Risolvere i misteri dell'elettromagnetismo è stato uno dei più grandi traguardi della fisica fino ad oggi e le lezioni apprese sono completamente incapsulate nelle equazioni di Maxwell.
James Clerk Maxwell dà il suo nome a queste quattro eleganti equazioni, ma sono il culmine di decenni di lavoro di molti fisici, tra cui Michael Faraday, Andre-Marie Ampere e Carl Friedrich Gauss – che danno il nome a tre delle quattro equazioni – e molti altri. Mentre Maxwell stesso ha aggiunto solo un termine a una delle quattro equazioni, ha avuto la lungimiranza e la comprensione di... raccogliere il meglio del lavoro che è stato fatto sull'argomento e presentarlo in un modo ancora usato da fisici di oggi.
Per molti, molti anni, i fisici hanno creduto che l'elettricità e il magnetismo fossero forze separate e fenomeni distinti. Ma attraverso il lavoro sperimentale di persone come Faraday, è diventato sempre più chiaro che in realtà erano due lati del of stesso fenomeno, e le equazioni di Maxwell presentano questo quadro unificato che è valido ancora oggi come lo era nel 19° secolo. Se hai intenzione di studiare fisica a livelli più alti, devi assolutamente conoscere le equazioni di Maxwell e come usarle.
Equazioni di Maxwell
Le equazioni di Maxwell sono le seguenti, sia in forma differenziale che in forma integrale. (Si noti che mentre la conoscenza delle equazioni differenziali è utile qui, una comprensione concettuale è possibile anche senza di essa.)
Legge di Gauss per l'elettricità
Forma differenziale:
\bm{∇∙E} = \frac{ρ}{ε_0}
Forma integrale:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Nessuna legge monopolistica / Legge di Gauss per il magnetismo
Forma differenziale:
\bm{∇∙B} = 0
Forma integrale:
\int \bm{B ∙} d\bm{A} = 0
Legge di induzione di Faraday
Forma differenziale:
\bm{∇ × E} = − \frac{∂\bm{B}}{∂t}
Forma integrale:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ t}
Legge di Ampere-Maxwell / Legge di Ampere
Forma differenziale:
\bm{∇ × B} = \frac{J}{ ε_0 c^2} + \frac{1}{c^2} \frac{∂E}{∂t}
Forma integrale:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
Simboli usati nelle equazioni di Maxwell
Le equazioni di Maxwell utilizzano una selezione piuttosto ampia di simboli ed è importante che tu capisca cosa significano se imparerai ad applicarli. Quindi ecco una carrellata dei significati dei simboli utilizzati:
B= campo magnetico
E= campo elettrico
ρ= densità di carica elettrica
ε0= permittività dello spazio libero = 8.854 × 10-12 m-3 kg-1 S4 UN2
q= carica elettrica totale (somma netta di cariche positive e cariche negative)
𝜙B = flusso magnetico
J= densità di corrente
io= corrente elettrica
c= velocità della luce = 2.998 × 108 SM
μ0 = permeabilità dello spazio libero = 4π × 10−7 N / A2
Inoltre, è importante sapere che è l'operatore del, un punto tra due quantità (X ∙ sì) mostra un prodotto scalare, un simbolo di moltiplicazione in grassetto tra due quantità è un prodotto vettoriale (X × sì), che l'operatore del con un punto è chiamato "divergenza" (es., ∇ ∙ X= divergenza diX= divX) e un operatore del con un prodotto scalare è chiamato curl (ad es., ∇× sì= ricciolo disì= arricciaresì). Infine, ilUNin dUNindica l'area della superficie chiusa che stai calcolando (a volte scritta come dS), e ilSin dSè una parte molto piccola del confine della superficie aperta per cui stai calcolando (anche se a volte è dio, riferito a un componente di linea infinitamente piccolo).
Derivazione delle equazioni
La prima equazione delle equazioni di Maxwell è la legge di Gauss e afferma che il flusso elettrico netto attraverso un superficie chiusa è uguale alla carica totale contenuta all'interno della forma divisa per la permittività di libero spazio. Questa legge può essere derivata dalla legge di Coulomb, dopo aver compiuto l'importante passo di esprimere la legge di Coulomb in termini di un campo elettrico e dell'effetto che avrebbe su una carica di prova.
La seconda delle equazioni di Maxwell è essenzialmente equivalente all'affermazione che "non esistono monopoli magnetici". Si afferma che il flusso magnetico netto attraverso una superficie chiusa sarà sempre 0, perché i campi magnetici sono sempre il risultato di a dipolo. La legge può essere derivata dalla legge di Biot-Savart, che descrive il campo magnetico prodotto da un elemento di corrente.
La terza equazione, la legge dell'induzione di Faraday, descrive come un campo magnetico variabile produce una tensione in un anello di filo o conduttore. È stato originariamente derivato da un esperimento. Tuttavia, dato il risultato che un flusso magnetico variabile induce una forza elettromotrice (EMF o tensione) e quindi una corrente elettrica in un loop di filo, e il fatto che EMF è definito come l'integrale di linea del campo elettrico attorno al circuito, la legge è facile da mettere insieme.
La quarta e ultima equazione, la legge di Ampere (o la legge di Ampere-Maxwell per dargli credito per il suo contributo) descrive come viene generato un campo magnetico da una carica in movimento o da un cambiamento elettrico campo. La legge è il risultato dell'esperimento (e quindi – come tutte le equazioni di Maxwell – non è stata propriamente “derivata” in senso tradizionale), ma usandoTeorema di Stokesè un passo importante per ottenere il risultato di base nella forma utilizzata oggi.
Esempi di equazioni di Maxwell: legge di Gauss
Ad essere sinceri, specialmente se non sei esattamente all'altezza del tuo calcolo vettoriale, le equazioni di Maxwell sembrano piuttosto scoraggianti nonostante quanto siano relativamente compatte. Il modo migliore per capirli veramente è passare attraverso alcuni esempi di utilizzo pratico e la legge di Gauss è il miglior punto di partenza. La legge di Gauss è essenzialmente un'equazione più fondamentale che fa il lavoro della legge di Coulomb, ed è abbastanza facile ricavarne la legge di Coulomb considerando il campo elettrico prodotto da un punto caricare.
Chiamare la caricaq, il punto chiave per applicare la legge di Gauss è scegliere la "superficie" giusta per esaminare il flusso elettrico attraverso. In questo caso va bene una sfera che ha una superficieUN = 4πr2, perché puoi centrare la sfera sulla carica puntiforme. Questo è un enorme vantaggio per risolvere problemi come questo perché non è necessario integrare un campo variabile su tutta la superficie; il campo sarà simmetrico attorno alla carica puntiforme, e quindi sarà costante su tutta la superficie della sfera. Quindi la forma integrale:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Può essere espresso come:
E × 4πr^2 = \frac{q}{ε_0}
Nota che ilEpoiché il campo elettrico è stato sostituito con una semplice grandezza, perché il campo da una carica puntiforme si diffonderà semplicemente equamente in tutte le direzioni dalla sorgente. Ora, dividendo per l'area della superficie della sfera:
E = \frac{q}{4πε_0r^2}
Poiché la forza è correlata al campo elettrico daE = F/q, doveqè una carica di prova,F = qE, e così:
F = \frac{q_1q_2}{4πε_0r^2}
Dove i pedici sono stati aggiunti per differenziare le due accuse. Questa è la legge di Coulomb espressa in forma standard, mostrata come una semplice conseguenza della legge di Gauss.
Esempi di equazioni di Maxwell: legge di Faraday
La legge di Faraday consente di calcolare la forza elettromotrice in una spira di filo risultante da un campo magnetico variabile. Un semplice esempio è un cappio di filo, con raggior= 20 cm, in un campo magnetico che aumenta di grandezza daBio = 1 T aBf = 10 T nello spazio di ∆t= 5 s – qual è l'EMF indotto in questo caso? La forma integrale della legge comporta il flusso:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ t}
che è definito come:
ϕ = BA \cos (θ)
La parte fondamentale del problema qui è trovare la velocità di variazione del flusso, ma poiché il problema è abbastanza semplice, è possibile sostituire la derivata parziale con una semplice "variazione" di ciascuna quantità. E l'integrale in realtà significa solo la forza elettromotrice, quindi puoi riscrivere la legge di induzione di Faraday come:
\text{EMF} = − \frac{∆BA \cos (θ)}{∆t}
Se supponiamo che l'anello di filo abbia la sua normale allineata con il campo magnetico,θ= 0° e quindi cos (θ) = 1. Questo lascia:
\text{EMF} = − \frac{∆BA}{∆t}
Il problema può quindi essere risolto trovando la differenza tra il campo magnetico iniziale e finale e l'area della spira, come segue:
\begin{allineato} \text{EMF} &= − \frac{∆BA}{∆t} \\ &= − \frac{(B_f - B_i) × πr^2}{∆t} \\ &= − \frac{(10 \text{ T}- 1 \text{ T}) × π × (0.2 \text{ m})^2}{5 \text{ s}} \\ &= − 0.23 \text{ V } \end{allineato}
Questa è solo una piccola tensione, ma la legge di Faraday viene applicata allo stesso modo a prescindere.
Esempi di equazioni di Maxwell: legge di Ampere-Maxwell
La legge di Ampere-Maxwell è l'ultima delle equazioni di Maxwell che dovrai applicare regolarmente. L'equazione ritorna alla legge di Ampere in assenza di un campo elettrico variabile, quindi questo è l'esempio più semplice da considerare. Puoi usarlo per derivare l'equazione per un campo magnetico risultante da un filo dritto percorso da una correnteio, e questo esempio di base è sufficiente per mostrare come viene utilizzata l'equazione. La legge completa è:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
Ma senza variazione del campo elettrico si riduce a:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I
Ora, come per la legge di Gauss, se si sceglie un cerchio per la superficie, centrato sull'anello di filo, l'intuizione suggerisce che il campo magnetico risultante sarà simmetrico, e quindi puoi sostituire l'integrale con un semplice prodotto della circonferenza dell'ansa e dell'intensità del campo magnetico, in partenza:
B × 2πr = μ_0 I
Dividendo per 2πrdà:
B = \frac{μ_0 I}{2πr}
Qual è l'espressione accettata per il campo magnetico a distanzarrisultante da un filo rettilineo percorso da una corrente.
Onde elettromagnetiche
Quando Maxwell ha assemblato il suo set di equazioni, ha iniziato a trovare soluzioni per aiutarli a spiegare vari fenomeni nel mondo reale, e l'intuizione che ha dato alla luce è uno dei risultati più importanti che lui ottenuto.
Perché un campo elettrico variabile genera un campo magnetico (per la legge di Ampere) e un campo magnetico variabile genera un campo elettrico (per la legge di Faraday), Maxwell ha calcolato che un'onda elettromagnetica autopropagante potrebbe essere possibile. Ha usato le sue equazioni per trovare l'equazione d'onda che avrebbe descritto tale onda e ha determinato che avrebbe viaggiato alla velocità della luce. Questo è stato una sorta di momento "eureka"; si rese conto che la luce è una forma di radiazione elettromagnetica, che funziona proprio come il campo che immaginava!
Un'onda elettromagnetica consiste in un'onda di campo elettrico e un'onda di campo magnetico oscillanti avanti e indietro, allineate ad angolo retto l'una rispetto all'altra. L'oscillazione della parte elettrica dell'onda genera il campo magnetico, e l'oscillazione di questa parte a sua volta produce di nuovo un campo elettrico, via via che viaggia nello spazio.
Come ogni altra onda, un'onda elettromagnetica ha una frequenza e una lunghezza d'onda, e il prodotto di queste è sempre uguale ac, la velocità della luce. Le onde elettromagnetiche sono tutt'intorno a noi e, oltre alla luce visibile, altre lunghezze d'onda sono comunemente chiamate onde radio, microonde, infrarossi, ultravioletti, raggi X e raggi gamma. Tutte queste forme di radiazione elettromagnetica hanno la stessa forma di base spiegata dalle equazioni di Maxwell, ma le loro energie variano con la frequenza (cioè, una frequenza più alta significa un'energia più alta).
Quindi, per un fisico, è stato Maxwell a dire: "Sia la luce!"