia) o scorre a causa della pressione differenze nelle diverse parti del fluido (quindi i fluidi nella zona ad alta energia e alta pressione si spostano nella zona a bassa pressione zona). Il principio è uno strumento molto potente perché combina le ragioni per cui si muove il fluido.
Tuttavia, la cosa più importante da prendere dal principio è che il fluido che scorre più velocemente ha una pressione inferiore. Se ricordi questo, sarai in grado di trarre la lezione fondamentale dal principio, e questo da solo è sufficiente per spiegare molti fenomeni, compresi i tre nel paragrafo introduttivo.
Equazione di Bernoulli
L'equazione di Bernoulli mette il principio di Bernoulli in termini più chiari e quantificabili. L'equazione afferma che:
P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{ costante in tutto}
QuiPè la pressione,ρè la densità del fluido,vè la velocità del fluido,gè l'accelerazione di gravità ehè l'altezza o la profondità. Il primo termine nell'equazione è semplicemente la pressione, il secondo termine è l'energia cinetica del fluido per unità di volume e il terzo termine è l'energia potenziale gravitazionale per unità di volume per il fluido. Tutto questo è equiparato a una costante, quindi puoi vedere che se hai il valore in una volta e il valore in un secondo momento tempo, puoi impostare i due in modo che siano uguali tra loro, il che si rivela un potente strumento per risolvere la fluidodinamica i problemi:
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2
Tuttavia, è importante notare i limiti dell'equazione di Bernoulli. In particolare, si assume che vi sia una linea di flusso tra i punti 1 e 2 (le parti contrassegnate dai pedici), vi sia un flusso costante, vi sia nessun attrito nel flusso (dovuto alla viscosità all'interno del fluido o tra il fluido e le pareti del tubo) e che il fluido abbia una costante densità. Questo non è generalmente il caso, ma per un flusso di fluido lento che può essere descritto come flusso laminare, le approssimazioni dell'equazione sono appropriate.
Applicazioni del principio di Bernoulli: un tubo con una costrizione
L'esempio più comune del principio di Bernoulli è quello di un fluido che scorre attraverso un tubo orizzontale, che si restringe nel mezzo e poi si riapre. Questo è facile da capire con il principio di Bernoulli, ma devi anche usare l'equazione di continuità per risolverlo, che afferma:
A_1v_1= ρA_2v_2
Questo usa gli stessi termini, a parteUN, che sta per l'area della sezione trasversale del tubo, e dato che la densità è uguale in entrambi i punti, questi termini possono essere ignorati ai fini di questo calcolo. Innanzitutto, riorganizzare l'equazione di continuità per fornire un'espressione per la velocità nella porzione ristretta:
v_2=\frac{A_1v_1}{A_2}
Questo può quindi essere inserito nell'equazione di Bernoulli per risolvere la pressione nella sezione più piccola del tubo:
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \\ P_1 + \frac{1}{2 } \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho \bigg(\frac{A_1v_1}{A_2} \bigg)^2 + \rho gh_2
Questo può essere riorganizzato perP2, ricordando che in questo caso,h1 = h2, e quindi il terzo termine su ciascun lato si annulla.
P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho \bigg( v_1^2 - \bigg (\frac{A_1v_1}{A_2} \bigg)^2 \bigg)
Usando la densità dell'acqua a 4 gradi Celsius,ρ= 1000 kg/m3, il valore diP1 = 100 kPa, la velocità iniziale div1 = 1,5 m/s, e aree diUN1 = 5.3 × 10−4 m2 eUN2 = 2.65 × 10−4 m2. Questo da:
\begin{aligned} P_2 &= 10^5 \text{ Pa} + \frac{1}{2} × 1000 \text{ kg/m}^3 \bigg( (1.5 \text{ m/s})^ 2 - \bigg (\frac{5.3 × 10^{-4} \text{ m}^2 × 1,5 \text{ m/s}}{2,65 × 10^{-4} \text{ m}^2 } \bigg)^2 \bigg) \\ &= 9,66 × 10^4 \text{ Pa} \end{allineato}
Come previsto dal principio di Bernoulli, la pressione diminuisce quando c'è un aumento della velocità dal tubo restrittivo. Il calcolo dell'altra parte di questo processo implica sostanzialmente la stessa cosa, tranne che al contrario. Tecnicamente, ci sarà qualche perdita durante la costrizione, ma per un sistema semplificato in cui non è necessario tenere conto della viscosità, questo è un risultato accettabile.
Altri esempi del principio di Bernoulli
Alcuni altri esempi del principio di Bernoulli in azione possono aiutare a chiarire i concetti. Il più noto è l'esempio che viene dall'aerodinamica e dallo studio del design delle ali degli aeroplani, o profili alari (anche se ci sono alcuni piccoli disaccordi sui dettagli).
La parte superiore di un'ala di aeroplano è curva mentre la parte inferiore è piatta e poiché il flusso d'aria passa da un bordo del of ala all'altra in tempi uguali, questo porta ad una minore pressione sulla parte superiore dell'ala rispetto alla parte inferiore dell'ala ala. La conseguente differenza di pressione (secondo il principio di Bernoulli) crea la forza di portanza che conferisce all'aereo portanza e lo aiuta a sollevarsi da terra.
Anche le centrali idroelettriche dipendono dal principio di Bernoulli per funzionare, in due modi. Innanzitutto, in una diga idroelettrica, l'acqua di un serbatoio scorre lungo alcuni grandi tubi chiamati condotte forzate, prima di colpire una turbina alla fine. In termini di equazione di Bernoulli, l'energia potenziale gravitazionale diminuisce mentre l'acqua scorre lungo il tubo, ma in molti progetti, l'acqua esce allastessovelocità. Dall'equazione, è chiaro che deve esserci stato un cambiamento di pressione per bilanciare l'equazione, e infatti, questo tipo di turbina prende la sua energia dall'energia di pressione nel fluido.
Probabilmente un tipo più semplice di turbina da capire è chiamato turbina a impulsi. Funziona riducendo la dimensione del tubo prima della turbina (usando un ugello), che aumenta la velocità dell'acqua (secondo l'equazione di continuità) e riduce la pressione (secondo Bernoulli principio). Il trasferimento di energia in questo caso deriva dall'energia cinetica dell'acqua.