L'equazione di Schrodinger è l'equazione più fondamentale nella meccanica quantistica e imparare a usarla e cosa significa è essenziale per qualsiasi fisico in erba. L'equazione prende il nome da Erwin Schrödinger, che vinse il Premio Nobel insieme a Paul Dirac nel 1933 per i suoi contributi alla fisica quantistica.
L'equazione di Schrodinger descrive la funzione d'onda di un sistema quantomeccanico, che dà informazioni probabilistiche sulla posizione di una particella e altre quantità osservabili come la sua quantità di moto. La cosa più importante che ti renderai conto della meccanica quantistica dopo aver appreso l'equazione è che le leggi nel regno quantistico sonomolto diversoda quelli della meccanica classica.
La funzione d'onda
La funzione d'onda è uno dei concetti più importanti della meccanica quantistica, perché ogni particella è rappresentata da una funzione d'onda. È tipicamente data la lettera greca psi (Ψ), e dipende dalla posizione e dal tempo. Quando hai un'espressione per la funzione d'onda di una particella, ti dice tutto ciò che si può sapere il sistema fisico, e diversi valori per le grandezze osservabili possono essere ottenuti applicando un operatore a esso.
Il quadrato del modulo della funzione d'onda ti dice la probabilità di trovare la particella in una posizioneXin un dato momentot. Questo è solo il caso se la funzione è "normalizzata", il che significa che la somma del modulo quadrato su tutte le possibili posizioni deve essere uguale a 1, cioè che la particella ècertoessere localizzatoda qualche parte.
Nota che la funzione d'onda fornisce solo informazioni probabilistiche, quindi non puoi prevedere il risultato di nessuna osservazione, sebbene tupuòdeterminare la media su molte misurazioni.
Puoi usare la funzione d'onda per calcolare il“valore di aspettativa”per la posizione della particella al tempot, dove il valore atteso è il valore medio diXsi otterrebbe ripetendo più volte la misurazione.
Ancora una volta, questo non ti dice nulla su una particolare misurazione. In effetti, la funzione d'onda è più una distribuzione di probabilità per una singola particella che qualcosa di concreto e affidabile. Utilizzando l'operatore appropriato, è inoltre possibile ottenere valori di aspettativa per quantità di moto, energia e altre grandezze osservabili.
L'equazione di Schrodinger
L'equazione di Schrodinger è un'equazione differenziale parziale lineare che descrive l'evoluzione di a stato quantistico in modo simile alle leggi di Newton (in particolare la seconda legge) in classico meccanica.
Tuttavia, l'equazione di Schrodinger è un'equazione d'onda per la funzione d'onda della particella in questione, e quindi l'uso dell'equazione per prevedere lo stato futuro di un sistema è talvolta chiamato "meccanica ondulatoria". L'equazione stessa deriva dalla conservazione dell'energia ed è costruita attorno ad un operatore chiamato Hamiltoniano.
La forma più semplice dell'equazione di Schrodinger da scrivere è:
H Ψ = iℏ \frac{\partialΨ}{\parziale t}
Dove è la costante di Planck ridotta (cioè la costante divisa per 2π) eHè l'operatore Hamiltoniano, che corrisponde alla somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica (energia totale) del sistema quantistico. L'Hamiltoniana è di per sé un'espressione abbastanza lunga, quindi l'intera equazione può essere scritta come:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ == iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Notando che a volte (per problemi esplicitamente tridimensionali), la prima derivata parziale è scritta come operatore laplaciano ∇2. In sostanza, l'Hamiltoniana agisce sulla funzione d'onda per descriverne l'evoluzione nello spazio e nel tempo. Ma nella versione indipendente dal tempo dell'equazione (cioè quando il sistema non dipende dat), l'Hamiltoniana fornisce l'energia del sistema.
Risolvere l'equazione di Schrödinger significa trovare ilfunzione d'onda meccanica quantisticache lo soddisfa per una situazione particolare.
L'equazione di Schrodinger dipendente dal tempo
L'equazione di Schrodinger dipendente dal tempo è la versione della sezione precedente e descrive l'evoluzione della funzione d'onda per una particella nel tempo e nello spazio. Un caso semplice da considerare è una particella libera perché l'energia potenzialeV= 0, e la soluzione assume la forma di un'onda piana. Queste soluzioni hanno la forma:
Ψ = Ae^{kx −ωt}
DoveK = 2π / λ, λè la lunghezza d'onda, eω = E / ℏ.
Per altre situazioni, la parte dell'energia potenziale dell'equazione originale descrive le condizioni al contorno per parte spaziale della funzione d'onda, ed è spesso separata in una funzione di evoluzione temporale e una indipendente dal tempo equazione.
L'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo
Per situazioni statiche o soluzioni che formano onde stazionarie (come il pozzo potenziale, soluzioni in stile "particella in una scatola"), è possibile separare la funzione d'onda in parti temporali e spaziali:
(x, t) = Ψ(x) f (t)
Quando lo fai per intero, la parte del tempo può essere cancellata, lasciando una forma dell'equazione di Schrodinger chesolodipende dalla posizione della particella. La funzione d'onda indipendente dal tempo è quindi data da:
H Ψ(x) = E Ψ(x)
QuiEè l'energia del sistema quantomeccanico, eHè l'operatore hamiltoniano. Questa forma dell'equazione assume la forma esatta di un'equazione agli autovalori, con la funzione d'onda essendo l'autofunzione, e l'energia essendo l'autovalore quando viene applicato l'operatore hamiltoniano ad esso. Espandendo l'Hamiltoniana in una forma più esplicita, può essere scritta per intero come:
−\frac{ ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\parziale x^2} + V(x) Ψ = E Ψ(x)
La parte temporale dell'equazione è contenuta nella funzione:
f (t) = e^{\frac{iEt}{ℏ}}
Soluzioni per l'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo
L'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo si presta bene a soluzioni abbastanza semplici perché riduce la forma completa dell'equazione. Un perfetto esempio di ciò è il gruppo di soluzioni "particella in una scatola" in cui si presume che la particella si trovi in un potenziale quadrato infinito in una dimensione, quindi c'è potenziale zero (cioèV= 0) in tutto, e non c'è possibilità che la particella venga trovata al di fuori del pozzo.
C'è anche un pozzo quadrato finito, dove il potenziale alle "pareti" del pozzo non è infinito e anche se è maggiore dell'energia della particella, c'èalcunipossibilità di trovare la particella al di fuori di essa a causa del tunneling quantistico. Per il pozzo a potenziale infinito, le soluzioni assumono la forma:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
Dovelè la lunghezza del pozzo.
Una funzione delta potenziale è un concetto molto simile al potenziale pozzo, tranne che per la larghezzalche va a zero (cioè essendo infinitesimale attorno ad un unico punto) e la profondità del pozzo che va all'infinito, mentre il prodotto dei due (tu0) rimane costante. In questa situazione molto idealizzata, c'è un solo stato legato, dato da:
Ψ(x) = \frac{\sqrt{mU_0}}{ℏ}e^{-\frac{mU_0}{ℏ^2}\vert x\vert}
Con energia:
E = - \frac{mU_0^2}{2ℏ^2}
Soluzione dell'atomo di idrogeno per l'equazione di Schrodinger
Infine, la soluzione dell'atomo di idrogeno ha ovvie applicazioni alla fisica del mondo reale, ma in pratica la situazione poiché un elettrone attorno al nucleo di un atomo di idrogeno può essere visto come abbastanza simile al pozzo di potenziale i problemi. Tuttavia, la situazione è tridimensionale ed è meglio descritta in coordinate sfericher, θ, ϕ. La soluzione in questo caso è data da:
Ψ(x) = NR_{n, l}(r) P^m_{l}(\cos θ)e^{imϕ}
DovePsono i polinomi di Legendre,Rsono soluzioni radiali specifiche, enoè una costante che risolvi usando il fatto che la funzione d'onda dovrebbe essere normalizzata. L'equazione fornisce livelli di energia dati da:
E = - \frac{\mu Z^2e^4}{8ϵ_0h^2n^2}
DoveZecco il numero atomico (quindiZ= 1 per un atomo di idrogeno),ein questo caso è la carica di un elettrone (piuttosto che la costantee = 2.7182818...), ϵ0 è la permittività dello spazio libero, eμè la massa ridotta, che si basa sulle masse del protone e dell'elettrone in un atomo di idrogeno. Questa espressione è buona per qualsiasi atomo simile all'idrogeno, indicando qualsiasi situazione (inclusi gli ioni) in cui c'è un elettrone in orbita attorno a un nucleo centrale.
